模型23 隱圓系列之點(diǎn)圓最值模型（教師版）

模型介紹模型介紹平面內(nèi)一定的D和?O上動(dòng)點(diǎn)M的連線中，當(dāng)連線過(guò)圓心O時(shí)，線段DM有最大值和最小值。分以下情況討論：（設(shè)OD=d，?O的半徑為r）點(diǎn)D在?O外時(shí)，d＞r，如圖：①當(dāng)D、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段DM出現(xiàn)最值，DM的最大值為d+r，DM的最小值為d-r;②當(dāng)點(diǎn)D在?O上時(shí)，d=r，如圖：當(dāng)D、O、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段DM有最值；DM最大值為d+r，DM最小值為d-r=0(即點(diǎn)D與點(diǎn)M重合）③當(dāng)點(diǎn)D在?O內(nèi)時(shí)，d＜r，如圖當(dāng)點(diǎn)D、O、M三點(diǎn)共線時(shí)，DM有最值；DM最大值為d+r，DM最小值為|d-r|=r-d;點(diǎn)圓最值：平面內(nèi)一定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題.R方法：求出該定點(diǎn)到圓心的距離d，則最大值為d+r,最小值為|d-r|例題例題精講【例1】．如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝6．點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△GEF．則GC長(zhǎng)的最小值是（）A． B． C．2 D．2解：以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點(diǎn)G在線段CE上時(shí)，GC的長(zhǎng)取最小值，如圖所示根據(jù)折疊可知：GE＝AE＝AB＝2．在Rt△BCE中，BE＝AB＝2，BC＝6，∠B＝90°，∴CE＝＝2，∴GC的最小值＝CE﹣GE＝2﹣2．故選：A．變式訓(xùn)練【變式1-1】.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是．解：如圖，連接MC；過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝6，∵點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，∠A＝45°，∴DM＝MA＝，∠MDE＝∠A＝45°，∴ME＝DE＝DM＝1，∴CE＝CD+DE＝6+1＝7，由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，∴CM＝＝5；由翻折變換的性質(zhì)得：MA′＝MA＝，點(diǎn)A′在以M為圓心，為半徑的圓上顯然，當(dāng)折線MA′C與線段MC重合時(shí)，線段A′C的長(zhǎng)度最短，此時(shí)A′C＝MC﹣MA′＝5﹣＝4，故答案為4．【變式1-2】．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D為圓心，3為半徑作⊙D，E為⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，則點(diǎn)F與點(diǎn)C的最小距離為．解：如圖取AB的中點(diǎn)G，連接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝6，AG＝GB，∴AG＝GB＝3，∵AD＝9，∴＝＝，∴＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝3，∴FG＝1，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心1為半徑的圓，∵GC＝＝3，∴FC≥GC﹣FG，∴FC≥3﹣1，∴CF的最小值為3﹣1．故答案為3﹣1．【例2】.如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝5，P是半徑為3的⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC，若E是PC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則DE長(zhǎng)的最大值為_(kāi)______解：如圖，連接PB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝DB＝BC＝12，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴DE是△PBC的中位線，∴DE＝PB，∴當(dāng)PB取最大值時(shí)，DE的長(zhǎng)最∵P是半徑為3的⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)PB過(guò)圓心A時(shí)，PB最大，∵BD＝12，AD＝5，∴AB＝，∵⊙A的半徑為3，∴PB的最大值為13+3＝16，∴DE長(zhǎng)的最大值為8，故選：A．

變式訓(xùn)練【變式2-1】.如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，F(xiàn)是BD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AF于E，在點(diǎn)F變化的過(guò)程中，線段DE的最小值是．解：如圖，∵BE⊥AF于E，∴E在以AB為直徑圓心為O的圓上，∴當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線的時(shí)候線段DE最小，∵AB＝2，四邊形ABCD為正方形，∴AO＝1＝OE，AD＝2，∴OD＝＝，∴段DE最小值為OD﹣OF＝﹣1．故答案為：﹣1．【變式2-2】．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在半圓的中點(diǎn)，且BC＝4cm，點(diǎn)D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BD于H，連接AH，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AH長(zhǎng)度的最小值是．解：連接AC，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，TH．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵點(diǎn)C在半圓的中點(diǎn)，∴＝，∴AC＝CB＝4，∵CT＝TB＝2，∴AT＝＝＝2，∵CH⊥BD，∴∠CHB＝90°，∴點(diǎn)H在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵CT＝TB，∴HT＝BC＝2，∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2，∴AH的最小值為2﹣2，故答案為：2﹣2．

1．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（）A． B． C．﹣ D．﹣2解：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值為﹣2．故選：D．2．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝3．若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為（）A．1.5 B． C． D．2解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，設(shè)所在圓的圓心為O，當(dāng)O、P、B共線時(shí)，PB長(zhǎng)度最小，設(shè)OB交AC于D，如圖所示：此時(shí)PA＝PC，OB⊥AC，則AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝，BD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故選：B．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，連接DE，則DE最大值是．解：如圖，將線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BP，連接PE，PD，則DB＝PB，∠DBP＝90°，∵將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，∴BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠CBD＝∠EBP，∴△CBD≌△EBP（SAS），∴PE＝DC，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴DB＝CD＝AB＝1，∴PE＝1，PB＝1，∴DP＝，∵PD+PE≥DE，∴DE≤+1，∴DE最大值為+1，故答案為：+1．4．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點(diǎn)P，則∠APD的度數(shù)為90°；連接CP，線段CP的最小值為﹣1．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，則OP＝AD＝×2＝1（不變），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得C、P、O三點(diǎn)共線時(shí)線段CP的值最小，在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案為：90°，﹣1．5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊DC，DA上的動(dòng)點(diǎn)，且DE：DF＝4：3，射線AE與BF相交于點(diǎn)M，若連接CM，則線段CM的最小值為．解：如圖1，連接EF，并延長(zhǎng)EF交邊AB于點(diǎn)G，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，∴，∴AC：AB＝4：3，∴AC：AB＝DE：DF＝4：3，∴，∵∠BAC＝∠FDE＝90°，∴△BAC∽△FDE，∴∠GBE＝∠DFE，∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC，∴∠DFE+∠DEF＝90°，∴∠GBE+∠DEF＝90°，∴∠BGE＝90°，∴EG是△ABE的高，∵AD是△ABE的BE邊上的高，∴BM是△ABE的AE邊上的高，∴BM⊥AM，∴∠AMB＝90°，∴點(diǎn)M在線段AB為直徑的上，如圖2，作以線段AB為直徑的，取圓心O，連接OC交于點(diǎn)N，則當(dāng)點(diǎn)O、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段CM的最小值，如圖3，∵AB＝6，點(diǎn)O是圓心，∴OA＝ON＝3，∵∠BAC＝90°，AC＝8，∴，∴線段CM的最小值即，故答案為：．6．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝3，以B為圓心，半徑為1的弧交BC于M，E是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，EG⊥AD，垂足為G，F(xiàn)是弧AM上一動(dòng)點(diǎn)，則EG+EF的最小值為．解：作AH⊥CD于點(diǎn)H．則四邊形ABCH是矩形．DH＝CD﹣AB＝3﹣1＝2，AH＝BC＝2．則AH＝DH，△ADH是等腰直角三角形．則∠ADC＝45°．延長(zhǎng)BC到M使CM＝BC＝2，作MN⊥AD于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)K．則當(dāng)E到K時(shí)，EG+EF取得最小值．∵∠ADC＝90°，MN⊥AD，∴△DNK是等腰直角三角形，∠NKD＝∠CKM＝45°，同理△CMK是等腰直角三角形．則CK＝CM＝2，KM＝CM＝2，∴DK＝CD﹣CK＝3﹣2＝1，∴NK＝DK＝．則MN＝MK+NK＝2+＝，則EG+EF的最小值是﹣1＝．故答案是：．7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，以BC為直角邊向外作等腰Rt△BCD，連接OD，當(dāng)OD取最大值時(shí)，則∠ODB的度數(shù)是．解：如圖，將△ODB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ECB，連接CO，EO，∵將△ODB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ECB，∴OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°∵CE≤OC+OE∴當(dāng)點(diǎn)O在CE上時(shí)，CE有最大值，即OD取最大值，∵BE＝OB，∠ABE＝90°∴∠BOE＝45°∵點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，∠ACB＝90°∴CO＝BO∴∠ECB＝∠CBO，∵∠EOB＝∠ECB+∠OBC＝45°∴∠ECB＝22.5°＝∠BDO故答案為：22.5°8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為正方形外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AED＝45°，P為AB中點(diǎn)，線段PE的最大值是．解：如圖，若點(diǎn)E在正方形右側(cè)，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，EO，∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A，C，E，D四點(diǎn)共圓，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴OE＝OD＝BD＝，∵P為AB的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，∴OP＝AD＝，∵PE≤OP+OE＝+，∴當(dāng)點(diǎn)O在線段PE上時(shí)，PE＝OP+OE＝+，即線段PE的最大值為+，如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD上方，作斜邊為AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，則點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)O，點(diǎn)E共線時(shí)，PE的值最大，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵AD＝2，AO＝DO，∠AOD＝90°∴AO＝，∠OAD＝45°，∵ON⊥AB，AD⊥AB∴∠NAO＝∠NOA＝45°∴AN＝NO＝∴PO＝＝＝∴PE最大值為+＞+，故答案為：+9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．（1）如圖①，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，求CP的最小值；（2）如圖②，若點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，求PD取得最小值時(shí)，BP的長(zhǎng)；（3）如圖③，若點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且∠PAD+∠PBC＝60°，求AP+BP的最大值.解：（1）如圖1，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴BE＝AB＝2，由折疊知，PE＝BE＝2，∴點(diǎn)P是在以E為圓心，2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E，P，C共線時(shí)，CP最小，∵四邊形ABCD時(shí)矩形，∴∠ABC＝90°，∴CE＝＝＝2，∴CP最小＝CP′＝CE﹣EP′＝2﹣2；（2）如圖2，∵∠BPC＝90°，∴點(diǎn)P在以BC為直徑的半圓O上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D，P，O共線時(shí)，PD最小，在Rt△COD中，CD＝4，OC＝BC＝3，∴OD＝5，∴P′D＝OD﹣OP′＝5﹣3＝2，作P′Q⊥BC于Q，∵∠OQP′＝∠BCD＝90°，∠COD為公共角，∴△OQP′∽△OCD，∴，∴，∴OQ＝，QP′＝，在Rt△BQP′中，QP′＝，BQ＝OB+OQ＝3+＝，∴BP′＝＝，∴當(dāng)PD取得最小值時(shí)，BP的長(zhǎng)為：；（3）如圖3，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠CAB＝∠BAD＝90°，∴∠CAB+∠BAD＝180°，∵∠PAD+∠PBC＝60°，∴（∠CAB+∠BAD）﹣（∠PAD+∠PBC）＝120°，∴∠PAB+∠PBA＝120°，在△ABP中，∠APB＝180°﹣120°＝60°，延長(zhǎng)BP至E，使PE＝PA，∴∠E＝∠PAE，∵∠E+∠PAE＝∠APB＝60°，∴∠E＝30°，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABO，以O(shè)為圓心，AB為半徑作圓O，則點(diǎn)E優(yōu)弧AEC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BE為直徑時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)O處時(shí)，AP+BP最大，最大為直徑BE′＝2AB＝8．10．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，△AEF為等腰直角三角形，∠AEF＝90°，連接FC，G為FC的中點(diǎn)，連接GD，ED．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE，DG的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，將圖①中的△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變．①探究（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若AD＝4，AE＝1，求DG的最大值和最小值．解：（1）DE＝DG，理由如下：如圖①，連接EG，延長(zhǎng)EG交BC的延長(zhǎng)線于M，連接DM．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（2）①結(jié)論成立，理由如下：如圖②，連接EG，延長(zhǎng)EG到M，使得GM＝GE，連接CM，DM，延長(zhǎng)EF交CD于R．∵EG＝GM，F(xiàn)G＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE＝DG；②∵AE＝1，△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓A上運(yùn)動(dòng)，如圖③，當(dāng)點(diǎn)A、E、D三點(diǎn)共線，且點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，DE最大，此時(shí)DE＝AD+AE＝4+1＝5，由①可知，DE＝DG，∴DG＝DE＝，即DG的最大值為；如圖④，當(dāng)點(diǎn)A、E、D三點(diǎn)共線，且點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，DE最小，此時(shí)DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，由①可知，DE＝DG，∴DG＝DE＝，即DG的最小值為；綜上所述，DG的最大值為，最小值為．11．（1）如圖1，A、B是?O上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在?O上，且△APB是直角三角形，?O的半徑為1①請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出點(diǎn)P的位置；②當(dāng)AB＝1時(shí)，∠APB＝30°；（2）如圖2，?O的半徑為5，A、B為?O外固定兩點(diǎn)（O、A、B三點(diǎn)不在同一直線上），且OA＝9，P為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不在直線AB上），以PA和AB為作平行四邊形PABC，求BC的最小值并確定此時(shí)點(diǎn)P的位置；（3）如圖3，A、B是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作射線AM⊥AB，AM交?O于點(diǎn)C，若AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CD＝2，E為BD的中點(diǎn)，在D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求線段AE長(zhǎng)度的最大值與最小值．解：（1）①如圖1，△APB、△AP′B是直角三角形；②在Rt△APB中，AB＝AP，∴∠APB＝30°，故答案為：30；（2）四邊形PABC是平行四邊形，∴BC＝AP，∴BC的最小值即AP的最小值，∵當(dāng)P為OA與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，AP最小，∴AP的最小值為9﹣5＝4，即BC的最小值為4；（3）連接BC，∵AM⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴BC是⊙O的直徑，∵點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CD＝2，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑為以C為圓心，以2為半徑的圓，在直角△ABC中，BC＝＝＝5，∵O是直角△ABC斜邊BC上的中點(diǎn)，∴AO＝BC＝，∵E是BD的中點(diǎn)，O是BC的中點(diǎn)∴OE＝CD＝1，∴AE的最小值是AO﹣OE＝，最大值是AO+OE＝．

12．【問(wèn)題提