專題05 分類打靶函數(shù)應用與函數(shù)模型（練習）（解析版）-2024年高考數(shù)學二輪復習講練測（新教材新高考）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題05分類打靶函數(shù)應用與函數(shù)模型目錄01二次函數(shù)與冪模型 102分段函數(shù)模型 403對勾函數(shù)模型 1104指數(shù)函數(shù)模型 1505對數(shù)函數(shù)模型 1706函數(shù)模型的選擇 2001二次函數(shù)與冪模型1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預測）勞動實踐是大學生學習知識?鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社會?回報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x件時，售價為s元/件，且滿足，每天的成本合計為元，請你幫他計算日產(chǎn)量為件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.【答案】2007.94【解析】由題意易得日利潤，故當日產(chǎn)量為200件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，故答案為：200，7.94.2．（2023·北京海淀·高三?？茧A段練習）科學家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體．然后，黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率與該黑體的絕對溫度的次方成正比，即，為玻爾茲曼常數(shù)．而我們在做實驗數(shù)據(jù)處理的過程中，往往不用基礎變量作為橫縱坐標，以本實驗結果為例，為縱坐標，以為橫坐標，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續(xù)研究該實驗，若實驗結果的曲線如圖所示，試寫出其可能的橫縱坐標的變量形式．【答案】射線為縱坐標，以為橫坐標.【解析】（1）因為，為玻爾茲曼常數(shù)．為縱坐標，以為橫坐標，因為，所以，所以曲線是一條射線；（2）由于曲線的形狀類似，根據(jù)曲線可知可能的橫縱坐標的變量形式：為縱坐標，以為橫坐標，故答案為：為縱坐標，以為橫坐標.故答案為：（1）射線；（2）為縱坐標，以為橫坐標.3．（2015?北京）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況加油時間加油量（升加油時的累計里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為A．6升 B．8升 C．10升 D．12升【答案】【解析】由表格得到從5月1日到15日，該車加了48升的汽油，這段時間行駛的路程為35600千米千米千米，所以該車每100千米平均耗油量（升．故選：．4．（2023·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術，明德小學在課后延時服務中聘請了民間藝術傳人給同學們教授折紙．課堂上，老師給每位同學發(fā)了一張長為12cm，寬為10cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊．若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是cm．【答案】【解析】由題意得長方形紙片的面積為，不妨設折痕將紙片分成兩部分的面積分別為，，且，則，．如圖，其中，當折痕MN為圖（1）所示的三角形一邊時，設，，則，解得，則，令，，則，，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，故，故．當折痕MN為圖（2）所示的梯形一邊時，設，，則，解得，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，，則．當折痕MN為圖（3）所示的梯形一邊時，設，，則，解得，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，，則．綜上所述，折痕長度的取值范圍為．故答案為：5．（2023·全國·高三專題練習）某單位計劃建一矩形場地，現(xiàn)有總長度為100m的可作為圍墻的材料，則場地的面積S(單位：m2)與場地的長x(單位：m)的函數(shù)關系式為．【答案】【解析】由于場地的長為，則寬為，由題意得S=．易知，，所以自變量的取值范圍為．故所求函數(shù)的關系式為．故答案為：02分段函數(shù)模型6．（2017?上海）根據(jù)預測，某地第個月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，第個月底的共享單車的保有量是前個月的累計投放量與累計損失量的差．（1）求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點第個月底的單車容納量（單位：輛）．設在某月底，共享單車保有量達到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？【解析】（1），前4個月共投放單車為，前4個月共損失單車為，該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量為．（2）令，顯然時恒成立，當時，有，解得，第42個月底，保有量達到最大．當，為公差為等差數(shù)列，而為等差為1的等差數(shù)列，到第42個月底，單車保有量為．．，第42個月底單車保有量超過了容納量．7．（2018?上海）某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當中的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結果回答下列問題：（1）當在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？（2）求該地上班族的人均通勤時間的表達式；討論的單調性，并說明其實際意義．【解析】解；（1）由題意知，當時，，即，解得或，時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；（2）當時，；當時，；；當時，單調遞減；當時，單調遞增；說明該地上班族中有小于的人自駕時，人均通勤時間是遞減的；有大于的人自駕時，人均通勤時間是遞增的；當自駕人數(shù)所占比為時，人均通勤時間最少．8．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知正四面體的棱長為，為棱上的動點（端點、除外），過點作平面垂直于，與正四面體的表面相交．記，將交線圍成的圖形面積表示為的函數(shù)，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】取線段的中點，連接、，因為、為等邊三角形，為的中點，則，，，、平面，平面，因為平面，所以，平面與平面平行或重合，且，取的中點，連接，則，且，故.①當時，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可知，，，所以，，故，如下圖所示：則，則；②當時，；③當時，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可知，，，所以，，故，如下圖所示：則，則.綜上所述，，故函數(shù)的圖象如C選項中的圖象.故選：C.9．（2023·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校?？茧A段練習）為了抗擊新型冠狀病毒肺炎保障師生安全，我校決定每天對教室進行消毒工作，已知藥物釋放過程中，室內空氣中的含藥量（）與時間（）成正比（）；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關系式為（為常數(shù)，），據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到（）以下時，學生方可進教室，則學校應安排工作人員至少提前分鐘進行消毒工作A．30 B．40 C．60 D．90【答案】C【解析】計算函數(shù)解析式，取，計算得到答案.根據(jù)圖像：函數(shù)過點，故，當時，取，解得小時分鐘.故選：.10．（2023·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品，需另投入成本萬元.其中，若該公司一年內生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每年利潤的最大值為（

）A．720萬元 B．800萬元C．875萬元 D．900萬元【答案】C【解析】該企業(yè)每年利潤為當時，在時，取得最大值；當時，（當且僅當時等號成立），即在時，取得最大值；由，可得該企業(yè)每年利潤的最大值為.故選：C11．（2023·北京西城·高三統(tǒng)考期末）“空氣質量指數(shù)（）”是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數(shù)．當大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動．某地某天0~24時的空氣質量指數(shù)隨時間變化的趨勢由函數(shù)描述,則該天適宜開展戶外活動的時長至多為（

）A．5小時 B．6小時 C．7小時 D．8小時【答案】C【解析】解:由題知,當大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動,即當小于等于200時,適宜開展戶外活動,即,因為,所以當時,只需,解得:,當時,只需,解得:,綜上:適宜開展戶外活動的時間段為,共計7個小時.故選:C12．（2023·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民用水實行“階梯水價”.計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過4元超過但不超過6元超過8元若某戶居民上月交納的水費為66元，則該戶居民上月用水量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設用戶的用水量為，繳納的水費為元，當時，，當時，，當時，.故若某戶居民上月交納的水費為66元，則用水量在內，令，解得.故選：C.03對勾函數(shù)模型13．（2014?湖北）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量（單位時間內經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛小時）與車流速度（假設車輛以相同速度行駛，單位：米秒）、平均車長（單位：米）的值有關，其公式為．（Ⅰ）如果不限定車型，，則最大車流量為輛小時；（Ⅱ）如果限定車型，，則最大車流量比（Ⅰ）中的最大車流量增加輛小時．【答案】1900，100【解析】（Ⅰ），，當時取最小值，，故最大車流量為：1900輛小時；（Ⅱ），，，（輛小時）故最大車流量比（Ⅰ）中的最大車流量增加100輛小時．故答案為：1900，10014．（2023·山東濟南·高三山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）近來汽油價格起伏較大，假設第一周、第二周的汽油價格分別為m元/升，n元/升()，甲和乙購買汽油的方式不同，甲每周購買40元的汽油，乙每周購買12升汽油，甲、乙兩次購買平均單價分別記為，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．，的大小無法確定【答案】C【解析】由題意得，，，則，，所以．故選：C．15．（2023·遼寧大連·高一大連八中?？计谥校┙鼇碡i肉價格起伏較大，假設第一周?第二周的豬肉價格分別為a元/斤?b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲?乙兩次平均單價為分別記為，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．的大小無法確定【答案】C【解析】甲購買豬肉的平均單價為：，乙購買豬肉的平均單價為：，顯然，且，當且僅當時取“=”，因為兩次購買的單價不同，即，所以，即乙的購買方式平均單價較大.故選：C.16．（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）某社區(qū)計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1800平方米的矩形，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是（

）A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米【答案】C【解析】設米,，則種植花卉區(qū)域的面積．因為，所以，當且僅當時，等號成立，則，即當米，米時，種植花卉區(qū)域的面積取得最大值，最大值是1568平方米,故選：C17．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）某單位為提升服務質量，花費3萬元購進了一套先進設備，該設備每年管理費用為0.1萬元，已知使用年的維修總費用為萬元，則該設備年平均費用最少時的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由題意可得：該設備年平均費用，∵，則，當且僅當，即時，等號成立，所以該設備年平均費用最少時的年限為9.故選：C.18．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學校聯(lián)考一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅、全面建成小康社會的歷史任務，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實意義和深遠歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應國家號召，對某經(jīng)濟欠發(fā)達地區(qū)實施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過市場調研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本萬元，當產(chǎn)量不足50萬件時，；當產(chǎn)量不小于50萬件時，．每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤，則產(chǎn)量應為（

）A．40萬件 B．50萬件 C．60萬件 D．80萬件【答案】D【解析】由題意得，銷售收入為100x萬元，當產(chǎn)量不足50萬件時，利潤；當產(chǎn)量不小于50萬件時，利潤．所以利潤因為當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則．當時，，當且僅當時取等號．又，所以當時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元．故選:D．04指數(shù)函數(shù)模型19．（2023·河南·高三內黃縣第一中學校聯(lián)考階段練習）用指數(shù)模型：描述累計一個池塘甲種微生物的數(shù)量y隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，則該池塘甲種微生物的數(shù)量增加到原來的3倍需要的時間約為天.（，結果精確到0.1）.【答案】2.5【解析】由題意，池塘甲種微生物的數(shù)量增加到原來的3倍，則，即，所以，則有，所以（天）.故答案為：2.520．（2023·江蘇徐州·高三?？奸_學考試）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司發(fā)布的名為“”的人工智能聊天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內關注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數(shù)，表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率衰減為，則學習率衰減到以下（不含）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】74【解析】根據(jù)題意可得，該指數(shù)衰減的學習模型為，當時，代入得，，解得，由學習率衰減到以下（不含），可得，即，所以，因為，所以，則取.故答案為：21．（2023·高一課時練習）將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為11.2m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84m/s，則至少需要“打水漂”次.(參考數(shù)據(jù)：取)

【答案】6【解析】設石片第次“打水漂”時的速率為,則，由，得，則，即，則，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.故答案為：6.22．（2023·全國·高三對口高考）某地對生活垃圾使用填埋和環(huán)保兩種方式處理.該地2020年產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中15萬噸以填埋方式處理，5萬噸以環(huán)保方式處理.預計每年生活垃圾的總量比前一年增加1萬噸，同時，因垃圾處理技術越來越進步，要求從2021年起每年通過環(huán)保方式處理的生活垃圾量是前一年的倍，若要使得2024年通過填埋方式處理的生活垃圾量不高于當年生活垃圾總量的，則的值至少為.【答案】【解析】由題意可知2024年的生活垃圾為24萬噸，有題意可知2024年通過環(huán)保方式處理的生活垃圾量為（萬噸），，解得：，則的值至少.故答案為：.23．（2023·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習）牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若常數(shù)，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到，大約需要的時間為．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】44【解析】由題知，，，，，，，．故答案為：44.24．（2015?四川）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：滿足函數(shù)關系為自然對數(shù)的底數(shù)，、為常數(shù)）．若該食品在的保鮮時間是192小時，在的保鮮時間是48小時，則該食品在的保鮮時間是小時．【答案】24【解析】由題意可得，時，；時，．代入函數(shù)，可得，，即有，，則當時，．故答案為：24．05對數(shù)函數(shù)模型25．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習）“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收.”《增廣賢文》是勉勵人們專心學習的.如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“進步”的是“退步”的倍.如果每天的“進步”率和“退步”率都是20%，那么“進步”的是“退步”的1000倍需要經(jīng)過的時間大約是天（四舍五入精確）（參考數(shù)據(jù)：）.【答案】【解析】設經(jīng)過天“進步”的是“退步”的1000倍，則，即，故.故答案為：.26．（2023·北京房山·高三統(tǒng)考開學考試）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車混合動力汽車電動汽車已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，給出下列結論：①；②；③；④.則所有正確結論的序號是.【答案】①③④【解析】由題意可知，，，對于①：，因為，則，即，所以，且，可得，①正確；對于②：，因為，則，即，所以，且，可得，當且僅當時等號成立，②錯誤；對于③：因為，即，，所以，即，③正確；對于④：由①可知，且，則，即，所以，且，所以，④正確；故答案為：①③④27．（2023·福建龍巖·高三上杭一中校考階段練習）“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強與標準聲強（約為，單位：）之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作（單位：貝爾），即.取貝爾的倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音強度（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度（單位：米）之間滿足關系式，若甲游客大喝一聲的聲強大約相當于個乙游客同時大喝一聲的聲強，則甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為.【答案】【解析】設甲游客的聲強為，大喝一聲激起的涌泉最高高度為米，乙游客的聲強為，大喝一聲激起的涌泉最高高度為米，則，，兩式相減得，甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為米．故答案為：.28．（2023·江蘇常州·高三華羅庚中學?？茧A段練習）北京時間2023年2月10日0時16分，經(jīng)過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍?鄧清明?張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的聲強級（單位：）與聲強（單位：）滿足關系式：.若某人交談時的聲強級約為，且火箭發(fā)射時的聲強與此人交談時的聲強的比值約為，則火箭發(fā)射時的聲強級約為.【答案】【解析】設人交談時的聲強為，則火箭發(fā)射時的聲強為，且，解得，則火箭發(fā)射時的聲強約為，因此，所以火箭發(fā)射時的聲強級約為.故答案為：13806函數(shù)模型的選擇29．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習）研究汽車急剎車的停車距離對汽車剎車設計和路面交通管理非常重要，急剎車停車距離受諸多因素影響，其中最為關鍵的兩個因素是駕駛員的反應時間和汽車行駛速度，設表示停車距離，表示反應距離，表示制動距離，則，如圖是根據(jù)美國公路局公布的實驗數(shù)據(jù)制作的停車距離示意圖.圖中指針所指的內圈數(shù)值表示對應的車速().根據(jù)該圖數(shù)據(jù)，建立停車距離與汽車速度的函數(shù)模型.可選擇模型①：模型②：模型③：模型④：(其中為待定參數(shù))進行擬合，則擬合效果最好的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】分析圖中數(shù)據(jù)，分別判斷、與車速的關系，即可得解.分析圖中數(shù)據(jù)可得，車速每增加千米/小時，反應距離增加的數(shù)量大體不變，且時，，所以可擬合為；分析車速和制動距離可得穩(wěn)定在一個常量附近，且時，，所以可擬合為；所以擬合效果最好的函數(shù)模型是故選：B.30．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預測）對兩個變量進行回歸分析，