2022屆高考數(shù)學(xué)考前保分題

2022年高考數(shù)學(xué)考前保分題

1.如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面A8CQ,底面A8C。為正方形，PD=DC.

(1)求直線PB與平面B4C所成角的正弦值；

(2)求二面角A-PC-B的余弦值.

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式可得尸2與平面B4C所成角的

正弦值；

(2)利用向量的夾角公式，二面角A-PC-B的余弦值.

【解答】解：(1)由條件可知。A,DC,DP兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)DC=l,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

所以麗=(1,1,-1),PA=(1,0,-1),PC=(0,1,-1),

設(shè)平面的一個法向量為n=(x,y,z),

(n-PA=0(x-z=0

3.而=o'iy_=(r

令z=l,則x=l,y=l,

所以平面的一個法向量為￡=(1,1,1),

TT11

??COSV^"PBfTl=>—i—云=K，

V3xV33

直線PB與平面PAC所成角的正弦值為右

(2)PB=(I,1,-1),PC=CO,1,-1),

設(shè)平面PCB的一個法向量為藍(lán)=(.a,b,c),

所以令b=l,則c=l,a=0,

3—c=0

平面PCB的一個法向量為zn=(0,1,1),

2_76

所以cos<n，m>~存后=與'

【點評】本題考查線面角、面面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于

中檔題.

2.如圖，直角梯形ABC。，ABVBC,過。作。E_LAB交AB于E點，將三角形AOE沿OE

折起到4QE的位置，使AiELBE.BE=a,BC=2,AE=2.

（1）當(dāng)a=l且。為8c的中點時，求直線4。與平面AiOE所成角的余弦值;

（2）若8c邊上存在點。，使4Q，。。，求實數(shù)〃的取值范圍.

【分析】由題意證明AiE。，平面BCDE.

（1）當(dāng)”=1且。為BC的中點時，過。作QGLOE,垂足為G,連接4G,則NQ4G

即為直線MQ與平面A\DE所成角，求解三角形可得直線A\Q與平面A\DE所成角的余

弦值；

（2）由（1）知A1EL平面2COE,則QE為4Q在底面8CQE上的射影，若8c邊上存

在點Q,使4。，。。，則。E_L￡）Q,即以O(shè)E為直徑的圓與線段8c有交點，由此可得

滿足條件的實數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：如圖，

'JDEYAB,：.DE±A\E,

又4E_LBE,且BEnOE=E,；.A1E_L平面BCDE,

而AiEu平面平面4EO_L平面BCDE.

(1)當(dāng)a=l且。為BC的中點時，過。作QGLDE,垂足為G,

由平面與平面垂直的性質(zhì)，可得QG_L平面4ED,

連接4G,則/Q4G即為直線4。與平面4OE所成角，

22

VQG=1,EG=1,AiE=2,：.AIG=V5,AXQ=J(V5)+l=V6,

??8$"毋=砸=花=丁’

即直線AiQ與平面4￡>E所成角的余弦值為厚；

(2)由(1)知4EJ?平面BCDE,為4Q在底面BCDE上的射影，

若BC邊上存在點Q,使A1QLDQ,則QELOQ,

即以O(shè)E為直徑的圓與線段BC有交點，

當(dāng)。=1時，以。E為直徑的圓與BC相切于8c的中點Q,

則當(dāng)0<a<l時，線段8c上存在兩點Q,使得QE_L。。，

當(dāng)”>1時，線段BC上不存在點。，使得QELOQ.

綜上，若2C邊上存在點。，使AiQ，。。，則實數(shù)”的取值范圍是(0,1|.

【點評】本題考查直線與平面所成角的求法，考查三垂線定理的應(yīng)用，考查空間想象能

力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題.

3.如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面以B_L底面ABC。，AD//BC,BC1CD,ZABC^

60°,BC=2AD,△以B是正三角形，E是PC的中點.

(1)求證：OE〃平面PAB-,

(2)求直線BE與平面PCD所成角的正弦值.

p

【分析】（1）取BP中點F,連接AF,EF,證明ED〃4F即可得證;

（2）取AB的中點G,利用等體積可求得點8到平面PCC的距離，進(jìn)而可得所求線面

角的正弦值.

II1

【解答】解：（1）證明：取8尸中點凡連接AF,EF,則EF=*BC,

II1

又由A￡>〃8c和BC=2A￡),得AD=.BC,

：.AD=EF,

四邊形ADEF為平行四邊形，

：.ED//AF,

又平面AFu平面以8,

，￡)E〃平面PAB；

(2)取A2的中點G,連接PG,CG,DG,

由△抬8是正三角形，得PG_LA8,

由平面布B_L平面ABCC,平面HBC平面A8CD=A8,

，PG_L平面ABC。，

在直角梯形ABC。中/ABC=60°,令A(yù)￡>=1,則BC=2,由平面幾何知識可得，

CD=遮,CG=>/3,AB=PA=PB=2,PG=6,DG=遮，

：.PC=PD=屈,BE=J22_(%2=孚，

設(shè)點B到平面PCD的距離為d,cos乙CPD=='，則siMCPD=11-(J123=g,

2xV6xV647'4，4

.01/7/7/73/7

,,S>pcD=2xxv6x—4,

11/-r-13\/7

由Vp-BCD=VB-PCD得一X-X2XV3XV3=-X--d,

3234

4

d7/74-770

，直線BE與平面PCD所成角的正弦值為靛=焉=—.

~2~

【點評】本題考查線面平行的判定以及線面角正弦值的計算，考查等體積法的運用，考

查邏輯推理能力及運算求解能力，屬于中檔題.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點是原點，以x軸為對稱軸，且經(jīng)過點P(l,

-2).

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/：y=-x+巾與拋物線C交于4,8兩點，在拋物線C上是否存在點Q,

使得直線QA,Q8分別于y軸交于M,N兩點，且|QM=QN，若存在，求點。的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由題意利用待定系數(shù)法，求得拋物線的方程.

(2)由題意利用韋達(dá)定理，根據(jù)KQM+KQN—O,求得點。的坐標(biāo)，可得結(jié)論.

【解答】解：(1)..?平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線C的頂點是原點，

以x軸為對稱軸，且經(jīng)過點P(1,-2),

故可設(shè)拋物線的方程為夕=2〃小

把點尸的坐標(biāo)代入，可得4=2〃，求得p=2,

故拋物線的方程為V=4x.

⑵如圖：由/二軌，，可得y2+4y_4,”=o,

(y=—x+mJ

VA=16+16/w>0,*.tn>-\,且w=-4〃z,yi+y2=-4.

設(shè)拋物線C上存在點Q(劉，川)，使得直線QA,分別于y軸交于M,N兩點,

且|QM=IQM，

則y（）2=4xo,KQM+KQN=Q.

為一如+、2-久=4+4=4（）巾2）+8%

KQM+KQN—KQA+KQB=/+/=0,

巧一而犯一久o-y2+y0-Oi+y0）（323o）

.5=呼=2.

【點評】本題主要考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中

檔題.

5.已知拋物線G；y2=4x,圓C2：(x-3)2+y2=4,尸是拋物線的焦點，過點尸的直

線與拋物線。交于A、B兩點、,與圓C2交于點。，點O是線段4B的中點.

(I)求拋物線的準(zhǔn)線方程；

(II)求△OAB的面積.

【分析】(I)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合準(zhǔn)線方程的定義，求解即可；

(II)設(shè)直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到偉大定理，由中點坐標(biāo)公式求出。的

坐標(biāo)，代入圓的方程求出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長公式以及點到直

線的距離公式，由三角形的面積求解即可.

【解答】解：(I)因為拋物線Q：y2=4%,

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1；

(II)設(shè)直線I的方程為x=my+\,

聯(lián)立直線與拋物線的方程，即『2黑；+1，可得尸-4加)-4=0,

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),

所以yi+y2=4"z,

故+%2=+丫2)+2=47n2+2,

所以D(2相2+1,2M,

將。點坐標(biāo)帶入圓方程可得（ZH2-1）W=l,解得〃?=±1,

根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，"=1,

聯(lián)立方程組「2=1，可得/-6X+1=0,

ky=4%

則Xl+X2=6,

所以H3|=W+%2+2=8,

又點O到直線AB的距離為d°TB=/，

故SA04B=±|AB|-d=2V^

【點評】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，準(zhǔn)線方程的理解與應(yīng)用，直線與拋物線

位置關(guān)系的應(yīng)用，中點坐標(biāo)公式以及弦長公式的運用，點到直線的距離公式的運用，考

查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

%2y2

6.已知橢圓C：而■+記=l（a>b>0）過點（2,-1）,離心率為三，拋物線尸=-i6x

的準(zhǔn)線/交x軸于點A,過點A作直線交橢圓C于M,N.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和點A的坐標(biāo)；

（2）若M是線段AN的中點，求直線MN的方程；

（3）設(shè)P,。是直線/上關(guān)于x軸對稱的兩點，問：直線于QN的交點是否在一條

定直線上？請說明你的理由.

【分析】（1）利用點在橢圓以及離心率公式，列出方程求出。，人的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程，求出橢圓的準(zhǔn)線方程，即可得到點A的坐標(biāo)；

（2）N（jro,和），由中點坐標(biāo)公式求出點M的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，求出N,M的

坐標(biāo)，即可得到直線MN的方程；

（3）設(shè)點尸，。的坐標(biāo)，設(shè)直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，表示出

直線PM,QN的方程，求出直線交點的橫坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理化簡，即可得到答案.

x2y2.V3

【解答】解：（1）因為橢圓C：/+瓦=l（a>b>0）過點（2,-1）,離心率為；

則有二+—=1/e=-="—，且a2=b2+c2,

a2b2a2

解得$=8,b2=2,

x2y2

故橢圓C的方程為二~+一=1,