3.4.3第3課時(shí)用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

3.4.3第3課時(shí)新授課用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系能用向量方法解決點(diǎn)到平面、平行于平面的直線到平面、相互平行的平面間的距離問(wèn)題.空間中常見(jiàn)的距離有：兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、相互平行的直線之間的距離、相互平行的平面之間的距離等.計(jì)算距離是空間度量最基本的問(wèn)題，如何用向量方法求解這些距離呢？問(wèn)題引入知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)到平面的距離思考1：點(diǎn)到平面的距離是什么？點(diǎn)到平面的距離就等于過(guò)這點(diǎn)向平面所作垂線段的長(zhǎng)度.思考2：如何利用向量方法求點(diǎn)到平面的距離？可以通過(guò)一個(gè)向量在法向量方向上作投影向量的方法來(lái)求解距離.問(wèn)題：設(shè)點(diǎn)P是平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)A是平面α內(nèi)的已知點(diǎn)，n0是平面α的單位法向量，如何求平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離？過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥平面α，垂足為P′，則線段PP′的長(zhǎng)度就是點(diǎn)P到平面α的距離，而∴向量在法向量n0方向上的投影向量的長(zhǎng)度就等于線段PP′的長(zhǎng)度.歸納總結(jié)點(diǎn)P到平面α的距離，等于點(diǎn)P與平面α內(nèi)任意一點(diǎn)A連線所得向量

，在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長(zhǎng)度，即例1:如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'.(1)求證：

是平面A'BD的一個(gè)法向量；(2)求點(diǎn)C'到平面A'BD的距離.解：(1)依據(jù)題意有A'(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C'(1,1,1).例1:如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'.(1)求證：

是平面A'BD的一個(gè)法向量；(2)求點(diǎn)C'到平面A'BD的距離.又A'B，A'D

平面A'BD，A'B∩A'D=A'，∴⊥平面A'BD，即是平面A'BD的一個(gè)法向量.∴點(diǎn)C'到平面A'BD的距離為歸納總結(jié)用向量方法求解點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題的一般步驟1.確定一個(gè)法向量；2.選擇參考向量；3.確定參考向量在法向量方向上的投影向量；4.求投影向量的長(zhǎng)度.例2:在單位正方體ABCD-A'B'C'D'中，點(diǎn)M是側(cè)面ABB'A'的中心.判斷直線C'M與平面ACD'是否平行.若平行，請(qǐng)證明你的結(jié)論，并求直線C'M到平面ACD'的距離；若不平行，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：平面ACD'截正方體得一個(gè)三角形，如圖.點(diǎn)C'不在該三角形內(nèi)，所以C'M

平面ACD'.進(jìn)一步研究二者的位置關(guān)系可以考慮平面ACD'的法向量與

是否垂直.解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD'所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由正方體的棱長(zhǎng)為1，得設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD'的一個(gè)法向量，則取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1).∴∥平面ACD'.∴C'M∥平面ACD'.∴直線C'M上任意一點(diǎn)到平面ACD'的距離都相等，都等于直線C'M到平面ACD'的距離.又C'M

平面ACD'，例2:在單位正方體ABCD-A'B'C'D'中，點(diǎn)M是側(cè)面ABB'A'的中心.判斷直線C'M與平面ACD'是否平行.若平行，請(qǐng)證明你的結(jié)論，并求直線C'M到平面ACD'的距離；若不平行，請(qǐng)說(shuō)明理由.∴點(diǎn)C'到平面ACD'的距離為即直線C'M到平面ACD'的距離為例3:已知向量

，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，當(dāng)向量

的長(zhǎng)度最小時(shí)，求a，b的值.換句話說(shuō)，當(dāng)a，b變化時(shí)，點(diǎn)M是平面xOy內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).分析：記向量由平面向量基本定理可知，對(duì)任意的a，b，向量

都在

所確定的平面xOy內(nèi)，反之，平面xOy內(nèi)的任意向量都可以用來(lái)表示，例3:已知向量

，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，當(dāng)向量

的長(zhǎng)度最小時(shí)，求a，b的值.解：如圖，由點(diǎn)到平面距離的定義，當(dāng)且僅當(dāng)n⊥平面xOy時(shí)，線段MY的長(zhǎng)度最短.要使向量

的長(zhǎng)度最小,也就是線段MY的長(zhǎng)度最短.這時(shí)例3:已知向量

，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，當(dāng)向量

的長(zhǎng)度最小時(shí)，求a，b的值.由得解得∴向量

的長(zhǎng)度最小時(shí)，思考交流：怎樣用向量的方法求解平行于平面的直線到該平面的距離、相互平行的兩個(gè)平面間的距離？將“求解平行于平面的直線到該平