浙江省“衢溫5+1”聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023學(xué)年第一學(xué)期“衢溫5+1”聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題（本大題共8小題，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1．設(shè)，則（

）A． B． C． D．2．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．3．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．4．已知命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實數(shù)（

）A．3 B． C．1 D．3或6．中文“函數(shù)（function）”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯出來的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”．已知集，給出下列四個對應(yīng)法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．7．設(shè)，若不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，用表示中的較大者，記為，若的最小值為1，則實數(shù)的值為（

）A．0 B． C． D．二、多項選擇題（本大題共4小題，共20分，在每個小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9．下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．下列四個命題是真命題的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的值域為C．若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是D．已知在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是12．已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（

）．A．函數(shù)為增函數(shù)B．C．若在上恒成立，則的最小值為8D．若關(guān)于的方程有三個不同的實根，則非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分．）13．計算：．14．已知函數(shù)，則．15．已知，若，則的最小值為．16．定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)滿足，則．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．18．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明；19．已知函數(shù)(1)若的解集為，求的值；(2)若，求不等式的解集．20．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21．為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計三個等高的宣傳欄（欄面分別為一個等腰梯形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為（宣傳欄中相鄰的三角形和梯形間在水平方向上的留空寬度也都是10，設(shè)．(1)當(dāng)時，求海報紙（矩形）的周長；(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最小）？22．已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，且，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．1．B【分析】利用交集定義即可求得.【詳解】，則.故選：B2．C【分析】根據(jù)題意，由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)果.【詳解】因為命題“”，則其否定為.故選：C3．D【分析】先列出關(guān)于x的不等式組，解之即可求得函數(shù)的定義域.【詳解】由，可得，故且則函數(shù)的定義域是故選：D4．D【分析】根據(jù)題意，分別驗證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】由推不出，比如，故充分性不滿足；由推不出，比如，故必要性不滿足；所以是的既不充分也不必要條件.故選：D5．A【分析】根據(jù)題意，由冪函數(shù)的定義以及性質(zhì)列出方程，不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則有，解得.故選：A6．C【分析】ABD選項，均有對應(yīng)的函數(shù)值不在中，C選項中元素對應(yīng)的函數(shù)值均在中.【詳解】A選項，當(dāng)時，，而，故A錯誤；B選項，當(dāng)時，，而，故B錯誤；C選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故滿足要求，C正確；D選項，當(dāng)時，，而，D錯誤.故選：C7．D【分析】由一元二次不等式解集得到參數(shù)關(guān)系，進而有，再比較各函數(shù)值的大小.【詳解】由題設(shè)，則，故，所以，，，且，所以.故選：D8．B【分析】畫出的圖象，分，和三種情況，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到取得最小值的點，進而求出該點坐標(biāo)，得到答案.【詳解】令，定義域為，令，得，且在上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖象如下：則的圖象如下：若，則，畫出的圖象如下，顯然最小值為2，不合題意，若，則畫出的圖象如下：顯然函數(shù)在點取得最小值，令，解得，正值舍去，令，解得，若，則畫出的圖象如下：顯然函數(shù)在點取得最小值，令，解得，負(fù)值舍去，令，解得，綜上，.故選：B9．AB【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義即可排除CD，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解AB.【詳解】由于函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且故為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，故A正確，由于函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且故為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，故B確，的定義域為,定義域不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)，C錯誤，的定義域為，關(guān)于原點對稱，且故為偶函數(shù)，不符合要求，D錯誤，故選：AB10．ACD【詳解】選項A：由，可得.判斷正確；選項B：令，滿足，但是則不成立.判斷錯誤；選項C：由，可得，則不等式兩邊均除以可得.判斷正確；選項D：又，則，則，則.判斷正確.故選：ACD11．AD【分析】A選項，由題意得到不等式，求出抽象函數(shù)定義域；B選項，換元法求解函數(shù)值域；C選項，根據(jù)題意能取得任何非負(fù)數(shù)，分和，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出答案；D選項，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)遞增，需滿足在每一段上均單調(diào)遞增，且左端點函數(shù)值小于等于右端點函數(shù)值，得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】A選項，令，解得，故函數(shù)的定義域為，A正確；B選項，令，則，故，故函數(shù)的值域為，B錯誤；C選項，若函數(shù)的值域為，則能取得任何非負(fù)數(shù)，若，則，能夠取到任意非負(fù)數(shù)，滿足要求，若，則要，解得，綜上，的取值范圍是，C錯誤；D選項，已知在上是增函數(shù)，要滿足，解得，則實數(shù)的取值范圍是，D正確.故選：AD12．BCD【分析】根據(jù)解析式可整理得到當(dāng)，時，；根據(jù)可知A錯誤；根據(jù)且可知B正確；由恒成立可確定C正確；由方程根的個數(shù)可確定與有且僅有三個不同交點，根據(jù)在每一段上的值域可分析得到不等關(guān)系，解不等式可知D正確.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；依次類推，當(dāng)，時，；對于A，，，不符合增函數(shù)定義，A錯誤；對于B，，，對于，不等式恒成立，B正確；對于C，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，因為，則，在上恒成立，的最小值為，C正確；對于D，由得：，當(dāng)時，則，方程無解，不合題意；當(dāng)時，則或；與有且僅有三個不同交點；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；，解得：；D正確.故選：BCD.【點睛】思路點睛：本題考查函數(shù)中的類周期問題的求解，解題基本思路是根據(jù)解析式的變化規(guī)律確定函數(shù)解析式的形式及每一段解析式對應(yīng)的值域，根據(jù)每個選項中的考點：單調(diào)性、最值、恒成立及方程根的個數(shù)問題，結(jié)合解析式和值域確定結(jié)果.13．12【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)冪的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：14．4【分析】利用分段函數(shù)解析式即可求得的值.【詳解】由，可得，則故答案為：415．【分析】得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：16．【分析】構(gòu)造新函數(shù)，求得的周期為4，依據(jù)題給條件求得的值，進而求得的值.【詳解】由，可得，則，即令，則，即，則則的周期為4，則，由為偶函數(shù)，可得為偶函數(shù)，又由，可得，則，則，又的周期為4，則，則則，解之得，，又，則故.故答案為：【點睛】思維點睛：抽象函數(shù)的函數(shù)值的計算，往往借助于函數(shù)的奇偶性、周期性等來簡化計算，而后者的探究需對原有計算關(guān)系變形化簡.17．(1)或；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由集合的運算，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分與討論，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），又，或，或.（2）當(dāng)時，．當(dāng)時，．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．18．(1)；(2)函數(shù)在上為減函數(shù)，證明見解析【分析】（1）代入兩點坐標(biāo)，得到方程組，求出，得到解析式；（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟為取值，作差，判號，下結(jié)論.【詳解】（1）∵函數(shù)過點，∴，解得，.（2）函數(shù)在上為減函數(shù)，理由如下：設(shè)任意，且，則．，，，即，函數(shù)在上為減函數(shù)．19．(1)或；(2)答案見解析.【分析】（1）由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值即可；（2）由題設(shè)得，討論、、求對應(yīng)解集.【詳解】（1）的解集為．方程的兩根為和，且，，解得或.（2）且不等式，即，即，①當(dāng)時，，解得，解集為；②當(dāng)時，，解得，解集為；③當(dāng)時，原不等式即，解得，解集為．綜上，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，，解集為；當(dāng)時，解集為.20．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)定義在上的奇函數(shù)函數(shù)，則有即可解題；（2）由（1）知，易知在上單調(diào)遞減，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性，可將條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再求的取值范圍即可.【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，經(jīng)檢驗滿足題意，所以.（2）由（1）知，易知在上單調(diào)遞減，由，可得，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以原不等式等價于，又在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，有，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.21．(1)；(2)選擇矩形的長寬分別為的海報紙，可使用紙量最少【分析】（1）根據(jù)題意，列出面積公式，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，列出面積公式，結(jié)合基本不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)陰影部分直角三角形的高為，陰影部分的面積，又，由圖可知：，海報紙的周長為.（2）由（1）知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，故選擇矩形的長寬分別為的海報紙，可使用紙量最少.22．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）先化簡的解析式，依據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性即可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造新函數(shù)，將題給條件轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，按a分類討論即可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，則又圖像開口向上，對稱軸為，單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）對任意的，且，