2023中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)類題型（提優(yōu)篇）

2023中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)類題型(提優(yōu)篇)02

1.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點4(一1,0)，點B(0,g)

⑴探究發(fā)現(xiàn)

(1)484。的度數(shù)為.

(2)如圖①，將A/lOB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，得△4。8,,當(dāng)點A恰好落在48邊上時，設(shè)△48,。的面

積為Si，△BTT。的面積為S2，則Si=.Si與S?的數(shù)量關(guān)系是.

(2)猜想論證

當(dāng)將△408繞點。順時針旋轉(zhuǎn)到圖②所示的位置時，小明猜想⑴⑵中Si與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,

并嘗試分別作出了△B4。和△4B'O中，BO、B'。邊上高4M、AN,請你證明小明的猜想：

⑶拓展延伸

如圖③，已知N4OC=60。，點C在x軸上，點。在其角平分線上，0C=CD=4,OE〃力。交。C于

點E,若在射線04上存在點F,使SA℃F=SAODE，請直接寫出相應(yīng)的點F的坐標(biāo).

2.在矩形ABCD中，將對角線C4繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到CE,連接4E,取力E的中點F,連接BF,DF.

(1)若點E在CB的延長線上，如圖.

①依題意補全圖1;

②判斷BF與DF的位置關(guān)系并加以證明.

(2)若點E在線段BC的下方，如果NACE=90°,乙4cB=28。，AC=6,請寫出求BF長的思路.(可以

不寫出計算結(jié)果)

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點,平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上,。點在y軸上,C點坐標(biāo)為(2,0),

BC=6,NBCO=60。，點E是4B上一點，AE=3EB,。。過。，0,C三點，拋物線y=a-+匕刀+c過

點O,B,C三點.

⑴求拋物線的解析式；

⑵求證：EC是。P的切線；

⑶若將△40E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，E點的對應(yīng)點E'會落在拋物線y=。/+加;+(:上嗎？請說明理

由；

(4)若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N,使得以點8,D,M,N為頂點的四邊形為平行四

邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.【數(shù)學(xué)概念】

若點P在A4BC的內(nèi)部，且N4PB,NBPC和ZCPA中有兩個角相等，則稱P是△4BC的"等角點”，特別地,

若這三個角都相等，則稱「是448c的"強等角點

(1)【理解概念】

若點P是AABC的等角點，且乙4PB=100。，則4BPC的度數(shù)是.

(2)已知點。在AABC的外部，且與點4在BC的異側(cè)，并滿足NBDC+NB4C<180°.

作ABC。的外接圓0,連接AD,交。0于點P.

當(dāng)ABC。的邊滿足下面的條件時，求證：P是△ABC的等角點.

(要求：只選擇其中一道題進行證明！)

i如圖①，DB=DC；

ii如圖②，BC=BD.

(3)【深入思考】

如圖③，在△ABC中，小,乙B,NC均小于120。，用直尺和圓規(guī)作它的強等角點Q.(不寫作法,

保留作圖痕跡)

(4)下列關(guān)于"等角點"、"強等角點"的說法：

①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點；

②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點；

③正三角形的中心是它的強等角點；

④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；

⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內(nèi)部到三個頂點距離之和最小的點,

其中，正確的有(填序號).

5.在△力BC,CA=CB,乙4cB=a.點P是平面內(nèi)不與點A,C重合的任意一點.連接4P,將線段4P繞點

P逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段0P,連接AD,BD,CP.

(1)觀察猜想：如圖1,當(dāng)a=60。時，票的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是.

(2)類比探究：如圖2,當(dāng)a=90。時，請寫出黑的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就

圖2的情形說明理由.

⑶解決問題：當(dāng)a=90。時，若點E,尸分別是。4,C8的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C,P,D

在同一直線上時空的值.

6.如圖1,矩形。EFG中，DG=2,DE=3,RtA/BC中，Z.ACB=90°,CA=CB=2,FG,BC的延長

線相交于點0,且FG1BC,OG=2,0C=4,將冬月BC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<180。）得到△A'B'C.

(1)當(dāng)a=30°時，求點C到直線OF的距離.

(2)在圖1中，取48'的中點P,連接C'P,如圖2.

①當(dāng)C'P與矩形DEFG的一條邊平行時，求點C'到直線DE的距離.

②當(dāng)線段4P與矩形DEFG的邊有且只有一個交點時，求該交點到直線DG的距離的取值范圍.

7.在AZBC中，AB=BC=2,乙4BC=90。，BD為斜邊AC上的中線，將△ABC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)

a(0。<a<180。)得到AEFD,其中點4的對應(yīng)點為點E,點B的對應(yīng)點為點F.BE與FC相交于點乩

(1)如圖1.直接寫出BE與FC的數(shù)量關(guān)系：；

(2)如圖2,M,N分別為EF,BC的中點.求證：MN*FC；

⑶連接BF,CE,如圖3,直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段BF,CE與4C之間的數(shù)量關(guān)系：.

8.如圖1,△4BC中，點4、B、C三點的坐標(biāo)分別為4(-1,2%)，6(-3,0),C(-l,0)；

如圖2,將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)4a(0。<a<180。)得4DEC,點4和點。對應(yīng)，作J_x軸,DG1x軸,

垂足分別為F點和G點.

(1)當(dāng)Na=30。時，求。、E兩點的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)4a為何值時，4DEC、△EFC和△DCG都相似；

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，若拋物線經(jīng)過。、E、C三點，請求出一條以y軸為對稱軸的拋物線的解析式.

BC0\FC0\!

圖1圖2

9.小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在△ABC(其中NB4C是一個可以變化的角)中，AB=2,AC=4,

以BC為邊在BC的下方作等邊APBC,求4P的最大值.

小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合.他的方法是以點B為旋轉(zhuǎn)中心將△

ABP逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△4BC,連接44,當(dāng)點4落在4c上時，此題可解(如圖2).

⑴請你回答：4P的最大值是.

⑵參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：

如圖3,等腰RtA/IBC.邊AB=4,P為△ABC內(nèi)部一點，請寫出求AP+BP+CP的最小值的解

題思路.

提示:要解決AP+BP+CP的最小值問題,可仿照題目給出的做法.把aABP繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60。,

得到△A'BP'.

①請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；

②請寫出求4P+BP+CP的最小值的解題思路(結(jié)果可以不化簡).

10.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx(a力0)的圖象經(jīng)過點4(1,4),對稱軸是直線x=-1,線段4。平行于x軸,

交拋物線于點。.在、軸上取一點C(0,2),直線AC交拋物線于點B,連接。4OB,OD,BD.

⑴求該二次函數(shù)的解析式；

(2)求點B坐標(biāo)和坐標(biāo)平面內(nèi)使△EODs△AOB的點E的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點尸是BD的中點，點P是線段。。上的動點，問PD為何值時，將ABP尸沿邊PF翻折，使ABPF與

△DPF重疊部分的面積是△BDP的面積的;？

4

備用圖

11.將△ABC繞點4順時針旋轉(zhuǎn)a得到△ADE,DE的延長線與BC相交于點尸，連接ZF.

（1）如圖1,若NB4C=a=60。，DF=2BF,請直接寫出AF與BF的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,若4BAC<a=60。，DF=3BF,猜想線段4F與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖3,若NB4C<a,DF=mBF（m為常數(shù)），請直接寫出黑的值（用含a,m的式子表示）.

12.在AABC中，BA=BC,/.BAC=a,M是4c的中點，P是線段BM上的動點，將線段P4繞點P順時針旋

轉(zhuǎn)2a得到線段PQ.

（1）若a=60。且點P與點M重合（如圖1）,線段CQ的延長線交射線BM于點D,請補全圖形，并寫出

“D8的度數(shù)；

⑵在圖2中，點P不與點B,M重合，線段CQ的延長線與射線交于點D,猜想aDB的大?。ㄓ煤?/p>

a的代數(shù)式表示），并加以證明；

⑶對于適當(dāng)大小的a,當(dāng)點P在線段8M上運動到某一位置（不與點B,M重合）時，能使得線段CQ的

延長線與射線BM交于點。，且PQ=QD,請直接寫出a的范圍.

13.如圖1,在平行四邊形4BCC中，AH1DC,垂足為H,AB=4A/7,AD=7,AH=V21.現(xiàn)有兩個動

點E、F同時從點4出發(fā)，分別以每秒1個單位長度、每秒3個單位長度的速度沿射線4c方向勻速運動.在

點E、尸運動過程中，以EF為邊作等邊AEFG,使AEFG與AABC在射線AC的同側(cè)，當(dāng)點E運動到點。時,

E、F兩點同時停止運動.設(shè)運轉(zhuǎn)時間為t秒.

AG

DH

(1)求線段AC的長；

(2)在整個運動過程中，設(shè)等邊△EFG與AABC重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系

式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍：

⑶當(dāng)?shù)冗叀鳌甏?；的頂點E到達點C時，如圖2,將AEFG繞著點C旋轉(zhuǎn)一個a((T<a<360。).在旋轉(zhuǎn)

過程中，點E與點C重合，尸的對應(yīng)點為F,G的對應(yīng)點為G：設(shè)直線與射線。C、射線4c分別相

交于M、N兩點.試問：是否存在點M、N,使得ACMN是以4MCN為底角的等腰三角形？若存在，

請求出線段CM的長度；若不存在，請說明理由.

14.已知：如圖①，在平行四邊形2BCD中，AB=12,BC=6,4。1BD.以4。為斜邊在平行四邊形4BCD

的內(nèi)部作Rt^AED,^EAD=30°,/.AED=90°.

Dp--------------7CD____________C

(1)求A4ED的周長；

⑵若△AED以每秒2個單位長度的速度沿DC向右平行移動，得到△4()EoDo，當(dāng)為。。與BC重合時停止

移動.設(shè)移動世界為t秒，與ABDC重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t直接的函數(shù)關(guān)

系式，并寫出t的取值范圍；

⑶如圖②，在2中，當(dāng)△AED停止移動后得到aBEC,將ABEC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)a(0。<a<

180°).在旋轉(zhuǎn)過程中，B的對應(yīng)點為名,E的對應(yīng)點為設(shè)直線與直線BE交于點P,與直線CB

交于點Q.是否存在這樣的a,使ABPQ為等腰三角形？若存在，求出a的度數(shù)；若不存在，請說

明理由.

15.如圖1,等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形4BCD的頂點力重合，將此三角板繞點4旋轉(zhuǎn)，使三角

板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC,DC于點E,F,連接EF.

⑴猜想BE,EF,DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)在圖1中，過點4作力MlEF于點M,請直接寫出4M和AB的數(shù)量關(guān)系；

⑶如圖2,將Rt△4BC沿斜邊4c翻折得到Rt△ADC,E,F分別是BC,CD邊上的點，4E4F=^BAD,

連接EF,過點4作AM1EF于點M,試猜想AM與4B之間的數(shù)量關(guān)系.并證明你的猜想.

16.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知AAOB是等邊三角形，點4的坐標(biāo)是(0,4),點B在第一象限，點P是

無軸上的一個動點，連接4P,并把AAOP繞著點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊4。與4B重合，得至

⑴求直線AB的解析式；

(2)當(dāng)點P運動到點(百,0)時，求此時CP的長及點。的坐標(biāo)；

⑶是否存在點P,使△OPD的面積等于f?若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說

4

明理由.

點C的坐標(biāo)是（4e,0）.

(1)正方形40BC的邊長為，點4的坐標(biāo)是；

⑵將正方形/OBC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)45。，點/,B,C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為4,B,,C,求點4的坐標(biāo)及

旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；

⑶動點P從點。出發(fā)，沿折線04CB方向以1個單位/秒的速度勻速運動，同時，另一動點Q從點。出發(fā)，

沿折線0BQ4方向以2個單位/秒的速度勻速運動，運動時間為t秒，當(dāng)它們相遇時同時停止運動，

△OPQ為等腰三角形時，求出t的值（直接寫出結(jié)果即可）.

18.在平面直角坐標(biāo)系中，0為原點，點4（-6,0）,點C（0,6）.若正方形04BC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形

OA'B'C,記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)如圖①，當(dāng)a=45。時，求BC與49的交點。的坐標(biāo)；

⑵如圖②，當(dāng)a=60。時，求點B'的坐標(biāo)；

⑶若P為線段BC的中點，求4P長的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

B,----

圖①圖②

19.我們定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做"等高底"三角形，這條邊叫

做這個三角形的"等底

(1)概念理解：

如圖1,在△ABC中，AC=6,BC=3,^ACB=30°,試判斷△ABC是否是"等高底"三角形，請說

明理由.

(2)問題探究：

如圖2,△4BC是“等高底"三角形,BC是"等底"，作△4BC關(guān)于BC所在直線的對稱圖形得到AA'BC,

連接A4交直線BC于點。.若點B是△A4c的重心，求經(jīng)的值.

(3)應(yīng)用拓展：

如圖3,已知k〃%，k與L之間的距離為2."等高底"△ABC的“等底"BC在直線21上，點4在直線％上，

有一邊的長是BC的四倍.將44BC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C,4c所在直線交％于

20.如圖，在RtAABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,點。是8C邊上一動點，連接4D,把AD繞點4逆時針旋

轉(zhuǎn)90。，得到4E,連接CE,DE.點F是DE的中點，連接CF.

E

(1)求證：CF*AD；

(2)如圖2所示，在點。運動的過程中，當(dāng)8。=2CD時，分別延長CF,B4相交于點G,猜想4G與BC存

在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；

(3)在點。運動的過程中，在線段4。上存在一點P,使P4+PB+PC的值最小.當(dāng)P4+PB+PC的值

取得最小值時，AP的長為請直接用含小的式子表示CE的長.

21.如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，EF〃/B交4。于點F,連接BF.

(1)如圖1,若48=4,DE=V2,求BF的長；

（2）如圖2,連接AE,交BF于點H,若DF=HF=2,求線段AB的長;

⑶如圖3,連接BF,AB=3V2,設(shè)EF=X,△BEF的面積為S,請用x的表達式表示S,并求出S的最

大值；當(dāng)S取得最大值時，連接CE,線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30。得到線段D/,。/與CE交于點K,

22.如圖1,邊長為4的正方形ABC。中，點E在AB邊上（不與點4、B重合），點F在邊上（不與點B、C重

合）.第一次操作：將線段EF繞點尸順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點E落在正方形上時，記為點G；第二次操作：將線

段FG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點F落在正方形上時,記為點H；依此操作下去…

（1）圖2中的三角形EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為，求此時線段EF的長；

⑵若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH.⑴請判斷四邊形EFGH的形狀為，此時71E與B9的數(shù)量關(guān)系

是.（ii）以（i）中的結(jié)論為前提，設(shè)4E的長為久，四邊形EFGH的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式

及面積y的取值范圍.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線