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文檔簡介

三重積分習題課重點：1.計算；2.應用

上邊界曲面（上頂）下邊界曲面（下底）xOy坐標面上的投影區(qū)域一、利用直角坐標系計算三重積分

“先一后二”（一）先投影，再確定上、下面

x0z

yc1c2

.“先二后一”zDz

（二）截面法[c1,c2]:向z軸的投影區(qū)間

Dz:

過z[c1,c2]且垂于z軸的平面截得到的截面

0xz

yM(x,y,z)M(r,

,z)zrP(x,y,0)xyz柱面坐標M(x,y,

z)

M(r,

,

z)

z=z..

二、利用柱面坐標計算三重積分

球面坐標三、利用球面坐標計算三重積分r2sin

drd

d

dV=xy(一)平面區(qū)域的面積設有平面區(qū)域D,(二)體積設曲面方程為則D上的曲頂柱體體積為:則其面積為:占有空間有界域

的立體的體積為:重積分在幾何上的應用曲面S的面積元素曲面S的面積公式(三)曲面的面積(1)平面薄片的質(zhì)心重積分在物理上的應用(一)質(zhì)(重)心(2)空間物體的重心

設物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)(1)平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量(二)轉(zhuǎn)動慣量(2)空間物體的轉(zhuǎn)動慣量則轉(zhuǎn)動慣量為設物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)區(qū)域之外有一質(zhì)量為m的質(zhì)點A(a,b,c),求該物體對質(zhì)點A的引力.(三)引力其中G為萬有引力系數(shù)，設物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)dF的三個坐標分量分別為于是引力F在三個坐標方向上的分量為例1

解用球面坐標典型例題（畫圖）z

0xy1在球坐標系下r=2

cos

.M.r

z=0y=0x=00yxx0z

y11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1圍成1...例2：x+2y+z=1I=x0z

y11Dyz...例3：x+y+z=1I=

解

直接積分困難，考慮改變積分次序例4

解解例5

解0y

xDxy...例6

解S=xyzoDS=D

:...例6z=0yxzo球面坐標a...用哪種坐標？r=a.例726解解由積分區(qū)域的對稱性知這說明均勻球體對球外一

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