2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇核心專題突破專題五解析幾何第1講直線與圓

第一篇專題五第1講一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·撫松縣校級模擬)對方程eq\f(y－6,x＋3)＝2表示的圖形，下列敘述中正確的是(C)A．斜率為2的一條直線B．斜率為－eq\f(1,2)的一條直線C．斜率為2的一條直線，且除去點(diǎn)(－3,6)D．斜率為－eq\f(1,2)的一條直線，且除去點(diǎn)(－3,6)【解析】方程eq\f(y－6,x＋3)＝2成立的條件知x≠－3，當(dāng)x≠－3時(shí)，方程變形為y－6＝2(x＋3)，由直線方程的點(diǎn)斜式知它表示一條斜率為2的直線，但要除去點(diǎn)(－3，6)．故選C.2.(2023·全國二模)已知直線l1：eq\r(3)x－3y＋1＝0，若直線l2與l1垂直，則l2的傾斜角是(B)A．150° B．120°C．60° D．30°【解析】∵直線l1：eq\r(3)x－3y＋1＝0，∴kl1＝eq\f(\r(3),3)，∵直線l2與l1垂直，∴kl2·kl1＝－1，解得kl2＝－eq\r(3)，∴l(xiāng)2的傾斜角為120°.故選B.3.(2023·河北七校聯(lián)考)直線(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，當(dāng)此直線在x，y軸上的截距和最小時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是(D)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．3【解析】當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a＋3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝eq\f(a＋3,a－1)，令t＝a＋3＋eq\f(a＋3,a－1)＝5＋(a－1)＋eq\f(4,a－1).因?yàn)閍＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2eq\r(a－1·\f(4,a－1))＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝eq\f(4,a－1)，即a＝3時(shí)，等號成立．4.(2023·漳州質(zhì)檢)已知a2－3a＋2＝0，則直線l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直線l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置關(guān)系為(D)A．垂直或平行 B．垂直或相交C．平行或相交 D．垂直或重合【解析】因?yàn)閍2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝－eq\f(1,2)，k2＝2，所以k1·k2＝－1，則兩直線垂直；當(dāng)a＝2時(shí)，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，則兩直線重合．5.(2023·海淀區(qū)校級三模)已知圓O：x2＋y2＝1，直線3x＋4y－10＝0上動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的一條切線，切點(diǎn)為A，則|PA|的最小值為(C)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2【解析】圓O：x2＋y2＝1中，圓心O(0,0)，半徑r＝1，設(shè)P(x0，y0)，則3x0＋4y0－10＝0，則|PA|＝eq\r(|PO|2－12)＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)－1)＝eq\f(1,4)eq\r(25x\o\al(2,0)－60x0＋84)，當(dāng)x0＝eq\f(30,25)＝eq\f(6,5)時(shí)，|PA|min＝eq\f(1,4)eq\r(36－60×\f(6,5)＋84)＝eq\f(1,4)eq\r(48)＝eq\r(3).故選C.6.已知x2＋y2＝2x，則eq\f(y,x＋2)的最大值為(C)A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(3),3)【解析】設(shè)eq\f(y,x＋2)＝k，則kx－y＋2k＝0，x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圓心為(1,0)，半徑為1，∵圓心(1,0)到直線kx－y＋2k＝0的距離小于等于1，∴eq\f(|3k|,\r(k2＋1))≤1，解得－eq\f(\r(2),4)≤k≤eq\f(\r(2),4)，∴eq\f(y,x＋2)的最大值為eq\f(\r(2),4).故選C.7.(2023·河南模擬)直線l：mx＋y－m＋1＝0被圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝16所截得弦長的最小值為(A)A．4eq\r(2) B．3eq\r(2)C．2eq\r(2) D．eq\r(2)【解析】直線l：mx＋y－m＋1＝0，即m(x－1)＋y＋1＝0，直線l過定點(diǎn)P(1，－1)，圓C的圓心為C(－1,1)，r＝4，當(dāng)PC⊥l時(shí)，直線l被圓C截得的弦長最短．因?yàn)閨PC|＝eq\r(1＋12＋－1－12)＝2eq\r(2)，所以弦長的最小值為2eq\r(16－8)＝4eq\r(2).故選A.8.(2023·河南模擬)已知圓O的直徑AB＝4，若平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B距離的eq\r(2)倍，則△MAB面積的最大值為(D)A．64 B．12C．6eq\r(2) D．8eq\r(2)【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)M(x，y)，由題意可得：eq\r(x＋22＋y2)＝eq\r(2)·eq\r(x－22＋y2)，整理得：(x－6)2＋y2＝32.則M到AB所在直線的距離的最大值為4eq\r(2)，∴△MAB的面積的最大值為eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2).故選D.二、多項(xiàng)選擇題9.若P，Q分別為l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的動(dòng)點(diǎn)，且l1∥l2，下面說法正確的是(ABD)A．直線l2的斜率為定值B．當(dāng)c＝25時(shí)，|PQ|的最小值為eq\f(3,2)C．當(dāng)|PQ|的最小值為1時(shí)，c＝20D．c≠10【解析】∵l1∥l2，∴eq\f(a,3)＝eq\f(8,4)≠eq\f(c,5)，∴a＝6，c≠10，故A、D正確；∵|PQ|的最小值為兩平行直線間的距離，∴當(dāng)c＝25時(shí)，d＝eq\f(|10－25|,\r(62＋82))＝eq\f(3,2)，故B正確；當(dāng)|PQ|的最小值為1時(shí)，d＝eq\f(|10－c|,\r(62＋82))＝1，解得c＝20或c＝0，故C錯(cuò)誤．10.(2023·桃城區(qū)校級模擬)已知直線l：x＋y－4＝0，圓O：x2＋y2＝2，M是l上一點(diǎn)，MA，MB分別是圓O的切線，則(BD)A．直線l與圓O相切B．圓O上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為eq\r(2)C．存在點(diǎn)M，使∠AMB＝90°D．存在點(diǎn)M，使△AMB為等邊三角形【解析】圓O：x2＋y2＝2的圓心為(0,0)，半徑r＝eq\r(2)，圓心到直線l：x＋y－4＝0的距離d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(2))＝2eq\r(2)＞r，故直線l與圓相離，故A錯(cuò)誤；∴圓O上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)，故B正確；當(dāng)OM⊥直線l時(shí)，OM＝2eq\r(2)，此時(shí)MA＝MB＝eq\r(6)，故此時(shí)，OA＜MA，∴∠AMO＜45°，∴∠AMB＜90°，故不存在點(diǎn)M，使∠AMB＝90°，故C不正確；當(dāng)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，∠AMB越來越小，可接近0°，所以存在點(diǎn)M，使△AMB為等邊三角形，故D正確；故選BD.三、填空題11.(2023·東莞市校級三模)若圓C與y軸相切，與直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x也相切，且圓C經(jīng)過點(diǎn)P(2，eq\r(3))，則圓C的半徑為1或eq\f(7,3).【解析】由題意，在直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x中，傾斜角為30°，∴圓C的圓心在兩切線所成角的角平分線y＝eq\r(3)x上．設(shè)圓心C(a，eq\r(3)a)，則圓C的方程為：(x－a)2＋(y－eq\r(3)a)2＝a2，將點(diǎn)P(2，eq\r(3))的坐標(biāo)代入上式，得(2－a)2＋(eq\r(3)－eq\r(3)a)2＝a2，解得：a＝1或a＝eq\f(7,3)，∴圓C的半徑為1或eq\f(7,3).12.(2023·惠州校級模擬)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分別是圓C1、C2上動(dòng)點(diǎn)，P是x軸上動(dòng)點(diǎn)，則|PN|－|PM|的最大值是4＋eq\r(2).【解析】已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，則圓C1的圓心坐標(biāo)為(2,3)，半徑為1，圓C2的圓心坐標(biāo)為(3,4)，半徑為3，則點(diǎn)C1(2,3)，點(diǎn)C2(3,4)在x軸的同側(cè)，則|PC2|－|PC1|≤|C1C2|＝eq\r(2－32＋3－42)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)C1、C2、P三點(diǎn)共線時(shí)取等號，則|PN|－|PM|≤(|PC2|＋3)－(|PC1|－1)＝|PC2|－|PC1|＋4≤|C1C2|＋4＝eq\r(2)＋4，即|PN|－|PM|的最大值是4＋eq\r(2).四、解答題13.已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】(1)(代入法)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.14.已知圓P以點(diǎn)P(－2,1)為圓心，并且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)直線l：kx－y＋k＝0(k∈R)與圓P相交于M、N兩點(diǎn)．(1)求圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|OM|＝|ON|，求實(shí)數(shù)k及|MN|的值；(3)當(dāng)k變化時(shí)，求弦長|MN|的取值范圍．【解析】(1)依題意，圓P的半徑r＝eq\r(－22＋1)＝eq\r(5)，所以圓P的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5.(2)∵|OM|＝|ON|，|PM|＝|PN|，∴OP⊥MN，又kOP＝－eq\f(1,2)，直線l的斜率為k＝2，故直線l的方程為2x－y＋2＝0，由點(diǎn)P到直線的距離d＝eq\f(|－4－1＋2|,\r(5))＝eq\f(3,\r(5))，所以|MN|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(5－\f(9,5))＝eq\f(8,5)eq\r(5).(3)當(dāng)k變化時(shí)，直線l：kx－y＋k＝0經(jīng)過定點(diǎn)A(－1,0)，因?yàn)楫?dāng)PA垂直l時(shí)，|MN|最小，此時(shí)P到直線的距離d＝|PA|＝eq\r(2)，所以|MN|min＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(3)，又直線l：kx－y＋k＝0經(jīng)過圓心P時(shí)，|MN|max＝2r＝2eq\r(5)，故|MN|的取值范圍為[2eq\r(3)，2eq\r(5)]．15.(2023·江西模擬)已知圓C過點(diǎn)O(0,0)，A(－1，eq\r(3))，B(2,2eq\r(3))．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)C且與x軸平行的直線與圓C交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為直線x＝5上的動(dòng)點(diǎn)，直線PM，PN與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)(EF與MN不重合)，證明：直線EF過定點(diǎn)．【解析】(1)設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又圓C過點(diǎn)O(0,0)，A(－1，eq\r(3))，B(2,2eq\r(3))．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋3－D＋\r(3)E＋F＝0，,4＋12＋2D＋2\r(3)E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－2\r(3)，,F＝0，))∴x2＋y2－2x－2eq\r(3)y＝0，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.(2)證明：由題意得C(1，eq\r(3))，∴直線MN：y＝eq\r(3)，點(diǎn)M(－1，eq\r(3))，點(diǎn)N(3，eq\r(3))，設(shè)點(diǎn)P(5，y0)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，∴kPM＝eq\f(y0－\r(3),5－－1)＝eq\f(y0－\r(3),6)，kPN＝eq\f(y0－\r(3),5－3)＝eq\f(y0－\r(3),2)，∴3kPM＝kPN，又kPM＝kEM＝eq\f(y1－\r(3),x1－－1)＝eq\f(y1－\r(3),x1＋1)，kPN＝kFN＝eq\f(y2－\r(3),x2－3)，∴9·eq\f(y1－\r(3)2,x1＋12)＝eq\f(y2－\r(3)2,x2－32)，又E，F(xiàn)在圓C上，∴(x1－1)2＋(y1－eq\r(3))2＝4，(x2－1)2＋(y2－eq\r(3))2＝4，∴9·eq\f(4－x1－12,x1＋12)＝eq\f(4－x2－12,x2－32)，即eq\f(9[x1＋12－4x1＋1],x1＋12)＝eq\f(x2－32－4x2－3,x2－32)，∴9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1＋1)))＝1＋eq\f(4,x2－3)，整理得：2x1x2－7(x1＋x2)＋20＝0，當(dāng)直線EF斜率存在時(shí)，設(shè)直線EF的方程為y＝kx＋b，代入(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，得(1＋k2)x2＋(2kb