高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（十四）導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(十四）導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算[練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力]1．(2018·鎮(zhèn)江調(diào)研)函數(shù)f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)等于________．解析：f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.答案：42．(2017·蘇州暑假測(cè)試)曲線y＝2x在x＝0處的切線方程是________．解析：因?yàn)閥′＝2xln2，所以在x＝0處的切線斜率為k＝20×ln2＝ln2，因此切線方程是y－1＝ln2×(x－0)，即y＝xln2＋1.答案：y＝xln2＋13．已知直線y＝－x＋1是函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,a)ex圖象的切線，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．f′(x)＝－eq\f(1,a)ex，則f′(x0)＝－eq\f(1,a)·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－eq\f(1,a)·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2.答案：e24．(2018·無錫期末)過曲線y＝x－eq\f(1,x)(x＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積為eq\f(1,3)，則x0＝________.解析：∵y′＝1＋eq\f(1,x2)，∴y′x＝x0＝1＋eq\f(1,x\o\al(2,0))，∴AB：y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x\o\al(2,0))))(x－x0)．又y0＝x0－eq\f(1,x0)，∴y－x0＋eq\f(1,x0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x\o\al(2,0))))(x－x0)令x＝0得y＝－eq\f(2,x0)；令y＝0得x＝eq\f(2x0,1＋x\o\al(2,0))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·eq\f(2,x0)·eq\f(2x0,1＋x\o\al(2,0))＝eq\f(1,3)，解得x＝eq\r(5)(負(fù)值舍去)．答案：eq\r(5)5．(2018·常州月考)設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))圖象上任一點(diǎn)，且f(x)在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍為________．解析：由f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))得，f′(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2＋\f(1,x2)))≥eq\f(1,2)×2eq\r(3)＝eq\r(3)，即tanα≥eq\r(3)(α∈[0，π))，解得eq\f(π,3)≤α＜eq\f(π,2).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))[練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力]一、填空題1．(2018·揚(yáng)州期初測(cè)試)若以數(shù)列{an}中的各項(xiàng)an作為系數(shù)，構(gòu)成一個(gè)函數(shù)系y＝anx3，其圖象在x＝1處的切線的斜率為4an－1－1(n≥2)，且a1＝eq\f(4,3)，則an＝________.解析：由y＝anx3，得y′＝3anx2，故當(dāng)x＝1時(shí)，切線的斜率k＝3an，從而3an＝4an－1－1(n≥2)，于是3an－3＝4an－1－4(n≥2)，故eq\f(an－1,an－1－1)＝eq\f(4,3)(n≥2)，又a1＝eq\f(4,3)，所以a1－1＝eq\f(1,3)，所以數(shù)列{an－1}是以eq\f(1,3)為首項(xiàng)，eq\f(4,3)為公比的等比數(shù)列，故an－1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1，從而an＝eq\f(4n－1,3n)＋1.答案：eq\f(4n－1,3n)＋12．(2018·泰州模擬)已知曲線C：f(x)＝x3－ax＋a，若過曲線C外一點(diǎn)A(1,0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為________．解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，t3－at＋a)．由題意知，f′(x)＝3x2－a，切線的斜率k＝f′(t)＝3t2－a①，所以切線方程為y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②.將點(diǎn)A(1，0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝eq\f(3,2).分別將t＝0和t＝eq\f(3,2)代入①式，得k＝－a和k＝eq\f(27,4)－a，由題意得它們互為相反數(shù)，故－a＋eq\f(27,4)－a＝0，解得a＝eq\f(27,8).答案：eq\f(27,8)3．(2018·太倉高級(jí)中學(xué)模擬)若點(diǎn)P，Q分別是曲線y＝eq\f(x＋4,x)與直線4x＋y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ長的最小值為________．解析：易知曲線y＝eq\f(x＋4,x)與直線4x＋y＝0無公共點(diǎn)，設(shè)直線4x＋y＝m與y＝eq\f(x＋4,x)相切，P為切點(diǎn)．對(duì)y＝eq\f(x＋4,x)求導(dǎo)得y′＝－eq\f(4,x2)，由－eq\f(4,x2)＝－4得x＝±1，因此P(1,5)或P(－1，－3)，解得m＝9或m＝－7，此時(shí)兩直線4x＋y＝m,4x＋y＝0間的距離分別為eq\f(9,\r(17))，eq\f(7,\r(17))，故線段PQ長的最小值為eq\f(7\r(17),17).答案：eq\f(7\r(17),17)4．(2018·淮安月考)給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為凸函數(shù)的是________．(填序號(hào))①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.解析：在定義域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)，由f″(x)＝－sinx－cosx＜0，得①是凸函數(shù)；由f″(x)＝－eq\f(1,x2)＜0，得②是凸函數(shù)；由f″(x)＝－6x＜0，得③是凸函數(shù)；由f″(x)＝2ex＋xex＞0，得④不是凸函數(shù)．答案：①②③5．(2018·重慶診斷)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)的值為________．解析：∵f(x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx，∴f′(x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋cosx，f(x)＋f(－x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx＋eq\f(2,e－x＋1)＋sin(－x)＝2，f′(x)－f′(－x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋cosx＋eq\f(2e－x,e－x＋12)－cos(－x)＝0，∴f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)＝2.答案：26．(2018·宿遷期初測(cè)試)若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：(ⅰ)直線l在點(diǎn)P(x0，y0)處與曲線C相切；(ⅱ)曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過”曲線C，下列四個(gè)命題：①直線l：y＝0在點(diǎn)P(0,0)處“切過”曲線C：y＝x3；②直線l：y＝x－1在點(diǎn)P(1,0)處“切過”曲線C：y＝lnx；③直線l：y＝－x＋π在點(diǎn)P(π，0)處“切過”曲線C：y＝sinx；④直線l：y＝x＋1在點(diǎn)P(0,1)處“切過”曲線C：y＝ex.其中正確的命題有________．(填序號(hào))解析：對(duì)于①，y＝x3在點(diǎn)P(0,0)處的切線為y＝0，且曲線y＝x3在(0,0)附近位于直線y＝0兩側(cè)，符合題中兩個(gè)條件，所以正確；對(duì)于②，曲線C：y＝lnx在直線l：y＝x－1的同側(cè)，不符合題意，所以錯(cuò)誤；對(duì)于③，由圖象可知，曲線C：y＝sinx在點(diǎn)P(π，0)附近位于直線l的兩側(cè)，符合題意，所以正確；對(duì)于④，曲線C：y＝ex在直線l：y＝x＋1的同側(cè)，不符合題意，所以錯(cuò)誤．即正確的有①③.答案：①③7．(2018·啟東中學(xué)月考)若曲線y＝alnx與曲線y＝eq\f(x2,2e)在它們的公共點(diǎn)P(s，t)處具有公切線，則eq\f(t,s)＝________.解析：函數(shù)y＝alnx的導(dǎo)函數(shù)為y′＝eq\f(a,x)，其切線在P(s，t)處的斜率為k1＝eq\f(a,s).函數(shù)y＝eq\f(x2,2e)的導(dǎo)函數(shù)為y′＝eq\f(x,e)，其切線在P(s，t)處的斜率為k2＝eq\f(s,e).由曲線y＝alnx與曲線y＝eq\f(x2,2e)在它們的公共點(diǎn)P(s，t)處具有公切線，可得eq\f(a,s)＝eq\f(s,e)，且t＝eq\f(s2,2e)＝alns，s＞0，所以lns＝eq\f(1,2)，所以s2＝e，所以t＝eq\f(1,2)，s＝eq\r(e)，即eq\f(t,s)＝eq\f(\r(e),2e).答案：eq\f(\r(e),2e)8．(2018·無錫期初測(cè)試)曲邊梯形由曲線y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所圍成，過曲線y＝x2＋1，x∈[1,2]上一點(diǎn)P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)面積最大的普通梯形，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)P(x0，xeq\o\al(2,0)＋1)，x∈[1,2]，則易知曲線y＝x2＋1在點(diǎn)P處的切線方程為y－(xeq\o\al(2,0)＋1)＝2x0(x－x0)，令y＝2x0(x－x0)＋xeq\o\al(2,0)＋1＝g(x)，由g(1)＋g(2)＝2(xeq\o\al(2,0)＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)，得S普通梯形＝eq\f(g1＋g2,2)×1＝－xeq\o\al(2,0)＋3x0＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,2)))2＋eq\f(13,4)，所以當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,4)))時(shí)，S普通梯形最大．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,4)))9．若曲線f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意，可知f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)，又曲線存在垂直于y軸的切線，所以3ax2＋eq\f(1,x)＝0，即a＝－eq\f(1,3x3)(x＞0)，故a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．(2018·南通調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與曲線y＝x2(x＞0)和y＝x3(x＞0)均相切，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)和B(x2，y2)，則eq\f(x1,x2)的值是________．解析：由y＝x2得y′＝2x，切線方程為y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1).由y＝x3得y′＝3x2，切線方程為y－xeq\o\al(3,2)＝3xeq\o\al(2,2)(x－x2)，即y＝3xeq\o\al(2,2)x－2xeq\o\al(3,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝3x\o\al(2,2)，,x\o\al(2,1)＝2x\o\al(3,2)，))得eq\f(x1,x2)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)二、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－eq\r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq\r(2)，＋∞)．12．(2018·啟東中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)