5.2三角函數(shù)的概念課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

課時3三角函數(shù)的概念新授課理解任意角三角函數(shù)的定義，并能初步運(yùn)用定義求解簡單的三角函數(shù)值.思考在前面的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)知道函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，而勻速圓周運(yùn)動是一種典型的周期現(xiàn)象，那么這種運(yùn)動規(guī)律該用什么函數(shù)模型刻畫呢？如圖所示，如何去刻畫點(diǎn)P的位置呢？目標(biāo)：理解任意角三角函數(shù)的定義，并能初步運(yùn)用定義求解簡單的三角函數(shù)值.

任務(wù)1：構(gòu)造單位圓模型，探究并理解任意角三角函數(shù)的定義.

如圖，以單位圓的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y).射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，終止位置為OP．問題：1.當(dāng)α=

時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？當(dāng)α=

或

時，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？它們是唯一確定的嗎？2.任意給定一個角α，它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？1.當(dāng)

時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

；當(dāng)

時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,1）;當(dāng)

時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為,它們都是唯一確定的.2.唯一確定問題：3.結(jié)合函數(shù)的定義，你認(rèn)為能用點(diǎn)P的坐標(biāo)來表示任意角α的函數(shù)嗎？為什么定義域是這樣呢？歸納總結(jié)設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y)，把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα；把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα

；把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值

叫做α的正切函數(shù)，記作tanα，即

.

我們將正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).通常將它們記為：正弦函數(shù)

；余弦函數(shù)

；正切函數(shù).

任務(wù)2：先完成下列作圖，再解答問題，探究任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系.1.作Rt△ABC

，其中∠A=x°

，∠C=90°.2.以單位圓的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線OM為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，以射線OM從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)x°，終止位置為OP．

問題：結(jié)合作出的兩個圖形，找出sinA與sin∠POM、cosA與cos∠POM、tanA與

tan∠POM之間的關(guān)系.相等練一練1.利用三角函數(shù)定義，求

的三個三角函數(shù)值；2.已知角θ的終邊過點(diǎn)P(-12，5)，求角θ的三角函數(shù)值．解：1.sin

＝

，

cos

＝

，tan

＝

；

2.sinθ＝

，cosθ＝－

，tanθ＝－

．

任務(wù)3：利用三角函數(shù)的定義，證明下列命題，理解三角函數(shù)比值的定義.

如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r，以原點(diǎn)為圓心，作單位圓與α的終邊交于點(diǎn)P0(x0，y0)．分別過點(diǎn)P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0.問題：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，思考如何表示sinα、cosα、tanα？

（2）根據(jù)圖象結(jié)合三角函數(shù)的定義證明：sinα=，

cosα=，tanα=.（2）由圖可知，|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，△OMP∽△OM0P0．于是,即|y0|=

．因?yàn)閥0與y同號，所以y0=

，即sinα=

．同理可得cosα=

；tanα=.解：（1）由三角函數(shù)的定義可知，

.歸納總結(jié)

比值定義法：建立直角坐標(biāo)系，對于任意角α，角α終邊上的任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，它到原點(diǎn)O的距離為

，那么

，

，

，.練一練

已知角α的終邊上有一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(6a,8a)，其中

，求

的值.解：由題可知，,所以

，