2023-2024學(xué)年信陽市固始縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試卷附答案解析

-2024學(xué)年信陽市固始縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試卷2024.01試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線在y軸上的截距為（

）A． B． C．1012 D．20242．已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20483．直線的方向向量分別為，，平面的法向量為，則下列正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．直線與平行，則a的值為（

）A．0 B． C．或0 D．或05．2023年9月第14屆中國國際園林博覽會(huì)在安徽合肥舉行．某媒體甲、乙、丙三名記者去河南園、北京園、香港園進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道，若每個(gè)地方恰有一名記者，則甲去河南園的概率為（

）A． B． C． D．6．直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則（O為拋物線頂點(diǎn)）的值為（

）A． B． C．4 D．127．如圖，在平行六面體中，，，，，則等于（

）A． B． C． D．108．如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F?的直線與雙曲線C的左支交于點(diǎn)A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．方程（m為常數(shù)）表示的曲線可能是（

）A．兩條直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線10．如圖，在正四棱柱中，M是的中點(diǎn)，，則（

）A． B．平面C．二面角的余弦值為 D．到平面的距離為11．九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．《紅樓夢(mèng)》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載．九連環(huán)一般是用金屬絲制成圓形小環(huán)九枚，九環(huán)相連，套在條形橫板或各式框架上，并貫以環(huán)柄．玩時(shí)，按照一定的程序反復(fù)操作，可使9個(gè)環(huán)分別解開，或合二為一，假設(shè)環(huán)的數(shù)量為，解開n連環(huán)所需總步數(shù)為，解下每個(gè)環(huán)的步數(shù)為，數(shù)列滿足：，，，則（

）

A． B．C． D．成等比數(shù)列12．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，如圖，過的直線與C交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，，，設(shè)C的離心率為，則（

）

A． B．C． D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．13．已知，平面的法向量，若，則．14．已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上的點(diǎn)，則周長的最小值為．15．圓與的位置關(guān)系為；與圓，都內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．16．已知數(shù)列滿足．且，若，則．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．已知圓，直線．(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)圓的面積最大時(shí)，求直線被圓截得的弦長．18．如圖，四棱錐中，都為等腰直角三角形，，，，，為的中點(diǎn)．(1)與平面是否平行？請(qǐng)說明理由；(2)求與平面所成角的余弦值．19．在第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)上中國乒乓球隊(duì)勇奪6金．比賽采用“11分制”規(guī)則：11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位亞運(yùn)選手進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.7，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．(1)求且甲獲勝；(2)求．20．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到的距離，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與曲線的焦點(diǎn)相同，且長軸長是短軸長的倍．(1)求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)有心圓錐曲線（橢圓，圓，雙曲線）有下列結(jié)論：若為曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，則切線的方程為．利用上述結(jié)論，解答問題：過作橢圓的切線（為切點(diǎn)），求的面積．21．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．22．已知雙曲線過點(diǎn)，離心率為，斜率為k的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為0．(1)求雙曲線C的方程；(2)是否存在直線l，使得是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．1．B【分析】利用截距的定義，結(jié)合直線方程即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，得，所以直線在y軸上的截距為.故選：B.2．B【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)與求和公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.3．D【分析】根據(jù)空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系與對(duì)應(yīng)向量的關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A，若，則，即，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，即，故D正確.故選：D.4．C【分析】利用直線平行求得，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，，顯然平行，滿足題意；當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，，也平行，滿足題意；綜上，或.故選：C.5．A【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.【詳解】記河南園、北京園、香港園分別為，則樣本空間(甲1，乙2，丙3)，(甲1，乙3，丙2)，(甲2，乙1，丙3)，(甲2，乙3，丙1)，(甲3，乙2，丙1)，(甲3，乙1，丙2)}，共6個(gè)基本事件，則甲去河南園的基本事件有2件，所以甲去河南園的概率為.故選：A.6．B【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程求得，從而利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】由，得，易得，設(shè)，則，.故選：B.7．A【分析】先用向量線性運(yùn)算表示出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算，從而得解.【詳解】依題意，設(shè),，，因?yàn)?，所以，，，，又，所?故選：A.8．C【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為（即），應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.9．ABC【分析】分類討論的取值范圍，結(jié)合二元二次方程的特征即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，即，表示兩條直線，故A正確；當(dāng)時(shí)，方程為，表示橢圓，故B正確；當(dāng)時(shí)，方程，表示雙曲線，故C正確；當(dāng)時(shí)，，顯然方程不表示任何曲線；由于方程沒有一次項(xiàng)，方程不可能表示拋物線，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．BCD【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，，則，所以不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，所以，是平面的一個(gè)法向量，即平面，故B正確；對(duì)于C，易知平面的一個(gè)法向量，而，所以二面角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，到平面的距離，故D正確.故選：BCD.11．AC【分析】根據(jù)題意逐一計(jì)算與的前6項(xiàng)，從而判斷ABC，利用，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷D，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，，，故AC正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，則，所以不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．ABD【分析】利用平面向量的知識(shí)，結(jié)合橢圓的定義與勾股定理求得所需線段關(guān)于的表示，從而利用離心率的定義與余弦定理逐一分析判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，?duì)于A，依題意，設(shè)，則，如圖，在中，，則，故或(舍去)，所以，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，則，在中，，即，故B正確；對(duì)于C，在中，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可得，，在中，，整理得，故，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將各線段用表示出來，從而得解.13．【分析】利用直線與平面垂直得到直線的方向向量與平面的法向量共線，從而利用空間向量平行的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以與共線，又，，則，所以，.故答案為：.14．【分析】利用拋物線的定義求得，從而得解.【詳解】依題意，，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，分別過點(diǎn)作，為垂足，則，如圖，則，所以周長.故答案為：.15．內(nèi)含【分析】先利用圓心距與兩半徑之差的比較得到兩圓位置關(guān)系；再利用兩圓內(nèi)切推得，從而利用橢圓的定義即可得解.【詳解】依題意，圓心，半徑，圓心，半徑，所以，則兩圓內(nèi)含；設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，則，，依橢圓的定義知，的軌跡為橢圓，其中，又，所以的軌跡方程為.故答案為：內(nèi)含；.16．2024【分析】利用構(gòu)造法與迭代法求得，從而利用并項(xiàng)求和法即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，則，所以，故，則，所以，則的各項(xiàng)分別為，所以.故答案為：2024【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于將推遞關(guān)系式化得，從而求得，由此得解.17．(1)(2)【分析】（1）將圓的一般方程進(jìn)行配方，從而由半徑大于0得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.（2）利用配方法求得圓的面積取得最大值時(shí)的值，從而利用弦長公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閳A，可化為，由，得，故的取值范圍為.（2）因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，半徑取得最大值，則圓的面積最大，此時(shí)，圓的方程為，圓心到直線的距離，則所求弦長為，故當(dāng)圓的面積最大時(shí)，直線被圓截得的弦長為.18．(1)不平行，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得與平面的法向量，從而得以判斷；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求得與平面的法向量，從而得解.【詳解】（1）都為等腰直角三角形，，平面，所以平面，又，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，易知平面的一個(gè)法向量為，則，所以與平面不平行.（2）由（1）得，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，又，則，所以.故直線與平面所成角的余弦值為.19．(1)(2)【分析】（1）（2）分析所求概率對(duì)應(yīng)的情況，再利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式即可得解.【詳解】（1）“且甲獲勝”就是平后，兩人又打了2個(gè)球比賽結(jié)束，則這兩個(gè)球均是甲得分.因此，且甲獲勝.（2）就是平后，兩人又打了4個(gè)球比賽結(jié)束，4個(gè)球的得分情況是：前2個(gè)球甲、乙各得1分，后2個(gè)球均是甲得分或均是乙得分，設(shè)事件“且甲獲勝”，事件“且乙獲勝”，則，，.20．(1)；(2)【分析】（1）利用拋物線與橢圓的定義與性質(zhì)即可得解；（2）先根據(jù)題意得到直線的方程，聯(lián)立方程求得，進(jìn)而求得弦長，再利用點(diǎn)線距離公式求得點(diǎn)到直線的距離，從而得解.【詳解】（1）由拋物線定義可知，曲線為拋物線，為拋物線的焦點(diǎn)，則，所以的方程為；由，即，又，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，由上述結(jié)論知，過點(diǎn)的橢圓的切線方程分別為，因?yàn)樵趦蓷l切線上，所以，即，則點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，故直線的方程為，

聯(lián)立，得，解得，所以，而點(diǎn)到直線的距離，所以.21．(1)(2)【分析】（1）利用的關(guān)系式，結(jié)合累乘法即可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，整理得，即，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以.（2）因?yàn)?，所以，則兩式相減得，，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握數(shù)列的相關(guān)方法：公式法、累乘法、錯(cuò)位相減法，是解決本題的關(guān)鍵.22．(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）利用離心率與雙曲線過點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）假設(shè)存在這樣的直線，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，從而利用直線的斜率之和為0求得，再由等腰三角形三線合一求得，再檢驗(yàn)即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，，即，所以，則，因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以，即，解得，則.所以雙曲線的方程為.（2）假設(shè)