第2(1)章 軸向拉伸與壓縮a

第二章軸向拉伸與壓縮§2.1軸向拉壓桿的概念§2.2軸向拉壓桿的內(nèi)力§2.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律§2.6材料在拉壓時的力學性質(zhì)§2.7強度條件、安全系數(shù)、許用應力§2.9拉壓桿的超靜定問題§2.3軸向拉壓桿的應力§2.5拉（壓）桿內(nèi)的應變能§2.8應力集中的概念比較—分類法一、定義軸向拉伸

線方向伸長的變形形式

——載荷的作用線與桿的軸線重合，使桿產(chǎn)生沿軸（軸向壓縮）（縮短）木壓桿§2.1

軸向拉壓桿的概念1.橋的拉桿二、工程實例2.挖掘機的頂桿3.火車臥鋪的撐桿4.廣告牌的立柱與燈桿5.小亭的立柱6.網(wǎng)架結構中的桿§2.2

軸向拉壓桿的內(nèi)力一.內(nèi)力的概念材料力學中內(nèi)力指的是：物體受到外力作用而產(chǎn)生變形，所引起的物體內(nèi)部各質(zhì)點之間相互作用力改變量的合力（附近內(nèi)力）。材料力學求桿截面內(nèi)力的基本方法是：截面法，即：截開→代替→

平衡。二.橫截面上的內(nèi)力和軸力圖由

Fx

=0：得到mmⅡFFN1、截面法

軸力FN

軸力的符號規(guī)定：—作用線與桿的軸線重合的內(nèi)力，單位：N、kN。背離截面為+，指向截面為-；即軸力為拉力為正，軸力為壓力為負。2、橫截面上的內(nèi)力（軸力）和內(nèi)力圖（軸力圖）mmⅡFFN（1）軸向拉壓的內(nèi)力（2）軸力圖的概念及其畫法軸力圖——桿的軸力沿軸線變化的圖形。軸力圖的畫法：

水平桿軸力圖的畫法：取縱橫坐標軸，橫軸與桿軸線平行，表示桿各截面的位置；縱軸與橫軸垂直，表示桿各截面軸力的大小；規(guī)定正軸力畫在橫軸上方，負軸力畫在橫軸下方。豎直桿軸力圖的畫法：取縱橫坐標軸，縱軸與桿軸線平行，表示桿各截面的位置；橫軸表示桿各截面軸力大小；正負軸力畫在桿的那一側由自己定。內(nèi)力圖——桿的內(nèi)力沿軸線變化的圖形（軸力圖、扭矩圖、彎矩圖、剪力圖）。注意：畫內(nèi)力圖要標（圖名、控制點數(shù)值、正負號、單位）例1

畫出圖示直桿（多力桿）的軸力圖。解：1-1截面：求得：1.求軸力由

Fx=0：注意：用截面法求軸力前，先假定所求截面上的軸力為拉力，其目的便于畫出桿的正確軸力圖。2-2截面：求得：由

Fx

=0：解：1-1截面：1.求軸力求得：由

Fx

=0：3-3截面：2-2截面：解：1-1截面：1.求軸力3-3截面：2-2截面：解：1-1截面：1.求軸力討論：

1．在求內(nèi)力時，能否將外力進行平移

？注意：

1．在用截面法求內(nèi)力時不能隨意進行力的平移；

2．用截面法一次只能求出一個截面上的內(nèi)力。

2．能否一次求出兩個截面上的內(nèi)力

？

軸力圖不僅能顯示出各段的軸力大小，而且能顯示出各段的變形是拉伸還是壓縮。2.作軸力圖

3-3截面：2-2截面：解：1-1截面：1.求軸力試作圖a所示桿的軸力圖。練習1.用截面法分別求各段桿的軸力。為求軸力方便，先求出約束力

FR=10kN。在AB段用1-1截面將桿截開，以左端桿為分離體（圖c），由SFx=0得FN1=10kN(拉力)10kN練習解:以圖d為分離體，由SFx=0，得FN2=50kN(拉力)10kN40kN練習取截面3－3右邊為分離體（圖e），假設軸力為拉力。同理，F(xiàn)N4=20kN

(拉力)由SFx=0，得FN3=-5kN

（壓力）。(e)25kN20kN練習由軸力圖可見2.以橫坐標表示橫截面位置，縱坐標表示軸力的大小，由以上結果作軸力圖如圖所示。練習例2

桿受力如圖，容重

,橫截面面積為A,畫出軸力圖。解:(1）求軸力FN（x）x(2）畫軸力圖xPPxFN（X）FNx

P+ALP§2.3軸向拉壓桿的應力一.研究應力的意義

在求出截面上的內(nèi)力后，并不能判斷構件是否破壞。

構件的破壞與單位面積上的內(nèi)力有關FFAFF2A試問：下面兩根材料相同的桿件哪一根容易破壞？

應力

——單位面積（1m2）上的內(nèi)力（即內(nèi)力的集度）。二、應力的概念三、拉壓桿橫截面上的應力1、幾何分析

變形現(xiàn)象：

推知：

（1）橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于軸線——

平面假設

（2）兩橫截面間的縱向線段伸長相同(均勻變形），即橫截面上各點的變形都相等。

兩橫向線相對平移

（2）應力的方向與軸力相同。

（1）橫截面上各點的內(nèi)力都相等，即橫截面上各點的正應力都相等，或：橫截面上應力均勻分布。

FFsN

結論：2.物理分析FFa'd'c'b'3.靜力平衡由

積分得正應力公式正應力的符號規(guī)定：

拉應力為

+，壓應力為

-。

拉應力——背離截面的應力

壓應力——指向截面的應力FFa'd'c'b'FFsN當?shù)戎睏U受幾個軸向外力作用時，由軸力圖可求得其最大軸力FN,max，代入上述公式，即得桿的最大正應力：最大軸力所在的橫截面稱為危險截面，危險截面上的正應力稱為最大工作應力（危險應力）。注意：(1)上述正應力計算公式來自于平截面假設；對于某些特定桿件,例如鍥形變截面桿，受拉伸(壓縮)時，平截面假設不成立，故原則上不宜用上式計算其橫截面上的正應力；若截面沿軸線變化緩慢，正應力公式可近似用。

(2)即使是等直桿，在外力作用點附近，橫截面上的應力情況復雜，實際上也不能應用上述公式。

(3)

圣維南(Saint-Venant)原理：“力作用于桿端方式的不同，只會使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響”。適用范圍

（1）載荷的作用線必須與軸線重合

（2）不適應于集中力作用點附近的區(qū)域（圣文南原理）

作用于彈性體上某一局部區(qū)域內(nèi)的外力系，可以用與它靜力等效的力系來代替。經(jīng)過代替，只對原力系作用區(qū)域附近有顯著影響，但對較遠處，其影響即可不計。

由圣維南原理可知：下圖中的(b)、(c)、(d)都可以用同一計算簡圖（a）來代替，從而圖形得到很大程度的簡化。圣維南原理或者這樣說：圣維南原理運用｛｝｝例3懸臂吊車，斜桿AB為直徑d=20mm的鋼桿，起吊重物Q=15KN，求AB的最大工作應力。CL2TU1QBCC1.9m0.8m例3懸臂吊車，斜桿AB為直徑d=20mm的鋼桿，起吊重物Q=15KN，求AB的最大工作應力。（1）分析AB受力、并求其內(nèi)力:當Q移到A點時AB桿受力最大，取結點A研究解：CL2TU1QBCC1.9m0.8m不計變形帶來的結構尺寸變化，仍按未變形尺寸計算。QABCAQBCBC1.9m0.8m(2)求AB桿的最大工作應力

試求圖a所示正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應力。已知F=50kN。例41.作軸力圖如圖所示。分別求各段柱的工作應力。Ⅰ段柱橫截面上的正應力Ⅱ段柱橫截面上的正應力(壓應力)(壓應力)例4

試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向截面上的拉應力。已知：d=200mm，d=5mm，p=2MPa。

例5

薄壁圓環(huán)(δ<<d)在內(nèi)壓力作用下，徑向截面上的拉應力可認為沿壁厚均勻分布，故在求出徑向截面上的法向力FN后，用式s=FN/(bδ)求拉應力。例5解:用徑向截面將薄壁圓環(huán)截開，取其上半部分為分離體，如圖b所示。分布力的合力為由SFy=0，得徑向截面上的拉應力為例5實驗表明：

有些構件是沿橫截面破壞的

有些構件則是沿斜截面破壞的四、拉壓桿斜截面上的應力低碳鋼軸向拉伸鑄鐵軸向壓縮1.斜截面上的內(nèi)力

斜截面上：

橫截面上：FFkkNa

即：FFkkam橫截面上：斜截面上：全應力2.斜截面上的應力FFkkNapaFFkkam正應力和切應力：結論：

和

是

的函數(shù)。2.斜截面上的應力FkkpatsaantaFFkkampFFkkNaa討論：1.橫截面

=

0，2.縱截面

=90，3.斜截面

=45

，4.斜截面

=

-45

，F(xiàn)幾個特殊截面上的應力思考：1.寫出圖示拉桿其斜截面k-k上的正應力sa和切應力ta與橫截面上正應力s0的關系。并示出它們在圖示分離體的斜截面k-k上的指向。

2.拉桿內(nèi)不同方位截面上的正應力其最大值出現(xiàn)在什么截面上？絕對值最大的切應力又出現(xiàn)在什么樣的截面上？kk

3.對于拉(壓)桿知道了其橫截面上一點處正應力s0(其上的切應力t0=0)，是否就可求出所有方位的截面上該點處的應力，從而確定該點處所有不同方位截面上應力的全部情況——該點處的應力狀態(tài)(stateofstress)？

單元體：圍繞某點所取的微小正方體，單元體是代表某一個點的。單元體的特點：（1）單元體每個面上各點的應力均勻分布；（2）單元體上相互平行面上的應力相等。PPAs=P/AsA對于軸向拉壓桿，一點處的應力狀態(tài)由橫截面上的正應力即可完全確定，這樣的應力狀態(tài)稱為單軸（向）應力狀態(tài)。§2.4

軸向拉壓桿的變形、胡克定律一、縱向變形和橫向變形二、胡克定律三、縱向變形和橫向變形關系四、公式的應用范圍與注意事項一、縱向變形和橫向變形

縱向線應變：1.縱向變形符號：伸長為+，縮短為–

縱向伸長：

線應變無量綱注意：上式所表達的是在長度l內(nèi)的平均線應變，當沿桿長度均勻變形時，就等于沿長度各點處的縱向線應變。當沿桿長度為非均勻變形時（如桿在自重作用下的變形），上式并不代表沿長度各點處的縱向線應變，為了研究一點處的線應變，可圍繞該點取一個單元體：x截面處沿x方向的縱向平均線應變?yōu)?/p>

圖示一般情況下在不同截面處桿的橫截面上的軸力不同，故不同截面的變形不同。沿桿長均勻分布的荷載集度為f軸力圖微段的分離體線應變的正負規(guī)定：伸長時為正，縮短時為負。一般情況下，桿沿x方向的總變形

x截面處沿x方向的縱向線應變?yōu)?/p>

沿桿長均勻分布的荷載集度為f軸力圖微段的分離體

橫向線應變：

橫向縮短：橫向變形與縱向變形反號2.橫向變形二、胡克定律(英國科學家Hooke，1676年發(fā)現(xiàn))1.

第一種形式實驗表明：當載荷小于某一數(shù)值時引入比例常數(shù)E，因F=FN，有

E—材料的彈性模量。反映材料抵抗彈性變形的能力，單位：Pa

EA—桿的抗拉(壓)剛度。表明桿抵抗縱向彈性變形的能力2.第二種形式

將第一種形式改寫成即稱為應力—應變關系三.縱向變形和橫向變形關系實驗表明：當載荷小于某一數(shù)值時式中

——泊松比，為無量綱量，(Poisson,法國科學家)即

為材料常數(shù)2）構件的工作應力（線彈性范圍內(nèi)）；3）軸力FN、橫截面面積A為常量——等直桿兩端受軸向力；討論：1.軸力變化時1）

l為“+”時伸長，為“-”時縮短，符號規(guī)定與軸力一致。拉為“+”，壓為“-”，算變形l

時，公式中的軸力FN要考慮正負號

。2.橫截面變化時：四.公式的應用范圍與注意事項BCACAB階梯狀桿徐變截面桿：錐角較度小，如≤10°

例6圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2段為邊長a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應力σ2=-30MPa，E=210GPa，求整個桿的伸長△l解:例7求受拉錐度桿的總伸長量FF

Lxdxx解：徐變截面桿取dx微段研究：故：由

圖示桿系中，荷載

P

=100kN。試求結點A的位移DA。已知：a=30°，l=2m，兩桿直徑均為d=25mm，材料的彈性模量為E=210GPa。例題

求拉（壓）桿系節(jié)點位移的關鍵在于確定變形后節(jié)點的位置。本例中，解除鉸鏈A

的約束，設1，2

桿的伸長量分別為Dl1和Dl2，

分別以B和C為圓心，以l1

+Dl1和l2+Dl2為半徑畫圓弧，兩圓弧的交點A'為變形后A點的精確位置。但在小變形時，

Dl1<<l1，Dl2<<l2，可近似用A1B和A2C的垂線代替圓弧，得到交點A'作為變形后A點的位置。再根據(jù)位移圖所示的幾何關系求A的位移。Dl1Dl2(b)例題由胡克定律得

其中

解:1.分別求1，2兩桿的軸力及伸長由結點A的平衡方程得例題2.求A點的位移

由圖b可見因為Dl1=Dl2，所以DAx=0Dl1Dl2(b)例題在小變形情況下，確定桿系變形后的位置時，用桿端垂線代替圓弧線是本題的重點也是難點，一定要掌握。2.桿系節(jié)點A的位移是因桿件變形所引起，但兩者雖有聯(lián)系但又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個標量；位移是指結點位置的移動，是個矢量，它除了與桿件的變形有關以外，還與各桿件所受約束有關。注意：例8求圖示結構結點A的垂直位移。解:②①解:例9求圖示結構結點A的垂直位移和水平位移。BDC4m3mBC桿為圓鋼，直徑d=20mm，BD桿為8號槽鋼。[]=160MPa，E=200GPa，P=60KN，試求B點的位移。解：（1）分析構件受力：取B點研究PP（“-”表示與圖示方向相反，為壓力）B例10簡單托架如圖，BDC3mPP4m（2）分析計算B點的位移：假想把B節(jié)點松開，B受力后B點移到其位移

解：1）求軸力FN（x）2）求變形：取微段dx研究FNxF+AL

FFFxxxdxFN（x）例11求考慮自重影響的等直桿變形。已知P、桿長L、A、E、容重。dxFN（x）+dFN（x）FN（x）

求例題2-4中所示薄壁圓環(huán)的直徑改變量Dd。已知E=210GPa，d=200mm，d=5mm，p=2MPa。例12解:1.由例題2-4已求出圓環(huán)徑向截面上的正應力為例122.因為p<<s，所以在計算變形時可忽略內(nèi)壓力的影響，則薄壁圓環(huán)沿圓環(huán)切向的線應變e（周向應變）與徑向截面上的正應力s

的關系符合單軸應力狀態(tài)下的胡克定律，即例12圓環(huán)直徑的改變量(增大)為3.圓環(huán)的周向應變e與圓環(huán)直徑的相對改變量ed

有如下關系：例12

(2)橫截面B,C及端面D的縱向位移與各段桿的縱向總變形是什么關系？思考：等直桿受力如圖，已知桿的橫截面面積A和材料的彈性模量E。

(1)列出各段桿的縱向總變形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整個桿縱向變形的表達式。

FFFN

圖F+-+位移：變形：§2-5拉(壓)桿內(nèi)的應變能

應變能(strainenergy)——彈性體受力而變形時所積蓄的能量。

功能原理：積蓄在彈性體內(nèi)的應變能Ve在數(shù)值上等于外力所作功W：

Ve=W。

應變能的單位為J（1J=1N·m）。彈性體受力發(fā)生變形后會積蓄能量。把伴隨彈性體變形量增減而變化的能量稱為變