北師大版七年級數(shù)學上冊 專題12 多邊形與圓的初步認識重難點題型專訓（9大題型）（原卷版+解析）

專題12多邊形與圓的初步認識重難點題型專訓（9大題型）【題型目錄】題型一平面圖形形狀的識別題型二用七巧板拼圖形題型三多邊形的概念與分類題型四多邊形的周長題型五網(wǎng)格中多邊形面積比較題型六多邊形對角線的條數(shù)問題題型七對角線分成的三角形個數(shù)問題題型八平面鑲嵌題型九圓的周長與面積問題【經(jīng)典題型一平面圖形形狀的識別】1．下列圖形中，空白部分和陰影部分的面積相等但周長不相等的是（

）．A．

B．

C．

D．

2．圍成下列這些立體圖形的各個面中，都是平的面為（

）A． B． C． D．3．一個正方形去掉一個角后所得到的圖形最少有條邊．4．如圖所示是一座房子的圖片，其中的圖形有．

5．如圖所示，把一個等腰三角形沿著中間的折痕剪開，得到兩個形狀和大小完全相同的直角三角形，將這兩個直角三角形拼在一起，使得它們有一條相等的邊是公共邊，能拼出多少種不同形狀的平面圖形？請畫出這些圖形．（原三角形不計）【經(jīng)典題型二用七巧板拼圖形】1．用邊長為的正方形紙板，制成一副七巧板，將它拼成“小天鵝”圖案，其中陰影部分的面積是（

）．

A． B． C． D．2．七巧板被西方人稱為“東方魔板”．如圖的兩幅圖是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的邊長為，則“一帆風順”圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．3．七巧板被西方人稱為“東方魔術”，如圖所示的兩幅圖是由同一個七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如圖）的邊長為，若圖2的“小狐貍”圖案中陰影部分面積記為．則．

4．“四巧板”又稱T字之迷，是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具．“四巧板”由一塊長方形（拼圖中的大寫“一“字）分解的4塊不規(guī)則形狀組成．其中有大小不同的直角梯形各一塊，等腰直角三角形一塊，凹五邊形一塊．這幾個多邊形的內角除了有直角外，還有45°、135°和270°的角．如圖是一副“四巧板”：請你用這四塊圖形拼成如圖所示的“箭頭”式樣（示意圖），只需在“箭頭”中畫出分割線，并寫出相應的圖形編號．

四巧板【經(jīng)典題型三多邊形的概念與分類】1．如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個2．下列判斷：（1）各邊長相等的多邊形是正多邊形；（2）各角都相等的多邊形是正多邊形；（3）等邊三角形是正多邊形：（4）長方形是正多邊形．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖所示的多邊形分別是、、、和．

4．我們熟悉的平面圖形中的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、圓等，它們是由若干條的線段首尾順次相連組成的圖形．5．隨著科技的發(fā)展，在公共區(qū)域內安裝“智能全景攝像頭”成為保護人民生命財產(chǎn)安全的有效手段．如圖1所示，這是某倉庫的平面圖，點是圖形內任意一點，點是圖形內的點，連接，若線段總是在圖形內或圖形上，則稱是“完美觀測點”，此處便可安裝攝像頭，而不是“完美觀測點”．

(1)如圖2，以下各點是完美觀測點的是_______（只有一個選項是正確的）

A．

B．

C．

D．(2)如圖3，在圖形內作出兩個完美觀測點，并分別用字母、表示；

(3)圖4是某景觀大樓的平面圖，請作出該圖形中由所有“完美觀測點”組成的圖形，并用陰影表示．

【經(jīng)典題型四多邊形的周長】1．若長方形的一邊長為，另一邊長為，則該長方形的周長為（）A． B．C． D．2．如圖是一塊電腦主板的示意圖，每一轉角處都是直角，數(shù)據(jù)如圖所示（單位：mm），則該主板的周長是（）A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm3．如圖，將四邊形ABCD沿BD、AC剪開，得到四個全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5將這四個直角三角形拼為一個沒有重疊和縫隙的四邊形，則重新拼成的四邊形的周長為．4．如圖，在邊長為的大正方形中，剪去一個邊長為的小正方形，然后將余下的部分剪開拼成如圖所示的長方形，若記大正方形的周長為，拼成的長方形的周長為，則與的大小關系是．5．已知正n邊形的周長為60，邊長為a（1）當n=3時，請直接寫出a的值；（2）把正n邊形的周長與邊數(shù)同時增加7后，假設得到的仍是正多邊形，它的邊數(shù)為n+7，周長為67，邊長為b．有人分別取n等于3，20，120，再求出相應的a與b，然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數(shù)，a與b一定不相等．”你認為這種說法對嗎？若不對，請求出不符合這一說法的n的值．【經(jīng)典題型五網(wǎng)格中多邊形面積比較】1．如圖，網(wǎng)格圖中每個小正方形的邊長均為1，以為半徑的扇形經(jīng)過平移到達扇形的位置，那么圖中陰影部分的面積是（）．

A．8 B．6 C．6.5 D．7.52．如圖所示的方格（每個小方格面積為1）中陰影部分為兩個軸對稱型的漢字，圖①中漢字面積為，圖②中漢字的面積為，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．3．如圖，小個方格都是邊長為1的正方形，圖中四邊形的面積為．4．邊長為的菱形是由邊長為的正方形“形變”得到的，若這個菱形一組對邊之間的距離為，則稱為這個菱形的“形變度”．（）一個“形變度”為的菱形與其“形變”前的正方形的面積之比為；（）如圖，，，為菱形網(wǎng)格（每個小菱形的邊長為，“形變度”為）中的格點則的面積為．5．小聰同學記得，在作業(yè)本中曾介紹了奧地利數(shù)學家皮克發(fā)現(xiàn)的一個計算點陣中多邊形面積的公式：，其中表示多邊形內部的點數(shù)，表示多邊形邊界上的點數(shù)，不過，他忘了系數(shù)的值，請你運用下面的圖形解決問題，下列圖形中有四個相鄰點圍城的正方形面積是個單位面積（1）計算圖①中正方形的面積，并求系數(shù)的值（2）利用面積公式，求出圖②、圖③的多邊形的面積【經(jīng)典題型六多邊形對角線的條數(shù)問題】1．為了豐富同學們的課余生活，東辰學校初二年級計劃舉行一次籃球比賽，從3個分部中選出15支隊伍參加比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每個隊與其他各隊比賽一場），則這次聯(lián)賽共有（

）場比賽．A．30 B．45 C．105 D．2102．如果從一個多邊形的一個頂點出發(fā)作它的對角線，最多能將多邊形分成2011個三角形，那么這個多邊形是

（

）A．2012邊形 B．2013邊形 C．2014邊形 D．2015邊形3．若過m邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形有k條對角線，正h邊形的內角和與外角和相等，則代數(shù)式．4．過某個多邊形的一個頂點可以引出8條對角線，這些對角線將這個多邊形分成個三角形．5．探究歸納題：

(1)如圖1，經(jīng)過四邊形的一個頂點可以作條對角線，它把四邊形分成個三角形；(2)如圖2，經(jīng)過五邊形的一個頂點可以作條對角線，它把五邊形分成個三角形；(3)探索歸納：對于邊形，過一個頂點可以作條對角線，它把邊形分成個三角形；（用含的式子表示）(4)如果經(jīng)過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，那么這個多邊形的邊數(shù)為．【經(jīng)典題型七對角線分成的三角形個數(shù)問題】1．從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點得到2003個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．2001 B．2005 C．2004 D．20062．有下列說法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②從一個多邊形（邊數(shù)為）的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余與之不相鄰的各頂點，可以把這個多邊形分割成個三角形；③角的邊越長，角越大；④一條射線就是一個周角．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個3．從一個多邊形的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，若把這個多邊形被分割成2018個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為．4．過四邊形的一個頂點可以畫一條對角線，且把四邊形分成兩個三角形；過五邊形的一個頂點可以畫兩條對角線，且把五邊形分成三個三角形；......猜想：過n邊形的一個頂點可以畫條對角線，且把n邊形分成個三角形．5．某中學七年級數(shù)學課外興趣小組在探究：“邊形共有多少條對角線”這一問題時，設計了如下表格，請在表格中的橫線上填上相應的結果：多邊形的邊數(shù)從多邊形的一個頂點出發(fā)____________多邊形對角線的總條數(shù)__________________應用得到的結果解決以下問題：①求十二邊形有多少條對角線？②過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和可能為嗎？若能，請求出這個多邊形的邊數(shù)；若不能，請說明理由．【經(jīng)典題型八平面鑲嵌】1．一個頂點周圍用2個正方形和個正三角形恰好無縫隙、無重疊嵌入，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．墾區(qū)小城鎮(zhèn)建設如火如荼，小紅家買了新樓．爸爸在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形四種瓷磚中，只購買一種瓷磚進行平鋪，有幾種購買方式（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種3．如圖，用正多邊形鑲嵌地面，則圖中α的大小為度．

4．現(xiàn)有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等，同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有種．5．我們在用邊長相同的正多邊形進行平面鑲嵌時，各正多邊形重合的頂點叫拼接點，如圖，就是拼接點．我們發(fā)現(xiàn)，各正多邊形的以拼接點為頂點的內角之和為（注：若不能等于，則不能鑲嵌）．圖圖(1)如果我們只用一種邊長相同的正多邊形鑲嵌，那么下面正多邊形中，不能進行鑲嵌的是______．（填序號）正三角形；正方形；正五邊形；正六邊形．(2)為了使鑲嵌圖案美麗多變，我們有時也可以用邊長相同的兩種正多邊形進行鑲嵌，如圖，正三角形與正方形的平面鑲嵌，在一個拼接點的周圍有個正三角形和個正方形．如果我們用邊長相同的正三角形與正六邊形進行鑲嵌，求一個拼接點的周圍有幾個正三角形和幾個正六邊形；我們也可以用邊長相同的正五邊形和正______邊形進行鑲嵌．【經(jīng)典題型九圓的周長與面積問題】1．甲、乙兩個圓，甲圓的面積是，乙圓的周長是，甲、乙兩圓的半徑之比是（）A． B． C．2．如圖兩個半徑都是的圓外切于點C，一只螞蟻由點A開始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（

）

A．D點 B．E點 C．F點 D．G點3．“轉化”是一種重要的數(shù)學思想方法，在學習中經(jīng)常用到．例如：在探究圓面積計算公式時（如下圖），把一個圓平均分成若干等份，剪開拼成一個近似的長方形．這個長方形的長相當于()，長方形的寬就是圓的()，因此圓的面積是()．

4．國際奧委會會旗上的圖案是由代表五大洲的五個圓環(huán)組成，現(xiàn)在在某體育館前的草坪上要修剪出此圖案．已知，每個圓環(huán)的內、外半徑分別為4米和5米，圖中重疊部分的每個小曲邊四邊形的面積都為1平方米，若修剪每平方米的人工費用為10元，則修剪此圖案所花費的人工費為元（π取3）．5．如圖，直徑為1個單位的圓片上有一點A與數(shù)軸上的原點重合，AB是圓片的直徑．（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點A到達數(shù)軸上點C的位置，點C表示的數(shù)是數(shù)（填“無理”或“有理”），這個數(shù)是；（2）把圓片沿數(shù)軸滾動2周，點A到達數(shù)軸上點D的位置，點D表示的數(shù)是；（3）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3①第幾次滾動后，A點距離原點最近？第幾次滾動后，A點距離原點最遠？②當圓片結束運動時，A點運動的路程共有多少？此時點A所表示的數(shù)是多少？【重難點訓練】1．（2023上·陜西延安·八年級統(tǒng)考階段練習）若一個多邊形從一個頂點出發(fā)可引4條對角線，則這個多邊形對角線的總數(shù)為（）A．14 B．28 C．24 D．202．（2023上·黑龍江綏化·六年級?？计谥校┘?、乙兩個圓，甲圓的面積是，乙圓的周長是，甲、乙兩圓的半徑之比是（）A． B． C．3．（2021上·陜西渭南·八年級?？茧A段練習）從一個多邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點，可以把這個多邊形分割成5個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．84．（2023下·山東泰安·九年級?？计谥校┤鐖D兩個半徑都是的圓外切于點C，一只螞蟻由點A開始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（

）

A．D點 B．E點 C．F點 D．G點5．（2023下·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）七巧板是我們祖先的一項卓越創(chuàng)造，被西方人譽為“東方魔板”．已知如圖所示是一副正方形七巧板（相同的板規(guī)定序號相同）．現(xiàn)從七巧板中取出四塊（序號可以相同）拼成一個小正方形（無空隙不重疊），則可以拼成的序號是（

）

A．②③③④ B．①①②③ C．①①②④ D．①①②⑤6．（2023下·四川遂寧·七年級射洪中學校考階段練習）某裝修店里出售下列形狀的地磚：（1）正三角形；（2）正方形；（3）正六邊形；（4）正八邊形，若選購一種或兩種地磚來鋪滿地面，則購買方案共有種．7．（2023上·河北保定·七年級保定市第十七中學校考開學考試）“轉化”是一種重要的數(shù)學思想方法，在學習中經(jīng)常用到．例如：在探究圓面積計算公式時（如下圖），把一個圓平均分成若干等份，剪開拼成一個近似的長方形．這個長方形的長相當于()，長方形的寬就是圓的()，因此圓的面積是()．

8．（2023下·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示的七巧板起源于我國先秦時期，由古算書《周髀算經(jīng)》中關于正方形的分割術，經(jīng)過歷代演變而成，19世紀傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”）．圖2是由邊長為2的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中拍起的“腿”（即陰影部分）的面積為．

9．（2023下·湖南衡陽·七年級?？计谥校┤暨^m邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形有k條對角線，正h邊形的內角和與外角和相等，則代數(shù)式．10．（2022下·八年級單元測試）用正多邊形來鑲嵌平面的原理是共頂點的各個角之和必須等于．現(xiàn)在有七種不同的正多邊形：①正三角形、②正方形、③正六邊形、④正八邊形、⑤正十邊形、⑥正十二邊形、⑦正十五邊形．請你用其中的不同的三種正多邊形來鑲嵌平面，這三種正多邊形可以是：．（請用序號表示，只需寫出兩種即可）11．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級校考階段練習）探究歸納題：

(1)如圖1，經(jīng)過四邊形的一個頂點可以作條對角線，它把四邊形分成個三角形；(2)如圖2，經(jīng)過五邊形的一個頂點可以作條對角線，它把五邊形分成個三角形；(3)探索歸納：對于邊形，過一個頂點可以作條對角線，它把邊形分成個三角形；（用含的式子表示）(4)如果經(jīng)過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，那么這個多邊形的邊數(shù)為．12．（2023上·江西上饒·八年級校考階段練習）我們在用邊長相同的正多邊形進行平面鑲嵌時，各正多邊形重合的頂點叫拼接點，如圖，就是拼接點．我們發(fā)現(xiàn)，各正多邊形的以拼接點為頂點的內角之和為（注：若不能等于，則不能鑲嵌）．圖圖(1)如果我們只用一種邊長相同的正多邊形鑲嵌，那么下面正多邊形中，不能進行鑲嵌的是______．（填序號）正三角形；正方形；正五邊形；正六邊形．(2)為了使鑲嵌圖案美麗多變，我們有時也可以用邊長相同的兩種正多邊形進行鑲嵌，如圖，正三角形與正方形的平面鑲嵌，在一個拼接點的周圍有個正三角形和個正方形．如果我們用邊長相同的正三角形與正六邊形進行鑲嵌，求一個拼接點的周圍有幾個正三角形和幾個正六邊形；我們也可以用邊長相同的正五邊形和正______邊形進行鑲嵌．13．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級期中）課本上介紹了求多邊形的內角和的方法：過邊形的一個頂點作對角線，把邊形分成個三角形，把求多邊形的問題轉化成三角形內角和的問題，從而得到邊形的內角和等于．現(xiàn)在再提供一種添輔助線的方案，請將方案補充完整，并說明“邊形的內角和等于”．（注：此為時的示意圖，說明問題時注意多邊形為n邊形）如圖，P為n邊形．內邊上的任意一點（不與點，重合），連接，，…，，那么n邊形被分成了（

）個三角形，由此推理n邊形的內角和定理．14．（2023下·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）隨著科技的發(fā)展，在公共區(qū)域內安裝“智能全景攝像頭”成為保護人民生命財產(chǎn)安全的有效手段．如圖1所示，這是某倉庫的平面圖，點是圖形內任意一點，點是圖形內的點，連接，若線段總是在圖形內或圖形上，則稱是“完美觀測點”，此處便可安裝攝像頭，而不是“完美觀測點”．

(1)如圖2，以下各點是完美觀測點的是_______（只有一個選項是正確的）

A．

B．

C．

D．(2)如圖3，在圖形內作出兩個完美觀測點，并分別用字母、表示；

(3)圖4是某景觀大樓的平面圖，請作出該圖形中由所有“完美觀測點”組成的圖形，并用陰影表示．

15．（2023下·山東聊城·七年級校聯(lián)考期末）某中學七年級數(shù)學課外興趣小組在探究：“邊形共有多少條對角線”這一問題時，設計了如下表格，請在表格中的橫線上填上相應的結果：多邊形的邊數(shù)從多邊形的一個頂點出發(fā)____________多邊形對角線的總條數(shù)__________________應用得到的結果解決以下問題：①求十二邊形有多少條對角線？②過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和可能為嗎？若能，請求出這個多邊形的邊數(shù)；若不能，請說明理由．

專題12多邊形與圓的初步認識重難點題型專訓（9大題型）【題型目錄】題型一平面圖形形狀的識別題型二用七巧板拼圖形題型三多邊形的概念與分類題型四多邊形的周長題型五網(wǎng)格中多邊形面積比較題型六多邊形對角線的條數(shù)問題題型七對角線分成的三角形個數(shù)問題題型八平面鑲嵌題型九圓的周長與面積問題【經(jīng)典題型一平面圖形形狀的識別】1．下列圖形中，空白部分和陰影部分的面積相等但周長不相等的是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】緊密結合圖形的特點判斷即可．【詳解】A項，空白部分和陰影部分的面積相等，周長也相等，不符合題意；B項，空白部分和陰影部分的面積相等，周長不相等，符合題意；C項，空白部分和陰影部分的面積不相等，周長相等，不符合題意；D項，空白部分和陰影部分的面積不相等，周長也不相等，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了常規(guī)圖形的識別，掌握相關圖形的特點，是解答本題的關鍵．2．圍成下列這些立體圖形的各個面中，都是平的面為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面圖形的各點在同一平面上即可判斷．【詳解】解：A、球面不是平面，故本選項不符合題意；B、側面不是平面，故本選項不符合題意；C、側面不是平面，故本選項不符合題意；D、每個面都是平面，故本選項符合題意，故選：D．【點睛】本題考查平面圖形的概念，難度不大，注意掌握平面圖形的特點是解答的關鍵．3．一個正方形去掉一個角后所得到的圖形最少有條邊．【答案】3【分析】根據(jù)題意畫出圖形，注意各種情況，不要漏解．【詳解】如圖所示：一個正方形去掉一個角后有3種情況，

∴最少有3條邊．故答案為：3．【點睛】此題主要考查了多邊形，關鍵是考慮全面，分類討論．4．如圖所示是一座房子的圖片，其中的圖形有．

【答案】三角形、四邊形、長方形、正方形、梯形、圓【分析】根據(jù)平面圖形的概念求解即可．【詳解】根據(jù)題意可得，其中的圖形有三角形、四邊形、長方形、正方形、梯形、圓．故答案為：三角形、四邊形、長方形、正方形、梯形、圓．【點睛】此題考查了簡單的平面圖形，解題的關鍵是正確認識常見的平面圖形．5．如圖所示，把一個等腰三角形沿著中間的折痕剪開，得到兩個形狀和大小完全相同的直角三角形，將這兩個直角三角形拼在一起，使得它們有一條相等的邊是公共邊，能拼出多少種不同形狀的平面圖形？請畫出這些圖形．（原三角形不計）【答案】5種，圖見解析【分析】由于等腰三角形的兩腰相等，且底邊的高線即是底邊的中線，所以把任意相等的兩邊重合組成圖形即可．【詳解】解：如圖所示：【點睛】本題考查的是圖形的剪拼，分類討論是解答此題的關鍵．【經(jīng)典題型二用七巧板拼圖形】1．用邊長為的正方形紙板，制成一副七巧板，將它拼成“小天鵝”圖案，其中陰影部分的面積是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖示可知，“小天鵝”圖案是由邊長是1分米的正方形切拼而成，所以“小天鵝”圖案的面積等于這個正方形的面積．根據(jù)陰影部分的面積占整個正方形面積的分率求解即可．【詳解】解：如圖：

（平方分米）答：陰影部分的面積為．故選：B．【點睛】本題主要考查組合圖形的面積，關鍵是分清陰影部分與整個圖形的關系．2．七巧板被西方人稱為“東方魔板”．如圖的兩幅圖是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的邊長為，則“一帆風順”圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先確定陰影部分的三角形在七巧板中所屬的部分，再根據(jù)這個三角形與正方形邊長的關系求出這個三角形的邊長，便可以根據(jù)三角形的面積公式進行解答．【詳解】由圖可知“一帆風順”圖中陰影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，這個等腰直角三角形的直角邊的長度是正方形邊長的一半，即為，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查圖形的認識與面積的計算，解題的關鍵是尋找到陰影部分在圖形中所屬的部分，并熟悉等腰直角三角形的性質及三角形的面積公式．3．七巧板被西方人稱為“東方魔術”，如圖所示的兩幅圖是由同一個七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如圖）的邊長為，若圖2的“小狐貍”圖案中陰影部分面積記為．則．

【答案】【分析】利用七巧板的各邊之間的關系即可求出，，，的長，觀察圖形即可求出陰影部分面積．【詳解】由圖可知“小狐貍”圖案中陰影部分面積為圖形①②③④的面積和，

∵正方形的邊長為，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了七巧板的知識，熟練掌握七巧板各邊的關系是解題的關鍵．4．“四巧板”又稱T字之迷，是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具．“四巧板”由一塊長方形（拼圖中的大寫“一“字）分解的4塊不規(guī)則形狀組成．其中有大小不同的直角梯形各一塊，等腰直角三角形一塊，凹五邊形一塊．這幾個多邊形的內角除了有直角外，還有45°、135°和270°的角．如圖是一副“四巧板”：請你用這四塊圖形拼成如圖所示的“箭頭”式樣（示意圖），只需在“箭頭”中畫出分割線，并寫出相應的圖形編號．

四巧板【答案】見解析【分析】根據(jù)要求動手操作，畫出圖形即可．【詳解】解：分割線如圖所示：【點睛】本題考查直角梯形，四巧板，圖形的拼剪等知識，解題的關鍵是學會動手操作，培養(yǎng)動手能力．【經(jīng)典題型三多邊形的概念與分類】1．如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】A【分析】根據(jù)多邊形定義，逐個驗證即可得到答案．【詳解】解：所示的圖形中，第一個是三角形、第二個是四邊形、第三個是圓、第四個是正六邊形、第五個是正方體，屬于多邊形的有第一個、第二個、第四個，共有3個，故選：A．【點睛】本題考查多邊形定義，熟記多邊形定義是解決問題的關鍵．2．下列判斷：（1）各邊長相等的多邊形是正多邊形；（2）各角都相等的多邊形是正多邊形；（3）等邊三角形是正多邊形：（4）長方形是正多邊形．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】各個角都相等，各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形．依據(jù)正多邊形的概念進行判斷即可．【詳解】解：（1）菱形各邊相等，但不是正四邊形，故說法錯誤；（2）長方形各角都相等，但不是正四邊形，故說法錯誤；（3）等邊三角形三條邊都相等，三個角都相等，是正多邊形，故說法正確；（4）長方形的四個角相等，但長與寬不一定相等，所以不一定是正多邊形，故說法錯誤．故正確的有：1個．故說：A．【點睛】本題考查了正多邊形的概念，各個角都相等，各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形．3．如圖所示的多邊形分別是、、、和．

【答案】四邊形五邊形八邊形四邊形五邊形【分析】根據(jù)多邊形的定義，數(shù)出邊數(shù)即可求解．【詳解】解：如圖所示的多邊形分別是（1）四邊形；（2）五邊形；（3）八邊形；（4）四邊形；（5）五邊形；故答案為：（1）四邊形；（2）五邊形；（3）八邊形；（4）四邊形；（5）五邊形．【點睛】本題考查了多邊形的定義，熟練掌握多邊形的定義是解題的關鍵．由在同一平面且不在同一直線上的三條或三條以上的線段首尾順次連接且不相交所組成的封閉圖形叫做多邊形．4．我們熟悉的平面圖形中的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、圓等，它們是由若干條的線段首尾順次相連組成的圖形．【答案】不在同一直線上封閉平面5．隨著科技的發(fā)展，在公共區(qū)域內安裝“智能全景攝像頭”成為保護人民生命財產(chǎn)安全的有效手段．如圖1所示，這是某倉庫的平面圖，點是圖形內任意一點，點是圖形內的點，連接，若線段總是在圖形內或圖形上，則稱是“完美觀測點”，此處便可安裝攝像頭，而不是“完美觀測點”．

(1)如圖2，以下各點是完美觀測點的是_______（只有一個選項是正確的）

A．

B．

C．

D．(2)如圖3，在圖形內作出兩個完美觀測點，并分別用字母、表示；

(3)圖4是某景觀大樓的平面圖，請作出該圖形中由所有“完美觀測點”組成的圖形，并用陰影表示．

【答案】(1)D(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)完美觀測點的定義作出完美觀測點所在的區(qū)域，進而可得答案；（2）根據(jù)完美觀測點的定義作出完美觀測點所在的區(qū)域，進而可得答案；（3）根據(jù)完美觀測點的定義作出完美觀測點所在的區(qū)域，進而可得答案．【詳解】（1）解：如圖2，陰影部分的區(qū)域（含邊界）內的點都是完美觀測點，即是完美觀測點，故選：D；

（2）如圖，點，點落在圖中陰影部分的區(qū)域（含邊界）即可；

（3）如圖所示：陰影部分即為所求.

【點睛】本題考查了多邊形的應用，正確理解“完美觀測點”的意義是解題的關鍵．【經(jīng)典題型四多邊形的周長】1．若長方形的一邊長為，另一邊長為，則該長方形的周長為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)長方形周長的計算公式求解．【詳解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n，故選C．【點睛】本題考查長方形的應用，熟練掌握長方形周長的意義和計算公式是解題關鍵．2．如圖是一塊電腦主板的示意圖，每一轉角處都是直角，數(shù)據(jù)如圖所示（單位：mm），則該主板的周長是（）A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm【答案】B【分析】根據(jù)題意，電腦主板是一個多邊形，由周長的定義可知，周長是求圍成圖形一周的長度之和，計算周長只需要把橫著的和豎著的所有線段加起來即可．【詳解】由圖形可得出：該主板的周長是：24+24+16+16+4×4＝96（mm），故該主板的周長是96mm，故選：B．【點睛】本題考查了不規(guī)則多邊形周長的求解方法，理解周長的定義是求解的關鍵．3．如圖，將四邊形ABCD沿BD、AC剪開，得到四個全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5將這四個直角三角形拼為一個沒有重疊和縫隙的四邊形，則重新拼成的四邊形的周長為．【答案】20，22，26，28【分析】以直角三角形邊長相等的邊為公共邊，拼接四邊形，再計算周長；【詳解】解：①如圖周長=20；②如圖周長=22；③如圖周長=26；④如圖周長=28；⑤如圖周長=22；∴四邊形的周長為：20，22，26，28；故答案為：20，22，26，28．【點睛】本題考查了圖形的拼接，四邊形的周長；作出拼接圖形是解題關鍵．4．如圖，在邊長為的大正方形中，剪去一個邊長為的小正方形，然后將余下的部分剪開拼成如圖所示的長方形，若記大正方形的周長為，拼成的長方形的周長為，則與的大小關系是．【答案】【分析】根據(jù)周長公式進行計算即可．【詳解】解：左圖的周，右圖的周長，所以，故答案為：．【點睛】本題考查計算圖形周長，理解周長的定義以及長方形周長的計算方法是正確解答的前提．5．已知正n邊形的周長為60，邊長為a（1）當n=3時，請直接寫出a的值；（2）把正n邊形的周長與邊數(shù)同時增加7后，假設得到的仍是正多邊形，它的邊數(shù)為n+7，周長為67，邊長為b．有人分別取n等于3，20，120，再求出相應的a與b，然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數(shù)，a與b一定不相等．”你認為這種說法對嗎？若不對，請求出不符合這一說法的n的值．【答案】（1）20（2）不正確【詳解】試題分析：分析：（1）根據(jù)正多邊形的每條邊相等，可知邊長=周長÷邊數(shù)；（2）分別表示出a和b的代數(shù)式，讓其相等，看是否有相應的值.試題解析：（1）a=60÷3=20；（2）此說法不正確．理由如下：盡管當n=3、20、120時，a＞b或a＜b，但可令a=b，得，∴60n+420=67n，解得n=60，經(jīng)檢驗n=60是方程的根．∴當n=60時，a=b，即不符合這一說法的n的值為60．點睛：本題考查分式方程的應用，關鍵是以邊長作為等量關系列方程求解，也考查了正多邊形的知識點.【經(jīng)典題型五網(wǎng)格中多邊形面積比較】1．如圖，網(wǎng)格圖中每個小正方形的邊長均為1，以為半徑的扇形經(jīng)過平移到達扇形的位置，那么圖中陰影部分的面積是（）．

A．8 B．6 C．6.5 D．7.5【答案】B【分析】如圖：連接和，可以發(fā)現(xiàn)，然后求得平行四邊形的面積即可解答．【詳解】解：連接和，則．

故選：B．【點睛】本題主要考查了求陰影部分的面積，將陰影部分的面積轉換成求平行四邊形的面積是解答本題的關鍵．2．如圖所示的方格（每個小方格面積為1）中陰影部分為兩個軸對稱型的漢字，圖①中漢字面積為，圖②中漢字的面積為，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】利用割補法分別求出和的面積，再作差即可．【詳解】解：如圖，，，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查不規(guī)則圖形的面積，掌握割補法求不規(guī)則圖形的面積是解題關鍵．3．如圖，小個方格都是邊長為1的正方形，圖中四邊形的面積為．【答案】【分析】利用大正方形的面積減去四邊形周圍的小三角形面積即可．【詳解】解：四邊形ABCD的面積為：=，故答案為：．【點睛】此題主要考查了四邊形面積求法，掌握割補法是解題的關鍵．4．邊長為的菱形是由邊長為的正方形“形變”得到的，若這個菱形一組對邊之間的距離為，則稱為這個菱形的“形變度”．（）一個“形變度”為的菱形與其“形變”前的正方形的面積之比為；（）如圖，，，為菱形網(wǎng)格（每個小菱形的邊長為，“形變度”為）中的格點則的面積為．【答案】【分析】（1）先分別求出菱形和正方形的面積，然后根據(jù)變形度為2求解即可；（2）先把網(wǎng)格中的菱形當成是正方形，然后算出三角形的面積，最后根據(jù)變形度求解即可得到答案.【詳解】解：（）∵邊長為的正方形面積，邊長為的菱形面積，∴菱形面積：正方形面積，∵菱形的變形度為，即，∴．故答案為：；（）∵菱形邊長為，“形變度”為，∴菱形形變前的面積與形變后面積比為，∴．故答案為：9.【點睛】本題主要考查了網(wǎng)格中面積的計算，解題的關鍵在于能夠準確地讀懂題意進行求解.5．小聰同學記得，在作業(yè)本中曾介紹了奧地利數(shù)學家皮克發(fā)現(xiàn)的一個計算點陣中多邊形面積的公式：，其中表示多邊形內部的點數(shù)，表示多邊形邊界上的點數(shù)，不過，他忘了系數(shù)的值，請你運用下面的圖形解決問題，下列圖形中有四個相鄰點圍城的正方形面積是個單位面積（1）計算圖①中正方形的面積，并求系數(shù)的值（2）利用面積公式，求出圖②、圖③的多邊形的面積【答案】（1）S=9，k=；（2）圖②：14，圖③：9.5【分析】（1）根據(jù)圖像可直接計算出正方形面積，再數(shù)出a和b的值，代入公式即可計算k值；（2）分別得出圖②和圖③中a和b的值，再利用公式求出面積．【詳解】解：（1）由圖可知：圖①中正方形的邊長為3，∴面積為3×3=9，在中，對應a=4，b=12，∴9=4+12k-1，解得：k=；（2）圖②中，a=10，b=10，則S=10+×10-1=14，圖③中，a=5，b=11，則S=5+×11-1=9.5．【點睛】本題考查了格點圖形的面積的計算，一個單位長度的正方形網(wǎng)格紙中多邊形面積的公式：的運用．【經(jīng)典題型六多邊形對角線的條數(shù)問題】1．為了豐富同學們的課余生活，東辰學校初二年級計劃舉行一次籃球比賽，從3個分部中選出15支隊伍參加比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每個隊與其他各隊比賽一場），則這次聯(lián)賽共有（

）場比賽．A．30 B．45 C．105 D．210【答案】C【分析】根據(jù)多邊形對角線的計算方式可得出，m支球隊舉行比賽，若每個球隊與其他隊比賽（m-1）場，則兩隊之間比賽兩場，由于是單循環(huán)比賽，則共比賽m（m-1）．【詳解】解：15支球隊舉行單循環(huán)比賽，比賽的總場數(shù)為：×15×（15-1）=105．故選：C．【點睛】本題考查多邊形的對角線的知識，解題的關鍵是讀懂題意，明確單循環(huán)賽制的含義，利用多邊形的對角線條數(shù)的知識進行解答．2．如果從一個多邊形的一個頂點出發(fā)作它的對角線，最多能將多邊形分成2011個三角形，那么這個多邊形是

（

）A．2012邊形 B．2013邊形 C．2014邊形 D．2015邊形【答案】B【分析】經(jīng)過n邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成（n-2）個三角形，根據(jù)此關系式求邊數(shù)．【詳解】設多邊形有n條邊，則n?2=2011，解得：n=2013.所以這個多邊形的邊數(shù)是2013.故選B.【點睛】本題考查了多邊形的知識點，解題的關鍵是熟練的掌握多邊形對角線的性質與運用.3．若過m邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形有k條對角線，正h邊形的內角和與外角和相等，則代數(shù)式．【答案】500【分析】若過邊形的一個頂點有7條對角線，則；邊形沒有對角線，只有三角形沒有對角線，因而；邊形有條對角線，即得到方程，解得；正邊形的內角和與外角和相等，內角和與外角和相等的只有四邊形，因而．代入解析式就可以求出代數(shù)式的值．【詳解】解：邊形從一個頂點發(fā)出的對角線有條，，，，；則．故答案為：500【點睛】本題考查了多邊形的性質，解題的關鍵是掌握邊形從一個頂點發(fā)出的對角線有條，共有對角線條．4．過某個多邊形的一個頂點可以引出8條對角線，這些對角線將這個多邊形分成個三角形．【答案】9【分析】根據(jù)過n邊形的一個頂點，可以引出（n-3）條對角線，這些對角線把該多邊形分成（n-2）個三角形，即可求解．【詳解】解：∵某個多邊形的一個頂點可以引出8條對角線，∴該多邊形的邊數(shù)為8+3=11，∴這些對角線將這個多邊形分成11-2=9個三角形．故答案為：9【點睛】本題主要考查了多邊形的對角線問題，熟練掌握過n邊形的一個頂點，可以引出（n-3）條對角線，這些對角線把該多邊形分成（n-2）個三角形是解題的關鍵．5．探究歸納題：

(1)如圖1，經(jīng)過四邊形的一個頂點可以作條對角線，它把四邊形分成個三角形；(2)如圖2，經(jīng)過五邊形的一個頂點可以作條對角線，它把五邊形分成個三角形；(3)探索歸納：對于邊形，過一個頂點可以作條對角線，它把邊形分成個三角形；（用含的式子表示）(4)如果經(jīng)過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，那么這個多邊形的邊數(shù)為．【答案】(1)12(2)23(3)(4)【分析】（1）根據(jù)題意畫出對圖中的一個頂點的對角線即可得到結論；（2）根據(jù)題意畫出對圖中的一個頂點的對角線即可得到結論；（3）根據(jù)（1）（2）中的結論，可找到規(guī)律即可得到結論；（4）將100代入（3）的結論中即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖1：

經(jīng)過1個頂點做1條對角線，它把四邊形分為2個三角形，故答案為：1，2．（2）解：運用（1）的分析方法，可得：圖2過一個頂點，共有2條對角線，將這個多邊形分為3個三角形；圖3過一個頂點，共有3條對角線，將這個多邊形分為4個三角形；故答案為：2，3．（3）解：對于邊形，過一個頂點可以作條對角線，它把邊形分成個三角形；故答案為：，．（4）解：∵過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，∴代入（3）中的結論：對于邊形，過一個頂點可以作條對角線，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查多邊形的對角線、邊及三角形分割，利用題中的條件找出題中的規(guī)律是解此題的關鍵．【經(jīng)典題型七對角線分成的三角形個數(shù)問題】1．從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點得到2003個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．2001 B．2005 C．2004 D．2006【答案】C【分析】根據(jù)多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各頂點所得三角形數(shù)比多邊形的邊數(shù)少1即可求解．【詳解】解：多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點得到2003個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為2003+1＝2004．故選：C．【點睛】本題主要考查多邊形的概念，熟練掌握多邊形的概念是解題的關鍵．2．有下列說法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②從一個多邊形（邊數(shù)為）的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余與之不相鄰的各頂點，可以把這個多邊形分割成個三角形；③角的邊越長，角越大；④一條射線就是一個周角．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【答案】A【分析】根據(jù)多邊形的定義，多邊形對角線，角的大小，周角等知識逐項判斷即可求解．【詳解】解：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形，判斷錯誤；②從一個多邊形（邊數(shù)為）的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余與之不相鄰的各頂點，可以把這個多邊形分割成個三角形，判斷正確；③角的邊越長，角越大，判斷錯誤；④一條射線就是一個周角，判斷錯誤．故選：A【點睛】本題考查了多邊形、角等知識，理解多邊形、多邊形對角線、角、周角的概念是解題關鍵．3．從一個多邊形的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，若把這個多邊形被分割成2018個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為．【答案】2020【分析】從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，可以引（n-3）條對角線，把n邊形分為（n-2）的三角形．【詳解】解：由題意可知：n-2=2018，解得n=2020，則這個多邊形的邊數(shù)為2020，故答案為：2020．【點睛】此題主要考查了多邊形，關鍵是掌握從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，可以把n邊形分為（n-2）個三角形．4．過四邊形的一個頂點可以畫一條對角線，且把四邊形分成兩個三角形；過五邊形的一個頂點可以畫兩條對角線，且把五邊形分成三個三角形；......猜想：過n邊形的一個頂點可以畫條對角線，且把n邊形分成個三角形．【答案】【分析】根據(jù)四邊形可以條對角線，被分成了4-2=2個三角形，五邊形可以引條對角線，被分成了5-2=3個三角形，依此類推，n邊形可以引條對角線，被分成個三角形．【詳解】從四邊形的一個頂點出發(fā)，可以引1條對角線，將四邊形分成2個三角形；從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以引2條對角線，將五邊形分成3個三角形；從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以引3條對角線，將六邊形分成4個三角形；從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以引條對角線，將n邊形分成個三角形故答案為：，．【點睛】本題考查了多邊形的規(guī)律問題，掌握對角線和三角形的性質、多邊形的規(guī)律是解題的關鍵．5．某中學七年級數(shù)學課外興趣小組在探究：“邊形共有多少條對角線”這一問題時，設計了如下表格，請在表格中的橫線上填上相應的結果：多邊形的邊數(shù)從多邊形的一個頂點出發(fā)____________多邊形對角線的總條數(shù)__________________應用得到的結果解決以下問題：①求十二邊形有多少條對角線？②過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和可能為嗎？若能，請求出這個多邊形的邊數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】填表：；①54；②可以為，這個多邊形的邊數(shù)1014【分析】根據(jù)題意求出相應數(shù)據(jù)，填表即可；①由表格探求的邊形對角線總條數(shù)公式：得出最終結果；②從邊形的一個頂點出發(fā)可引條對角線，這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)為，據(jù)此求解．【詳解】解：填表如下：多邊形的邊數(shù)從多邊形的一個頂點出發(fā)3多邊形對角線的總條數(shù)59故答案為：3，，，；把代入得，．十二邊形有條對角線．能．由題意得，23，解得=1014．多邊形的邊數(shù)n是正整數(shù)，過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和可以為，這個多邊形的邊數(shù)1014．【點睛】本題考查邊形對角線公式，過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)，掌握對角線數(shù)量形成的規(guī)律，熟練應用規(guī)律是解題關鍵．【經(jīng)典題型八平面鑲嵌】1．一個頂點周圍用2個正方形和個正三角形恰好無縫隙、無重疊嵌入，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)鑲嵌的條件可知，在一個頂點處各個內角和為，列式求解即可．【詳解】解：正方形的每個內角是，正三角形的每個內角是，根據(jù)題意得：，解得：，故選：B．【點睛】本題主要考查了平面鑲嵌，解題的關鍵是掌握平面鑲嵌時在一個頂點處各個內角和為．2．墾區(qū)小城鎮(zhèn)建設如火如荼，小紅家買了新樓．爸爸在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形四種瓷磚中，只購買一種瓷磚進行平鋪，有幾種購買方式（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】C【分析】從所給的選項中取出一些進行判斷，看其所有內角和是否為360°，并以此為依據(jù)進行求解．【詳解】解：正三角形每個內角是60°，能被360°整除，所以能單獨鑲嵌成一個平面；正方形每個內角是90°，能被360°整除，所以能單獨鑲嵌成一個平面；正五邊形每個內角是108°，不能被360°整除，所以不能單獨鑲嵌成一個平面；正六邊形每個內角是120°，能被360°整除，所以能單獨鑲嵌成一個平面．故只購買一種瓷磚進行平鋪，有3種方式．故選：C．【點睛】本題主要考查了平面鑲嵌．解這類題，根據(jù)組成平面鑲嵌的條件，逐個排除求解．3．如圖，用正多邊形鑲嵌地面，則圖中α的大小為度．

【答案】150【分析】進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內角和應為，據(jù)此求出α即可．【詳解】解：∵正方形的內角為，正六邊形的內角為，∴，解得．故答案為：150．【點睛】本題考查了平面鑲嵌，解題的關鍵是求正多邊形一個內角度數(shù)，可先求出這個外角度數(shù)，讓減去即可．一種正多邊形的鑲嵌應符合一個內角度數(shù)能整除；兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．4．現(xiàn)有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等，同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有種．【答案】3【分析】正多邊形的組合能否鋪滿地面，關鍵是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為360°．若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．因為正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形的內角分別為60°、90°、120°、135°，根據(jù)多邊形鑲嵌成平面圖形的條件可知．【詳解】解：①正三角形、正方形，由于60°×3+90°×2=360°，故能鋪滿；②正三角形、正六邊形，由于60°×2+120°×2=360°，或60°×4+120°×1=360°，故能鋪滿；③正三角形、正八邊形，顯然不能構成360°的周角，故不能鋪滿；④正方形、正六邊形，顯然不能構成360°的周角，故不能鋪滿；⑤正方形、正八邊形，由于90°+135°×2=360°，故能鋪滿；⑥正六邊形、正八邊形，顯然不能構成360°的周角，故不能鋪滿．故選擇的方式有3種．故答案為：3．【點睛】本題考查了平面鑲嵌，解決本題的關鍵是掌握平面鑲嵌定義．用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接．彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．5．我們在用邊長相同的正多邊形進行平面鑲嵌時，各正多邊形重合的頂點叫拼接點，如圖，就是拼接點．我們發(fā)現(xiàn)，各正多邊形的以拼接點為頂點的內角之和為（注：若不能等于，則不能鑲嵌）．圖圖(1)如果我們只用一種邊長相同的正多邊形鑲嵌，那么下面正多邊形中，不能進行鑲嵌的是______．（填序號）正三角形；正方形；正五邊形；正六邊形．(2)為了使鑲嵌圖案美麗多變，我們有時也可以用邊長相同的兩種正多邊形進行鑲嵌，如圖，正三角形與正方形的平面鑲嵌，在一個拼接點的周圍有個正三角形和個正方形．如果我們用邊長相同的正三角形與正六邊形進行鑲嵌，求一個拼接點的周圍有幾個正三角形和幾個正六邊形；我們也可以用邊長相同的正五邊形和正______邊形進行鑲嵌．【答案】(1)(2)一個拼接點的周圍有個正三角形和個正六邊形或個正三角形和個正六邊形；十．【分析】（）求出正多邊形的內角，再用除以內角度數(shù)，根據(jù)結果是否為整數(shù)，逐項判斷即可；（）設在平面鑲嵌時，圍繞在某一點有個正三角形和個正六邊形的內角可以拼成一個周角，則有，進而判斷出情況；設用邊長相同的個正五邊形和個正邊形進行鑲嵌，則，得出，由，為正整數(shù)，進行分類討論即可求解．【詳解】（1）正三角形的內角為，，結果是整數(shù)，可以進行平面鑲嵌；正方形內角為，，結果是整數(shù)，可以進行平面鑲嵌；正五邊形內角為，，結果不是整數(shù)，不可以進行平面鑲嵌；正六邊形內角為，，結果是整數(shù)，可以進行平面鑲嵌；故選：；（2）設在平面鑲嵌時，一個拼接點的周圍有個正三角形和個正六邊形，根據(jù)題意得：，∴，∵，為正整數(shù)，∴或，答：在平面鑲嵌時，一個拼接點的周圍有個正三角形和個正六邊形或個正三角形和個正六邊形；由于正五邊形內角為，設用邊長相同的個正五邊形和個正邊形進行鑲嵌，則，整理得：，∵，，為正整數(shù)，∴應為正整數(shù)，則或，當時，，此時，無正整數(shù)解，當時，，解得正整數(shù)解為：，故答案為：十．【點睛】此題考查了多邊形內角和和平面鑲嵌，解題的關鍵是掌握平面鑲嵌的要求：拼接在同一個頂點處的多邊形的內角之和等于．【經(jīng)典題型九圓的周長與面積問題】1．甲、乙兩個圓，甲圓的面積是，乙圓的周長是，甲、乙兩圓的半徑之比是（）A． B． C．【答案】A【分析】圓的面積和周長公式分別求出甲乙的半徑，再求二者之比，即可求解．【詳解】解：由題意得解得：，解得：，所以，故選：A．【點睛】本題考查了圓的面積和周長公式，掌握公式是解題的關鍵．2．如圖兩個半徑都是的圓外切于點C，一只螞蟻由點A開始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（

）

A．D點 B．E點 C．F點 D．G點【答案】A【分析】先求出螞蟻爬行一圈所走的路程，再根據(jù)停下來時重復的圈數(shù)和余數(shù)，進而求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，每段長度為四分之一的圓周長，即，又知繞行8段為一循環(huán)，則爬行一圈的路程為，∵，，∴行走后才停下來，那一個點為D點，故選：A．【點睛】本題考查圓的周長，圖形類規(guī)律探究，解答的關鍵是理解題意，能根據(jù)爬行一圈的路程得出重復的圈數(shù)，再由余數(shù)確定最終的位置．3．“轉化”是一種重要的數(shù)學思想方法，在學習中經(jīng)常用到．例如：在探究圓面積計算公式時（如下圖），把一個圓平均分成若干等份，剪開拼成一個近似的長方形．這個長方形的長相當于()，長方形的寬就是圓的()，因此圓的面積是()．

【答案】圓周長的一半半徑【分析】根據(jù)圓拼成的長方形的過程可知:近似長方形的長相當于圓周長的一半，長方形的寬相當于圓的半徑，然后根據(jù)長方形的面積公式推導出圓的面積公式.據(jù)此解答．【詳解】解：近似長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，圓的面積近似長方形的面積長寬．故答案為：圓周長的一半，半徑，．【點睛】本題主要考查了學生利用知識的遷移推導圓面積公式的過程，正確理解轉化的思想是解答本題的關鍵．4．國際奧委會會旗上的圖案是由代表五大洲的五個圓環(huán)組成，現(xiàn)在在某體育館前的草坪上要修剪出此圖案．已知，每個圓環(huán)的內、外半徑分別為4米和5米，圖中重疊部分的每個小曲邊四邊形的面積都為1平方米，若修剪每平方米的人工費用為10元，則修剪此圖案所花費的人工費為元（π取3）．【答案】1270【分析】根據(jù)環(huán)形的面積公式結合題意列出算式即可求解．【詳解】解：修剪草坪的面積為：（平方米），因此所用的人工費為（元），故答案為：1270．【點睛】本題主要考查環(huán)形的面積，掌握大圓面積-小圓面積=環(huán)形面積是關鍵．5．如圖，直徑為1個單位的圓片上有一點A與數(shù)軸上的原點重合，AB是圓片的直徑．（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點A到達數(shù)軸上點C的位置，點C表示的數(shù)是數(shù)（填“無理”或“有理”），這個數(shù)是；（2）把圓片沿數(shù)軸滾動2周，點A到達數(shù)軸上點D的位置，點D表示的數(shù)是；（3）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3①第幾次滾動后，A點距離原點最近？第幾次滾動后，A點距離原點最遠？②當圓片結束運動時，A點運動的路程共有多少？此時點A所表示的數(shù)是多少？【答案】（1）無理，﹣π；（2）±2π或0；（3）①第四次，第三次；②13π，﹣3π【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動周數(shù)即可得出滾動距離；（2）根據(jù)圓的直徑以及滾動周數(shù)分三種情形討論即可得出答案；（3）①求出每一次滾動后所表示的數(shù)，然后得出最大值和最小值；②將各數(shù)的絕對值進行求和，然后根據(jù)圓的周長計算公式得出答案；將各數(shù)進行相加，乘以圓的周長得出答案.；【詳解】解：（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點A到達數(shù)軸上點C的位置，點C表示的數(shù)是無理數(shù)，這個數(shù)是﹣π；故答案為：無理，﹣π；（2）分三種情況：①當把圓片沿數(shù)軸向右滾動2周，點A到達數(shù)軸上點D的位置，點D表示的數(shù)是2π②當把圓片沿數(shù)軸向左滾動2周，點A到達數(shù)軸上點D的位置，點D表示的數(shù)是－2π③當先把圓片沿數(shù)軸向右滾動1周，再向左滾動1周或者先把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，再向右滾動1周，點A到達數(shù)軸上點D的位置，點D表示的數(shù)是0故答案為±4π或0．（3）①∵圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3，∴第4次滾動后，A點距離原點最近，第3次滾動后，A點距離原點最遠；②∵|+2|+|﹣1|+|+3|+|﹣4|+|﹣3|=13，∴13×π×1=13π，∴A點運動的路程共有13π；∵（+2）+（﹣1）+（+3）+（﹣4）+（﹣3）=﹣3，（﹣3）×π=﹣3π，∴此時點A所表示的數(shù)是：﹣3π．【點睛】本題考查數(shù)軸上的動點問題、圓的周長公式，旋轉變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【重難點訓練】1．（2023上·陜西延安·八年級統(tǒng)考階段練習）若一個多邊形從一個頂點出發(fā)可引4條對角線，則這個多邊形對角線的總數(shù)為（）A．14 B．28 C．24 D．20【答案】A【分析】根據(jù)一個邊形從一個頂點出發(fā)有條對角線，即可求出該多邊形的邊數(shù)．再根據(jù)邊形對角線的總數(shù)為，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，一個多邊形從一個頂點出發(fā)可引4條對角線，可知該多邊形的邊數(shù)為，∴這個多邊形對角線的總數(shù)為．故選：A．【點睛】本題主要考查了多邊形的對角線的條數(shù)問題，熟練掌握邊形的相關公式是解題關鍵．2．（2023上·黑龍江綏化·六年級?？计谥校┘?、乙兩個圓，甲圓的面積是，乙圓的周長是，甲、乙兩圓的半徑之比是（）A． B． C．【答案】A【分析】圓的面積和周長公式分別求出甲乙的半徑，再求二者之比，即可求解．【詳解】解：由題意得解得：，解得：，所以，故選：A．【點睛】本題考查了圓的面積和周長公式，掌握公式是解題的關鍵．3．（2021上·陜西渭南·八年級?？茧A段練習）從一個多邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點，可以把這個多邊形分割成5個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】設這個多邊形的邊數(shù)是邊形，根據(jù)從一個邊形的某個頂點出發(fā)，可以引條對角線，把邊形分為個三角形，由此可得，進行計算即可得到答案【詳解】解：設這個多邊形的邊數(shù)是邊形，根據(jù)題意可得：，解得：，這個多邊形的邊數(shù)是7，故選：C．【點睛】本題考查了多邊形，解題的關鍵是掌握從一個邊形的某個頂點出發(fā)，可以引條對角線，把邊形分為個三角形．4．（2023下·山東泰安·九年級校考期中）如圖兩個半徑都是的圓外切于點C，一只螞蟻由點A開始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（

）

A．D點 B．E點 C．F點 D．G點【答案】A【分析】先求出螞蟻爬行一圈所走的路程，再根據(jù)停下來時重復的圈數(shù)和余數(shù)，進而求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，每段長度為四分之一的圓周長，即，又知繞行8段為一循環(huán)，則爬行一圈的路程為，∵，，∴行走后才停下來，那一個點為D點，故選：A．【點睛】本題考查圓的周長，圖形類規(guī)律探究，解答的關鍵是理解題意，能根據(jù)爬行一圈的路程得出重復的圈數(shù)，再由余數(shù)確定最終的位置．5．（2023下·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）七巧板是我們祖先的一項卓越創(chuàng)造，被西方人譽為“東方魔板”．已知如圖所示是一副正方形七巧板（相同的板規(guī)定序號相同）．現(xiàn)從七巧板中取出四塊（序號可以相同）拼成一個小正方形（無空隙不重疊），則可以拼成的序號是（

）

A．②③③④ B．①①②③ C．①①②④ D．①①②⑤【答案】B【分析】由題意畫出圖形可求解．【詳解】解：由題意，B選項可拼成一個小正方形（無空隙不重疊）如下：

故選：B．【點睛】本題考查了幾何圖形的想象能力，注意同一個序號的圖形有兩個時，兩個都可以使用．6．（2023下·四川遂寧·七年級射洪中學?？茧A段練習）某裝修店里出售下列形狀的地磚：（1）正三角形；（2）正方形；（3）正六邊形；（4）正八邊形，若選購一種或兩種地磚來鋪滿地面，則購買方案共有種．【答案】6/六【分析】分別求出各個正多邊形的每個內角的度數(shù)，結合鑲嵌的條件：要密鋪地面，圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好等于，分別計算即可求出答案．【詳解】∵正三角形的每個內角是，能整除，∴正三角形能密鋪；∵正方形的每個內角是，能整除，∴正方形能密鋪；∵正六邊形的每個內角是，能整除，∴正六邊形能密鋪；∵正八邊形每個內角是，不能整除，∴正八邊形不能密鋪；∵，∴正三角形和正方形能密鋪；∵，∴正三角形和正六邊形能密鋪；∵，∴正方形和正八邊形能密鋪；∴共有6種方案．故答案為：6．【點睛】此題考查了平面鑲嵌（密鋪），幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．7．（2023上·河北保定·七年級保定市第十七中學校考開學考試）“轉化”是一種重要的數(shù)學思想方法，在學習中經(jīng)常用到．例如：在探究圓面積計算公式時（如下圖），把一個圓平均分成若干等份，剪開拼成一個近似的長方形．這個長方形的長相當于()，長方形的寬就是圓的()，因此圓的面積是()．

【答案】圓周長的一半半徑【分析】根據(jù)圓拼成的長方形的過程可知:近似長方形的長相當于圓周長的一半，長方形的寬相當于圓的半徑，然后根據(jù)長方形的面積公式推導出圓的面積公式.據(jù)此解答．【詳解】解：近似長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，圓的面積近似長方形的面積長寬．故答案為：圓周長的一半，半徑，．【點睛】本題主要考查了學生利用知識的遷移推導圓面積公式的過程，正確理解轉化的思想是解答本題的關鍵．8．（2023下·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示的七巧板起源于我國先秦時期，由古算書《周髀算經(jīng)》中關于正方形的分割術，經(jīng)過歷代演變而成，19世紀傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”）．圖2是由邊長為2的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中拍起的“腿”（即陰影部分）的面積為．

【答案】/【分析】根據(jù)七巧板中各部分面積的關系可得小三角形的面積為大正方形的，平行四邊形的面積以為小三角形的面積的2倍，即可求解．【詳解】∵圖2是由邊長為的正方形分割制作的七巧板拼擺成的，∴大正方形面積，由圖形可知，陰影部分面積為小三角形的面積與平行四邊形的面積之和，即故答案為：．【點睛】本題主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性質，熟練掌握七巧板中各部分面積之間的關系是解題的關鍵．9．（2023下·湖南衡陽·七年級校考期中）若過m邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形有k條對角線，正h邊形的內角和與外角和相等，則代數(shù)式．【答案】500【分析】若過邊形的一個頂點有7條對角線，則；邊形沒有對角線，只有三角形沒有對角線，因而；邊形有條對角線，即得到方程，解得；正邊形的內角和與外角和相等，內角和與外角和相等的只有四邊形，因而．代入解析式就可以求出代數(shù)式的值．【詳解】解：邊形從一個頂點發(fā)出的對角線有條，，，，；則．故答案為：500【點睛】本題考查了多邊形的性質，解題的關鍵是掌握邊形從一個頂點發(fā)出的對角線有條，共有對角線條．10．（2022下·八年級單元測試）用正多邊形來鑲嵌平面的原理是共頂點的各個角之和必須等于．現(xiàn)在有七種不同的正多邊形：①正三角形、②正方形、③正六邊形、④正八邊形、⑤正十邊形、⑥正十二邊形、⑦正十五邊形．請你用其中的不同的三種正多邊形來鑲嵌平面，這三種正多邊形可以是：．（請用序號表示，只需寫出兩種即可）【答案】①②③或①②⑥或②③⑥【分析】先分別求出正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形的每個內角，然后根據(jù)平面鑲嵌的條件解答即可．【詳解】解：用公式分別計算出正三角形的內角為，正方形的內角為，正六邊形的內角為，正八邊形內角為，正十邊形的內角為，正十二邊形的內角為，正十五邊形的內角為，∵，∴正三角形、正方形、正六邊形可以進行平面鑲嵌；∵，∴正三角形、正方形、正十二邊形可以進行平面鑲嵌；∵，∴正方形、正六邊形、正十二邊形可以進行平面鑲嵌；故答案為：①②③或①②⑥或②③⑥．【點睛】本題主要考查了鑲嵌的條件，鑲嵌的條件是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為．11．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級校考階段練習）探究歸納題：

(1)如圖1，經(jīng)過四邊形的一個頂點可以作條對角線，它把四邊形分成個三角形；(2)如圖2，經(jīng)過五邊形的一個頂點可以作條對角線，它把五邊形分成個三角形；(3)探索歸納：對于邊形，過一個頂點可以作條對角線，它把邊形分成個三角形；（用含的式子表示）(4)如果經(jīng)過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，那么這個多邊形的邊數(shù)為．【答案】(1)12(2)23(3)(4)【分析】（1）根據(jù)題意畫出