模型08 垂線段最短模型（教師版）

PAGE1模型介紹模型介紹【結(jié)論一】如圖直線外一點(diǎn)A到直線上所有點(diǎn)的距離中，垂線段AM最小.【結(jié)論二】如圖，在三角形ABC中，M、N分別是DE、BC上的動點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值。則有以下結(jié)論成立：過A作BC的垂線，垂足為Q，于DE相交于P，當(dāng)M、N分別與P、Q重合時(shí)，AM+MN有最小值，即為AQ的長度.方法點(diǎn)撥1.題型特征：①一定點(diǎn)②動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為直線2.模型本質(zhì)：過定點(diǎn)作定直線的垂線，垂線段最短.例題精講例題精講【例1】.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P為邊BC上一動點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的取值范圍是≤AM＜6．解：連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M為EF中點(diǎn)，∴AM＝EF＝AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP值最小，此時(shí)S△BAC＝×5×12＝×13×AP，∴AP＝，即AP的范圍是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范圍是AM≥，∵AP＜AC，即AP＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6．故答案為：≤AM＜6．變式訓(xùn)練【變式1】．如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P為直線AB上一動點(diǎn)，連接PC，則線段PC的最小值是．解：作CP⊥AB于P，由垂線段最短可知，此時(shí)PC最小，由勾股定理得，AB＝＝＝5，S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×3×4＝×5×PC，解得，PC＝，故答案為：．【變式2】.如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是2．解：作D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，AD′＝AD＝4，∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2，即DQ+PQ的最小值為2，故答案為：2．【變式3】.如圖，在銳角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動點(diǎn)，試求CM+MN的最小值．解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，∵BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BC?cos45°＝4×＝4．故CM+MN的最小值為4．【變式4】.如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝3，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動點(diǎn)，則MP+PB的最小值是．解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE＝PB，∴MP+PB＝PM+PE，∴當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)P，點(diǎn)E共線且ME⊥BC時(shí)，PM+PE有最小值為ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∵sin∠ACB＝＝，∴ME＝，∴MP+PB的最小值為，故答案為．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)．若CD＝5，則DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．10解：當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE的值最小，∵AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，CD＝5，∴DE的最小值＝CD＝5，故選：C．2．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BD，BC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．6解：作C點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)G，過G點(diǎn)作GF⊥BC交BC于F，交BD于E，∴EG＝EC，∴EC+EF＝EG+EF＝GF，此時(shí)EC+EF最小，∵BD平分∠ABC，∴G點(diǎn)在AB上，∴BC＝BG，∵AC＝BC＝10，∴BG＝10，∠ACB＝4∠A，∴∠A＝∠B＝30°，∴GF＝BG＝5，∴EC+EF的最小值是5，故選：C．3．如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．4.5解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E′，過點(diǎn)E′作E′M⊥AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P、M使PE+PM取得最小值，PE+PM＝PE′+PM＝E′M，∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)E′在CD上，∵AC＝6，BD＝6，∴AB＝＝3，由S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?E′M得×6×6＝3?E′M，解得：E′M＝2，即PE+PM的最小值是2，故選：C．4．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．解：如圖：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1＝DP1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP＝FP，由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是線段P1P2，∴當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1＝2，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值為BP1的長，在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2，∴PB的最小值是2．故選：D．5．如圖所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別向終點(diǎn)B，C移動，連接EF，在移動的過程中，EF的最小值為（）A．1B．C．D．解：連接DB，作DH⊥AB于H，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，而∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等邊三角形，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，∴DH＝，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF，∴∠2＝∠1，DE＝DF∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，∴△DEF為等邊三角形，∴EF＝DE，而當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動到H點(diǎn)時(shí)，DE的值最小，其最小值為，∴EF的最小值為．故選：D．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動點(diǎn)，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ．則CQ的最小值是（）A． B．1 C． D．解：解法一：如圖在CD的下方作等邊△CDT，作射線TQ．∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，∴∠CDP＝∠QDT，在△CDP和△TDQ中，，∴△CDP≌△TDQ（SAS），∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，∴點(diǎn)Q在射線TQ上運(yùn)動（點(diǎn)T是定點(diǎn)，∠CTQ是定值），當(dāng)CQ⊥TQ時(shí)，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，解法二：如圖，CD的上方，作等邊△CDM，連接PM，過點(diǎn)M作MH⊥CB于H．∵△DPQ，△DCM都是等邊三角形，∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，∵DP＝DQ，DM＝DC，∴△DPM≌△DQC（SAS），∴PM＝CQ，∴PM的值最小時(shí)，CQ的值最小，當(dāng)PM⊥MH時(shí)，PM的最小值＝CH＝CD＝1，∴CQ的最小值為1．故選：B．7．如圖，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，點(diǎn)M是∠ABC平分線BD上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上一動點(diǎn)，則CM+MN的最小值是．解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，∵點(diǎn)M是∠ABC平分線BD上一動點(diǎn)，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，∴MN+CM＝ME+CM＝CE，∵CE⊥AB，∴CE是點(diǎn)C到AB最短的線段，即CM+MN的最小值就是線段CE的長度，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，又∵?AB?CE＝S△ABC，∴×6×CE＝10，∴CE＝故答案為．8．如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分別為線段AD、AB上的動點(diǎn)，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，則BE+EF的最小值為．解：過點(diǎn)D作DB'⊥AC交于點(diǎn)B'，過B'作B'F⊥AB交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝B'D，∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），∴B與B'關(guān)于AD對稱，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，∵AB＝8，AC＝10，BD＝，∴B'D＝，BC＝6，∵AB＝AB'，∴AB'＝8，∵sin∠CAB＝＝＝，∴B'F＝，∴BE+EF的最小值為，故答案為．9．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)，G是對角線AC上的兩個(gè)動點(diǎn)，且FG＝，連接EF，BG，則EF+BG的最小值為．解：如圖，取BC的中點(diǎn)E'，連接EE'，GE'，∵E為AB的中點(diǎn)，∴EE'為△ABC的中位線，即EE'∥AC，且EE'＝AC，∵正方形ABCD的邊長為2，∴AC＝＝2，∴EE'＝AC＝，∵FG＝，∴EE'＝FG，且EE'＝FG，即四邊形EE'GF為平行四邊形，∴EF＝E'G，連接DG，DE'，根據(jù)正方形的對稱性可知，BG＝DG，∴EF+BG＝E'G+DG，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可得，當(dāng)點(diǎn)E'，G，D在同一直線上時(shí)，E'G+DG取得最小值，即此時(shí)EF+BG的最小值為線段E'D的長度，連接E'G，則在Rt△E'CD中，∵E'C＝1，CD＝2，∴E'D＝＝，故EF+BG的最小值為，故答案為：．10．如圖，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時(shí)，DF長的最大值為6﹣3．解：連接AM交EF于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OK⊥AD于點(diǎn)K，交BC于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作AG⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)G，取AF的中點(diǎn)R，連接OR，如圖：∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四邊形AGTK是矩形，∴AG＝TK＝AB?sin60°＝3，∵折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，∴OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT＝，∵OK⊥AD，∴OR≥OK＝，∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥3，∴AF的最小值為3，∴DF的最大值為6﹣3．故答案為：6﹣3．11．如圖，邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個(gè)動點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，DF的最小值是．解：如圖，連接BF，由旋轉(zhuǎn)可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，∵邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個(gè)動點(diǎn)，∴∠CAE＝30°，BD＝4，∴∠CBF＝30°，即點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡為直線BF，∴當(dāng)DF⊥BF時(shí)，DF最短，此時(shí)，DF＝BD＝×4＝2，∴DF的最小值是2故答案為2．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為BC上一動點(diǎn)，過C、E、P三點(diǎn)⊙O交AC于F點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為．解：∵經(jīng)過P、E、F三點(diǎn)確定⊙O，由圓周角定理可知：⊙O的直徑為EF，連接PC，PF，PE，∵AC＝BC＝8，∴△ABC是等腰直角三角形，∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠PEF＝45°，∴△EFP是等腰直角三角形，∴FE＝PE，當(dāng)PE⊥BC時(shí)，PE最小，即EF最小，此時(shí)PE＝AC＝4，∴EF的最小值＝4，故答案為：4．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，A的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，4），點(diǎn)B是y軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，則PM的最小值為．解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，連接AM，OM，∵∠BAC＝∠BOC＝90°，M為BC中點(diǎn)，∴AM＝OM，∴點(diǎn)M在線段AO的垂直平分線上，作線段AO的垂直平分線交y軸，x軸于點(diǎn)D，E，當(dāng)PM⊥DE，PM最小，連接AD，則AD＝OD，∵A（2，4），∴AF＝2，OF＝4，設(shè)OD＝AD＝t，則FD＝4﹣t，∵FD2+AF2＝AD2，∴（4﹣t）2+22＝t2，∴t＝，∴OD＝，∵∠FOA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OED＝90°，∴∠FOA＝∠OED，∵∠AFO＝∠DOE＝90°，∴△FAO∽△ODE，∴，即AF?OE＝OD?OF，∴OE＝5，∵P（1，0），∴PE＝4，在Rt△AFO中，OA＝＝2，當(dāng)PM⊥DE時(shí)，PM最小，∴∠PME＝∠AFO＝90°，∴△PME∽△AFO，∴，∴，∴PM＝，故答案為：．14．如圖，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，以DE為斜邊作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，則BF的取值范圍是．解：如圖1，以AD為斜邊在AD下方作等腰直角△AGD，∴∠ADG＝∠EDF＝45°，∴∠ADE＝∠GDF，∴△ADE∽△GDF，∴∠DGF＝∠DAE＝60°，∴點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是GF，∴BF的最短距離為×2＝；如圖2，當(dāng)點(diǎn)E移動到點(diǎn)B時(shí)，BF最大，在等腰直角三角形BDF中，BF＝BD＝2，所以BF的取值范圍為2﹣2≤BF≤2，故答案為：≤BF≤2．15．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，動點(diǎn)M、N在斜邊AB上，∠MCN＝45°，求MN的最小值．解：如圖①，∵∠MCN＝45°，在AB上方以MN為斜邊作等腰Rt△MON，以O(shè)M為半徑作△CMN的外接⊙O，連接OC、OM、ON，取MN的中點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q，連接OP、CP、CQ，設(shè)⊙的半徑為r，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，在Rt△MON中，OM＝ON＝r，∴CQ＝，OP＝r，MN＝r．∵OC+OP≥CP≥CQ，∴r+r≥CP≥．如圖②，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、Q、P共線，且CP與CQ重合時(shí)，r+r＝，此時(shí)r最小，解得r＝﹣1，MN＝r＝2﹣，即MN的最小值為2﹣．16．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)．（1）求AM+BM+CM的最小值；（2）求AM+BM的最小值．解：（1）連接AC，MC，將△BCM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BAM′，再將△BAM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BA′M′，連接CA′，與AB交于點(diǎn)E，如圖，則A′M′＝AM，BM′＝BM，A′B＝AB＝BC＝4，∠ABA′＝∠ABC＝60°，∠ABM′＝∠CBM＝∠ABM＝30°，∴△BMM′是等邊三角形，BE⊥A′C，∴BM＝MM′，∴AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM≥A′C，當(dāng)A′、M′、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM＝A′C的值最小，此時(shí)A′C＝2CE＝2．故AM+BM+CM的最小值為4；（2）如圖，過點(diǎn)A作AT⊥BC于T，過點(diǎn)M作MH⊥BC于H．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵M(jìn)H⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB?sin60°＝2，∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥2，∴AM+BM≥2，∴AM+BM的最小值為2，故答案為：2．17．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O、A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接OC、AC，若點(diǎn)B是線段OA上一動點(diǎn)，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，線段A′C與x軸交于點(diǎn)D，且點(diǎn)D與O、A點(diǎn)不重合．（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求證：△OCD∽△A′BD；（3）求的最小值．（1）解：在中，令y＝0得x＝0或x＝4，∴A（4，0），∵＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴A的坐標(biāo)為（4，0），C的坐標(biāo)為（2，﹣2）；（2）證明：如圖1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由對稱得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；（3）解：∵△OCD∽△A′B