河南省2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月模擬考試（一）文科數(shù)學(xué)試題

2022~2023年度河南省高三模擬考試（一）數(shù)學(xué)（文科）考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C.或4 D.或【答案】D【解析】【分析】解方程求出，即可求出值.【詳解】由題意，在中，解得：或，∴或，故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可求得集合，由并集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：或，即；由得：，即；.故選：D.3.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程及離心率定義求解即可.【詳解】由雙曲線知，所以離心率．故選：B4.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用可直接構(gòu)造方程求解.【詳解】，，，解得：.故選：A.5.年月某市星級酒店經(jīng)營數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析如下圖（“同比”指與去年同期相比）：下列說法錯誤的是（）A.整體來看，年月該市星級酒店平均房價相對上一年有所提高B.年月該市星級酒店平均房價的平均數(shù)超過元C.年月這個月中，該市星級酒店在月份的平均房價創(chuàng)下個月來的最高紀(jì)錄D.年月該市星級酒店平均房價約為元【答案】D【解析】【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，由圖可知，僅有月同比增速為，其余個月同比增速均為正數(shù)，故A正確；對于B選項，由圖可知個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故B正確；對于C選項，由圖可知這個月的數(shù)據(jù)中，第個月的最大，故C正確；對于D選項，由，得年月該市星級酒店平均房價大于元，故D錯誤．故選：D.6.已知，均為等差數(shù)列，且，，，則數(shù)列的前5項和為（）A.35 B.40 C.45 D.50【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的等差中項性質(zhì)解決即可.【詳解】由題知，均為等差數(shù)列，且，，，所以，得，所以數(shù)列的前5項和為．故選：B7.下列結(jié)論錯誤的是（）A.不大于0的數(shù)一定不大于1B.367人中一定有同月同日出生的兩個人C.如果今天是星期五，那么2000天后是星期四D.若點P到三邊的距離相等，則P未必是的內(nèi)心【答案】C【解析】【分析】對AB，直接推理判斷即可；對C，結(jié)合星期的周期計算余數(shù)判斷；對D，考慮平面外的情況.【詳解】對A，若，則，所以A正確．對B，每年有365天或366天，所以367人中一定有同月同日出生的兩個人，所以B正確．對C，，如果今天是星期五，那么2000天后是星期三，所以C錯誤．對D，若點P到三邊的距離相等，則P可能是內(nèi)心，也可能在所在平面外，所以D正確．故選：C.8.若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出的范圍和，得到和的值，即可求出的值【詳解】由題意，，，∴，，∴，，∴，故選：D.9.已知某長方體的上底面周長為16，與該長方體等體積的一個圓柱的軸截面是面積為16的正方形，則該長方體高的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】運用長方體、圓柱體積公式及基本不等式求解即可.【詳解】不妨設(shè)該長方體底面的長和寬分別為a，b，高為h，則，軸截面是面積為16的正方形的圓柱，其底面圓的半徑為2，高為4，體積為，則，又因為，所以，故．故選：C.10.若是等比數(shù)列，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由下標(biāo)關(guān)系求等比數(shù)列公比，即可寫出通項公式求值.【詳解】設(shè)，等比數(shù)列的公比為q，則，則，所以，，故．故選：D.11.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再比較大小即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，則在上是減函數(shù)，又，則，又因為，，，所以，即．故選：C.12.如圖，在四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知平面ACE，根據(jù)外接球的性質(zhì)以及四面體ABCD的結(jié)構(gòu)特征確定四面體ABCD的外接球的球心所在位置，進而可求半徑和面積.【詳解】如圖1，取BD的中點E，由，，可得，又，所以為等邊三角形．由，，可得，，，平面ACE則平面ACE，如圖2，延長AE至Q，使得，延長CE至P，使得，∵的外接圓的直徑，即，故易知P為的外心，Q為的外心，過點P作平面BCD的垂線，過點Q作平面ABD的垂線，兩垂線的交點O就是四面體ABCD外接球的球心．由，，可得，在中，，故四面體ABCD外接球的表面積為．故選：A.點睛】結(jié)論點睛：（1）球的任何截面均為圓面；（2）球心和截面圓心的連線垂直于該截面，故外接球的球心位于過底面的外心的垂線上.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.若，，且，則______．【答案】【解析】【分析】由題得，根據(jù)解決即可.【詳解】因為，所以，因為，，所以，所以．故答案為：14.寫出一個最小正周期不小于，且其圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)性質(zhì)可直接得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)正余弦函數(shù)性質(zhì)可知滿足題意的函數(shù)不唯一，如，，等.故答案為：（答案不唯一）.15.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】令，即可判斷在上的單調(diào)性，依題意可得在上為減函數(shù)，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】令，則在為減函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上為減函數(shù)，則，解得，即的取值范圍為．故答案為：16.的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)為求拋物線上動點到及準(zhǔn)線距離和的最值.【詳解】易知動點的軌跡為拋物線，C的焦點為，設(shè)P到C的準(zhǔn)線的距離為d，，則，故的最小值為．故答案為：.【點睛】方法點睛：平方和的形式可看作兩點距離公式，再根據(jù)點的坐標(biāo)形式判斷點所在的曲線，將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求最值.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17.某超市計劃購進1000kg蘋果，采購員從供應(yīng)商提供的蘋果中隨機抽取了10箱（每箱20kg）統(tǒng)計每箱的爛果個數(shù)并繪制得到如下表格：第1箱第2箱第3箱第4箱第5箱第6箱第7箱第8箱第9箱第10箱爛果個數(shù)0001000011假設(shè)在一箱蘋果中沒有爛果，則該箱的價格為120元，若出現(xiàn)一個爛果，則該箱的價格為110元．（1）以樣本估計總體，試問采購員購進1000kg蘋果需要多少元？（2）若采購員檢查完前3箱（即第箱）蘋果后，從剩下的7箱中任選2箱，這2箱都沒有爛果，就按照每箱120元的價格購進1000kg蘋果，求采購員按照這個價格采購蘋果的概率．【答案】（1）5850元（2）【解析】【分析】(1)計算10箱蘋果平均價格，利用樣本估計總體即可求解；(2)利用古典概率模型求解.【小問1詳解】由表可知，這10箱蘋果中，沒有爛果的有7箱，出現(xiàn)一個爛果的有3箱，所以這10箱蘋果的價格為元，故采購員共1000kg蘋果需要元．【小問2詳解】設(shè)第箱分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G（其中A，F(xiàn)，G這3箱有一個爛果），從7箱中任選2箱，所有的情況為，，，，，，

，，，，，，，，，

，，，，，，共21種，其中沒有A，F(xiàn)，G的有6種情況，故采購員按照這個價格采購蘋果的概率為．18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，平面ABCD，，，，，E為PC的中點，且．（1）證明：平面PBC．（2）求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，由直線與平面平行的判定定理證明平面PBC．（2）證明平面APC，得，證明平面PCD，得的長度，計算體積.【小問1詳解】證明：在梯形ABCD中，因為，，所以，因為平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．【小問2詳解】如圖，取AD的中點M，連接CM，AC，因為底面ABCD為梯形，，，，，所以，，且，所以，所以．因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為，所以平面APC，所以，又，，所以平面PCD，所以，E是PC的中點，．．19.如圖，P為半圓（AB為直徑）上一動點，，，記．（1）當(dāng)時，求OP的長；（2）當(dāng)面積最大時，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的長；（2）由余弦定理及基本不等式求出與的乘積關(guān)系，寫出面積表達式，即可得出的值.【小問1詳解】由題意，在中，，，，∴等腰直角三角形，∴在以為直徑的圓上，取中點，連接，∴，，在中，，，由正弦定理，，解得：【小問2詳解】由題意及（1）知，，，在中，，，由余弦定理，，即，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積最大，此時，∴．20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法求切線；（2）轉(zhuǎn)化為求與的交點個數(shù)，由導(dǎo)數(shù)法求得的單調(diào)性及極值，由數(shù)形結(jié)合判斷交點個數(shù).【小問1詳解】，則，則曲線在點處的切線方程為，即．【小問2詳解】．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)函數(shù)，則，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，如圖所示，由，得．當(dāng)或時，零點的個數(shù)為2；當(dāng)時，零點的個數(shù)為3；當(dāng)時，零點的個數(shù)為4．21.已知橢圓的左焦點為．（1）設(shè)M是C上任意一點，M到直線的距離為d，證明：為定值．（2）過點且斜率為k的直線與C自左向右交于A，B兩點，點Q在線段AB上，且，，O為坐標(biāo)原點，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用橢圓方程及左焦點可得到，設(shè)，代入橢圓方程，即可計算出為定值；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓可得二次方程，利用判別式可得，寫出韋達定理，然后利用題意的向量關(guān)系可得，結(jié)合韋達定理即可求證【小問1詳解】因為橢圓的左焦點為，所以，即，設(shè)，則，即，所以，故為定值．【小問2詳解】依題意可知過點P的直線方程為，，，聯(lián)立得，由，得，，．依題意可設(shè)，由點Q在線段AB上，得，所以，由，，得，即，則，即，將，代入上式并整理得，解得，所以．又，所以．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是.（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，點，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）曲線C的參數(shù)方程通過平方消元得到普通方程；通過極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程關(guān)系得到直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）由題可知點P過直線l，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)與定點位置關(guān)系即可列式計算.【小問1詳解】，得，根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程關(guān)系可知直線