第4章 穩(wěn)定性分析

現代控制理論

——第4章系統穩(wěn)定性分析鄧曉剛dengxiaogang@中國石油大學（華東）信息與控制工程學院自動化系ModernControlTheory:Chapter-4穩(wěn)定性是自動控制系統最重要的特性系統的穩(wěn)定性：外界干擾作用下偏離平衡狀態(tài)，擾動消失后系統自身恢復到原先平衡狀態(tài)的一種“頑性”線性定常系統的穩(wěn)定性的判定只取決于系統的結構和參數，穩(wěn)定的條件是特征方程的根都具有負實部(在左半根平面)勞斯判據、乃奎斯特判據非線性系統的穩(wěn)定性的判定同時與初始條件和外部擾動的大小有關，無法使用線性定常系統的穩(wěn)定性判據如何判斷穩(wěn)定性？

李雅普諾夫（Lyapunov)方法（適用于線性、非線性系統）§4.1李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義經典控制理論中沒有給出關于穩(wěn)定性的一般定義，俄國數學家Lyapunov給出了對任何系統都普遍適用的穩(wěn)定性的一般定義穩(wěn)定性問題都是相對于某個平衡狀態(tài)而言的，線性定常系統由于只有唯一的一個平衡狀態(tài)，所以才籠統地講所謂的系統穩(wěn)定性問題，對于非線性系統則由于可能存在多個平衡狀態(tài)，不同的平衡狀態(tài)可能表現不同的穩(wěn)定性，必須逐個分別加以討論。一、系統狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)：狀態(tài)空間中滿足的一個狀態(tài)。即平衡狀態(tài)的各分量相對時間不再發(fā)生變化。自治系統：系統的齊次狀態(tài)方程為狀態(tài)軌線：系統的齊次狀態(tài)方程由初始狀態(tài)x0引起的狀態(tài)運動軌跡，稱為系統的運動或狀態(tài)軌線對于任意系統，不一定存在平衡狀態(tài)，即使存在也不唯一二、李雅普諾夫穩(wěn)定性定義狀態(tài)空間中x0點至xe點之間的距離為：鄰域：點集S(e)表示以xe為中心，以e為半徑的超球體，x∈S(e)表示為||x-xe||≤e，當e很小時，則稱S(e)為xe的鄰域有界自由響應：若狀態(tài)方程的解F(t;x0,t0)位于球域S(e)內，便有

||F(t;x0,t0)-xe||≤e，t≥t0，表明狀態(tài)方程由初始狀態(tài)引起的自由響應是有界的Lyapunov根據自由響應是否有界給出四種穩(wěn)定性定義：歐幾里德范數1.李雅普諾夫意義下穩(wěn)定對于任意小的實數e>0，均存在另一實數d(e,t0)>0

，當初始狀態(tài)滿足||x0-xe||≤d(e,t0)時，系統從x0出發(fā)運動軌跡滿足||F(t;x0,t0)-xe||≤e，t≥t0

，則稱該平衡狀態(tài)xe

是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，簡稱xe是穩(wěn)定的。如果齊次狀態(tài)方程有平衡狀態(tài)xe⑴李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定通常時變系統的

與t0有關，時不變系統的

與t0無關。只要

與t0無關，這種平衡狀態(tài)稱為一致穩(wěn)定的。⑵時不變系統的穩(wěn)定屬性時不變系統李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定和一致穩(wěn)定必為等價。⑶李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的實質上是工程意義下的臨界穩(wěn)定。2、漸近穩(wěn)定性如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且當時間t趨于無窮大時，軌線不僅不超出S(e)，而且最終收斂于xe，則稱這種平衡狀態(tài)xe漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定是一個局部概念，只確定某個平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性并不意味著整個系統可以正常運行漸近穩(wěn)定性是工程意義下的穩(wěn)定性盡可能擴大漸近穩(wěn)定的區(qū)域是重要的。

3、大范圍漸近穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性，則稱這種平衡狀態(tài)xe大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。對于線性系統而言，如果平衡狀態(tài)時漸近穩(wěn)定的，必然是大范圍漸近穩(wěn)定的非線性系統中，平衡狀態(tài)一般只具有小范圍漸近穩(wěn)定⑴一致漸近穩(wěn)定⑵時不變系統的漸近穩(wěn)定屬性漸近穩(wěn)定

一致漸近穩(wěn)定⑶小范圍和大范圍漸近穩(wěn)定⑷大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件：xe唯一⑸線性系統的漸近穩(wěn)定屬性漸近穩(wěn)定

大范圍漸近穩(wěn)定⑹漸近穩(wěn)定的工程含義漸近穩(wěn)定＝工程意義下穩(wěn)定4、不穩(wěn)定如果對于某個實數e>0和任一實數d>0，不管d

這個實數多么小，從S(d)內出發(fā)的軌線，至少有一個軌線越過S(e

)，則稱這種平衡狀態(tài)不穩(wěn)定

穩(wěn)定性的概念分析不管初始偏差有多大，系統總是穩(wěn)定的，則稱系統是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有多大，系統總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統只能有一個平衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統是小范圍穩(wěn)定的。對于線性系統，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定§4.2李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法（間接法）,其思想是利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統穩(wěn)定性的方法。適用于線性定常、線性時變及可線性化的非線性系統。線性定常系統：求解特征方程的根非線性系統：線性化處理，求解特征方程一、線性定常系統的穩(wěn)定判據線性定常系統平衡狀態(tài)xe=0漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統矩陣A的全部特征值均具有負實部以上指的是狀態(tài)穩(wěn)定性(內部穩(wěn)定性)，工程中往往更注意輸出穩(wěn)定性(外部穩(wěn)定性)輸出穩(wěn)定性：有界輸入u引起的輸出y是有界的充要條件：傳函的極點全部位于左半s平面。無零極點對消時，內部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性一致[例]分析系統的狀態(tài)穩(wěn)定性和輸出穩(wěn)定性解：求解特征方程特征值為系統的狀態(tài)不是漸進穩(wěn)定的求傳遞函數傳遞函數的極點位于左半S平面，因此系統輸出穩(wěn)定二、非線性系統的穩(wěn)定性設將f(x)在平衡點xe鄰域內展開為泰勒級數，得xe為孤立平衡點。雅可比矩陣為高階導數項若令Dx=x-xe，并取一次近似式，可得系統的線性化方程為李雅普諾夫穩(wěn)定性結論：①如果A陣的所有特征值都具有負實部,則平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定，②如果A陣的特征值至少一個為正實部，則不穩(wěn)定；③如A陣的特征值至少一個實部為0，則的穩(wěn)定性由高階導數項R(x)來決定。

試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。例

已知非線性系統狀態(tài)方程解：令可以求出平衡狀態(tài)，系統有兩個平衡點xe1=[0,0]T;xe2=[1,1]T在xe1=[0,0]T處將其線性化有其中雅可比矩陣A為其特征值為：l1=1，l2=-1，可判原非線性系統在xe1不穩(wěn)定在xe2=[1,1]T處將其線性化有雅可比矩陣為其特征值為：l1=j，l2=-j，實部為零，不能應用線性化方法判斷原非線性系統在xe2的穩(wěn)定性?！?.3李雅普諾夫第二法基本思路：從能量觀點進行穩(wěn)定性分析：1)如果一個系統被激勵后，其儲存的能量隨時間的推移逐漸衰減，到達平衡狀態(tài)時，能量將達最小值，則這個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；

2)反之，如果系統不斷地從外界吸收能量，儲能越來越大，則這個平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；

3)如果系統的儲能既不增加，也不消耗，則這個平衡狀態(tài)就是Lyapunov意義下的穩(wěn)定。

由于實際系統的復雜性和多樣性，往往不能直觀地找到一個能量函數來描述系統的能量關系;

于是Lyapunov定義了一個正定的標量函數V(x)，作為虛構的廣義能量函數，用其一階微分的符號特征來判斷系統的穩(wěn)定性。一、預備知識1.標量函數的符號性質由n維向量x定義標量函數V(x),且V(x)一階導數存在，V(0)=0，如果x≠0

時若V(x)>0則稱V(x)是正定的若V(x)<0則稱V(x)是負定的若V(x)≥0則稱V(x)是半正定的若V(x)≤0則稱V(x)是半負定的若V(x)<0或V(x)>0則稱V(x)是不定的分析舉例，判斷下列函數是否為正定的？

正定的 半正定的 負定的 半負定的 不定的2.二次型標量函數設x=[

x1,x2,

···,xn]T，則實二次型標量函數記為：V(x)=V(x1,x2,

···,xn)=xTPx

其中，P稱為二次型的矩陣(實對稱矩陣)

二次型函數在李雅普諾夫穩(wěn)定性判斷中有重要意義。二次型標量函數V(x1,x2,

···,xn)=xTPx，式中P為實對稱矩陣①如果x

0,若xTPx>0,則稱二次型函數V(x)為正定的，同時稱P為正定矩陣，記為P>0。②如果x

0,若xTPx≥0，則稱二次型函數V(x)為半正定的，稱P為半正定矩陣，記為P≥0。③如果x

0,若xTPx<0,則稱二次型函數V(x)為負定的，稱P為負定矩陣，記為P<0。④如果x

0,若xTPx≤0,則稱二次型函數V(x)為半負定的，稱P為半負定矩陣，記為P≤0。⑤若V既不是半正定又不是半負定，則稱P為不定的。3.希爾維斯特(Sylvester)判據(P的定號判別準則)

i(i=1,2,…,n)為其各階主子行列式：V(x1,x2,

···,xn)=xTPx的符號判斷取決于P的符號矩陣P定號的充要條件是：(1)若

i>0(i=1,2,…,n)，則P為正定的。(2)若

i，則P為負定的。>0i為偶數<0i為奇數(3)若

i，則P為半正定的。

0i=(1,2,…,n-1)=0i=n(4)若

i，則P為半負定的。0i為偶數

0i為奇數=0i=n二、穩(wěn)定性判據設系統的狀態(tài)方程為xe=0為系統平衡狀態(tài)，滿足f(xe)=0，若可構造標量函數V(x)滿足：①標量函數V(x)對x具有連續(xù)一階偏導數②

V(x)

是正定的，即V(0)=0，且對狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)x滿足V(x)>0

③V(x)沿狀態(tài)軌跡方向計算的時間導數V(x)=dV(x)/dt．系統穩(wěn)定性可做如下判斷：

為半負定的，則平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定——穩(wěn)定判據；為負定的；或者為半負定，但對任意初始狀態(tài)x(t0)≠0，

對x≠0，不恒為零，則平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的.如果進一步還有||x||→∞時，V(x)→∞，那么平衡狀態(tài)xe為大范圍漸近穩(wěn)定的——漸近穩(wěn)定判據；為正定的，則平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定——不穩(wěn)定判據。[例]設系統狀態(tài)方程為試確定該系統平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：由平衡狀態(tài)方程得解得唯一的平衡狀態(tài)為x1=0,x2=0,

即xe=0,

為坐標原點。為一負定的標量函數，平衡狀態(tài)（0,0）漸近穩(wěn)定。并且||x||→∞，有V(x)→∞，系統的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。選取一正定的標量函數其一階導數為[例]設系統狀態(tài)方程為x1=0,x2=0為系統唯一的平衡狀態(tài)，試確定該系統平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：選取一正定的標量函數≤0半負定必定滿足李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，是否是漸進穩(wěn)定呢？且‖x‖→∞，有V(x)→∞。系統的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。結合①和狀態(tài)方程

x10

即原點，排除！矛盾！結合②和狀態(tài)方程

對于x≠0,是否恒為0？可能性①：x20，

x1任意可能性②：x2

-1，

x1任意即對x≠0,

不恒為0關于李雅普諾夫函數的說明：(1)普適性。該判據適用線性和非線性、時變和時不變等各類動態(tài)系統；(2)Lyapunov函數V(x)不等同于物理意義上的能量，是一個正定標量函數，可視為一個廣義能量函數；(3)系統漸