多邊形的內(nèi)角和

第十一章三角形第十一章三角形11.3.2多邊形的內(nèi)角和學(xué)習(xí)目標12掌握多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理.(重點）會用多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理進行簡單的計算與說理.(難點）新課導(dǎo)入1.三角形內(nèi)角和是多少度？復(fù)習(xí)引入三角形內(nèi)角和是180°.銳角三角形鈍角三角形直角三角形三角形內(nèi)角和是180°與三角形的形狀無關(guān).2.長方形和正方形的內(nèi)角和是多少度？都是360°.思考：1.你能猜想任意四邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？

2.五邊形、六邊形的內(nèi)角和又是多少？知識講解★多邊形的內(nèi)角和猜想：任意四邊形的內(nèi)角和是多少度？任意四邊形的內(nèi)角和都是360°.驗證：

ABCDABCDE方法2：如圖，在CD邊上任取一點E，連接AE、DE，則該四邊形被分成三個三角形，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.方法3：如圖，在四邊形ABCD內(nèi)部取一點E，連接AE、BE、CE、DE，把四邊形分成四個三角形：△ABE、△ADE、△CDE、△CBE.所以四邊形ABCD內(nèi)角和為：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.ABCDEABCDP方法4：如圖，在四邊形外任取一點P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形.所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180°×3－180°=360°.結(jié)論：

四邊形的內(nèi)角和為360°.你能仿照求四邊形內(nèi)角和的方法，選一種方法求五邊形和六邊形內(nèi)角和嗎?ACDEBABCDEF內(nèi)角和為180°×3=540°.內(nèi)角和為180°×4=720°.n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內(nèi)角和分割出三角形的個數(shù)從多邊形的一頂點引出的對角線條數(shù)圖形邊數(shù)······0n-31231234n-2（

n-2）·180o1×180o=180o2×180o=360o

3×180o=540o4×180o=720o························總結(jié)歸納多邊形的內(nèi)角和公式n邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°例1

一個多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°，并且這個多邊形的各內(nèi)角都相等，這個多邊形的每個內(nèi)角是多少度？解：設(shè)這個多邊形邊數(shù)為n，則（n-2）?180=360+720，解得n=8.∴多邊形的內(nèi)角和為（8-2）×180°=1080°.∵這個多邊形的每個內(nèi)角都相等，∴它每一個內(nèi)角的度數(shù)為

1080°÷8=135°.★多邊形的外角和如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．ABCDEF132

456問題1：任意一個外角和它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？問題2：六個外角加上它們分別相鄰的六個內(nèi)角和是多少？互補6×180°=1080°問題3：這六個平角和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？六邊形外角和=360°.=六個平角－六邊形內(nèi)角和=6×180°

ABCDEF132

456結(jié)論：六邊形的外角和等于360°.n邊形外角和n邊形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°=n個平角-n邊形內(nèi)角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：把六邊形換成n邊形（n為不小于3的任意整數(shù)），可以得到同樣的結(jié)果嗎？與邊數(shù)無關(guān)正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是正多邊形每個外角的度數(shù)是拓展例2

已知一個多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù).解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.∵它的內(nèi)角和等于(n－2)?180°，多邊形外角和等于360°，∴(n－2)?180°=2×360o.解得

n=6.∴這個多邊形的邊數(shù)為6.隨堂訓(xùn)練2.若正多邊形的一個外角是60°，則該正多邊形的內(nèi)角和為（）A.360°

B.540°

C.720°

D.900°C3.如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多形的邊數(shù)是（）A.8

B.9

C.10

D.11A1.正多邊形的一個內(nèi)角是150°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A.10B.11C.12D.13D4.一個正多邊形的內(nèi)角和為720°，則這個正多邊形的每一個內(nèi)角等于______．120°

150m

7.如圖，在五邊形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數(shù)．解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.∵AP平分∠EAB,∴∠PAB＝∠EAB.同理可得∠ABP＝∠ABC.∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°?(