機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第七章：控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算

2024/2/271第七章

控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算7.1系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念7.2系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算7.3減小穩(wěn)態(tài)誤差的途徑7.4動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)7.5工程實(shí)例中的誤差分析2024/2/2727.1系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念圖7.1系統(tǒng)誤差信號(hào)方框圖7.1.1系統(tǒng)復(fù)域誤差如果H(s)=1，則2024/2/2737.1.2系統(tǒng)時(shí)域穩(wěn)態(tài)誤差拉氏變換的終值定理2024/2/2747.2系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算一般系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成如下形式7.2.1系統(tǒng)的類型，無積分環(huán)節(jié)，稱為0型系統(tǒng)；，有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱為I型系統(tǒng)；，有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱為II型系統(tǒng)。依此類推。2024/2/275其中：

2024/2/276穩(wěn)態(tài)誤差的大小與開環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)τi(i=1,2,…,m),Tj

(j=1,2,…,n-λ)均無關(guān)。

由式(7.8)知，與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差有關(guān)的因素有：系統(tǒng)的開環(huán)增益K，系統(tǒng)類型及輸入信號(hào)Xi(s)等。

2024/2/2777.2.2系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)圖7.2變換后的方框圖在圖7.2中，以誤差(偏差)信號(hào)E(s)為輸出量，以Xi(s)為輸入量的誤差傳遞函數(shù)稱為誤差傳遞函數(shù)，即2024/2/278)(isX)(osX)(sE)(sG+-系統(tǒng)誤差信號(hào)方框圖對(duì)于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，誤差傳遞函數(shù)為2024/2/279[例7.1]2024/2/27102024/2/27117.2.3靜態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜態(tài)位置誤差

2024/2/27122024/2/27132024/2/2714系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入時(shí)引起的誤差稱為靜態(tài)速度誤差

2024/2/27152024/2/27162024/2/2717系統(tǒng)對(duì)等加速度輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜態(tài)加速度誤差

2024/2/27182024/2/27192024/2/27202024/2/2721從以上的分析中可以得到如下結(jié)論：(1)同一個(gè)系統(tǒng)對(duì)于不同的輸入信號(hào)，就有不同的穩(wěn)態(tài)誤差。同一個(gè)輸入信號(hào)對(duì)于不同的系統(tǒng)也引起不同的穩(wěn)態(tài)誤差。即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和輸入函數(shù)的性質(zhì)。(2)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有限值與系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K有關(guān)，K值越大，穩(wěn)態(tài)誤差有限值越小。K值越小，穩(wěn)態(tài)誤差越大。2024/2/2722表7-1典型輸入信號(hào)下各型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

輸入信號(hào)系統(tǒng)類型單位階躍輸入單位等速輸入單位等加速輸入0型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)0Ⅱ型系統(tǒng)00(3)表7-1概括了0型、Ⅰ型和II型系統(tǒng)在各種輸入量作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；從表中可見，對(duì)角線以上穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大；對(duì)角線以下穩(wěn)態(tài)誤差為零。2024/2/2723(4)上述結(jié)論是在以單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)等典型輸入信號(hào)作用下得到的，但有普遍意義。這是因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)輸入信號(hào)變化往往是比較緩慢的，可把輸入信號(hào)xi(t)在t=0點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)由于xi(t)的變化是比較緩慢的，它的高階導(dǎo)數(shù)是微量，即泰勒級(jí)數(shù)收斂很快，一般取到t的二次項(xiàng)即可。這樣，就可以把輸入信號(hào)xi(t)看成階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)疊加，故系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差可以看成上述信號(hào)作用下產(chǎn)生的誤差的總和。2024/2/27242024/2/27252024/2/27267.2.4用伯德圖確定誤差常數(shù)(1)靜態(tài)位置誤差常數(shù)的確定

下圖為的單位反饋控制系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：2024/2/2727下圖所示為一個(gè)0型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅值曲線的例子。在這個(gè)系統(tǒng)中，G(jω)的幅值在低頻時(shí)等于Kp

，即由此可知，低頻漸近線是一條幅值為20lgKpdB的水平線。2024/2/2728(2)靜態(tài)速度誤差常數(shù)的確定

下圖所示為一個(gè)I型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值曲線的例子。斜率為-20dB/dec的起始線段(或其延長線)，與ω=1的直線的交點(diǎn)具有的幅值20lgKv。這是因?yàn)樵贗型系統(tǒng)中因此，2024/2/2729斜率為-20dB/dec的起始線段(或其延長線)與零分貝直線交點(diǎn)的頻率在數(shù)值Kv。為了證明這一點(diǎn)，假設(shè)該交點(diǎn)上的頻率為ω1，于是即2024/2/2730(3)靜態(tài)加速度誤差常數(shù)的確定

下圖所示為一個(gè)II型系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的例子。斜率為-40dB/dec的起始線段(或其延長線)與ω=1的直線的交點(diǎn)上的幅值為20lgKa。由于低頻時(shí)所以2024/2/2731斜率為-40dB/dec的起始線段(或其延長線)與0分貝直線交點(diǎn)處的頻率為ωa，它在數(shù)值上等于Ka的平方根。這可以證明如下于是,2024/2/27327.2.5

擾動(dòng)引起的誤差當(dāng)系統(tǒng)存在擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的總誤差為+-+2024/2/2733+-+由輸入信號(hào)xi(t)單獨(dú)作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差為2024/2/2734+-+2024/2/2735[例7.5]++系統(tǒng)如下圖所示，輸入和擾動(dòng)均為單位階躍函數(shù)，試確定系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差。[解]系統(tǒng)總穩(wěn)態(tài)誤差為由于系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，所以2024/2/2736+-++當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)N(s)可以測(cè)量時(shí)，可通過如下結(jié)構(gòu)進(jìn)行補(bǔ)償。7.3減小穩(wěn)態(tài)誤差的途徑①按干擾補(bǔ)償2024/2/2737+-++當(dāng)輸入為零時(shí)，有此時(shí)擾動(dòng)引起的輸出為2024/2/27382024/2/2739②按輸入補(bǔ)償2024/2/27407.4動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)動(dòng)態(tài)誤差e(t)顯然是時(shí)間的函數(shù)。把誤差傳遞函數(shù)ф(s)在s=0的鄰域展開成泰勒級(jí)數(shù)并取前n+1項(xiàng)：誤差的拉氏變換式為對(duì)上式進(jìn)行拉氏逆變換，得2024/2/2741令可將上式寫成式中，分別稱為動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)、動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)、動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)等。2024/2/2742例7.7

設(shè)某單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求輸入xi(t)=a0+a1t+a2t2時(shí)的動(dòng)態(tài)誤差。解：該系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)即則動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)2024/2/2743因?yàn)楣蕜?dòng)態(tài)誤差為借助于計(jì)算機(jī)仿真，可以求得e(t)的波形和數(shù)值，即可以準(zhǔn)確地求出動(dòng)態(tài)誤差。2024/2/2744作業(yè)題7.5：(2)、(4)；7.6；7.8；7.24思考題7.5：(1)、(3)；7.7；7.9；7.10；7.11；7.12；7.16；7.192024/2/27457.5工程實(shí)例中的誤差分析7.5.1工作臺(tái)位置自動(dòng)控制系統(tǒng)

在沒有設(shè)置控制器時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其靜態(tài)位置誤差系數(shù)為當(dāng)給定的輸入為單位階躍時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為2024/2/2746其靜態(tài)速度誤差系數(shù)為當(dāng)給定的輸入為單位斜坡時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為可見，隨著前置放大器放大倍數(shù)的增大，穩(wěn)態(tài)誤差變小。且穩(wěn)態(tài)誤差與前置放大器放大倍數(shù)成反比。