四川省瀘州市天府中學(xué)高三上學(xué)期一診模擬（二）數(shù)學(xué)(理)試題

瀘州老窖天府中學(xué)高2021級高三上期一診模擬(二)數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷(選擇題，共60分）一、選擇題本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.解：因?yàn)?，，所?故選A2.已知，，則（）A B. C.4 D.5解：因?yàn)?，所以，所?故選：A3．設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解：對于A選項(xiàng)，設(shè)α∩β＝a，若l∥a，且l?α，l?β，則l∥α，l∥β，此時(shí)α與β相交，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，l∥α，l⊥β，則存在直線a?α，使得l∥a，此時(shí)a⊥β，由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關(guān)系不確定，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．選B.答案：B4.當(dāng)某種藥物的濃度大于100mg/L（有效水平）時(shí)才能治療疾病，且最高濃度不能超過1000mg/L（安全水平）．從實(shí)驗(yàn)知道該藥物濃度以每小時(shí)按現(xiàn)有量14%的速度衰減．若治療時(shí)首次服用后的藥物濃度約為600mg/L，當(dāng)藥物濃度低于有效水平時(shí)再次服用，且每次服用劑量相同，在以下給出的服用間隔時(shí)間中，最合適的一項(xiàng)為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.4小時(shí) B.6小時(shí) C.8小時(shí) D.12小時(shí)【分析】設(shè)小時(shí)后藥物濃度為，由題意可得，兩邊取常用對數(shù)求解即可.解：設(shè)小時(shí)后藥物濃度為若小時(shí)后藥物濃度小于100mg/L，則需再服藥.由題意可得，即所以，則所以所以在首次服藥后13個(gè)小時(shí)再次服藥最合適，則服用藥物的間隔時(shí)間12小時(shí)最合適故選：D5.已知命題p：函數(shù)在上單調(diào)遞減；命題，都有．若為真命題，為假，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.解：若命題p為真，則，若為真，則，由于為真命題，為假，則中一真一假若真假，則滿足：；若真假，則滿足：，此時(shí)無解，綜上故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【分析】以為整體，結(jié)合倍角公式可得，再利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.解：因?yàn)椋裕蔬x：A.7．若，，則（C） A． B． C． D．解：用特殊值法，令a=3，b=2，，可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C正確；，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)8.在梯形中，，將△ACD沿AC折起，連接BD，得到三棱錐，則三棱錐體積最大時(shí),其外接球的表面積為（） A． B． C． D．【分析】注意到三棱錐體積最大時(shí)，平面平面ABC，可知以B為頂點(diǎn)時(shí)，BC為三棱錐的高，然后利用正余弦定理可得各棱長可得體積；利用球心到平面的距離、外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積.解：過點(diǎn)C作，垂足為E，為等腰梯形，，，由余弦定理得，即，易知，當(dāng)平面平面ABC時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)，平面，易知，，記O為外接球球心，半徑為R平面，，O到平面的距離又的外接圓半徑，故答案為：9.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，且的圖象的一條對稱軸是直線，則的最小值為（） A． B． C．2 D．3【分析】利用平移變換得出，再由對稱軸的性質(zhì)得出，，結(jié)合得出的最小值.解：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象對應(yīng)的函數(shù)為因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對稱軸是直線所以，解得，，又所以當(dāng)時(shí)，取最小值，為故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用對稱軸的性質(zhì)結(jié)合得出的最小值.10．如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離．已知山高AB＝（km），CD＝（km），在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°，山頂C的仰角為45°，∠BED＝150°，則兩山頂A、C之間的距離為（） A．(km) B．(km) C．(km) D．(km)【分析】先計(jì)算BE，DE，利用余弦定理計(jì)算BD，再利用勾股定理計(jì)算AC．解：在Rt△ABE中，∵AB＝，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝45°，∴BE＝3，DE＝3，又∠BED＝150°，∴BD＝＝3，過A作AF⊥CD于F，則AF＝BD＝3，CF＝CD﹣AB＝2，∴AC＝＝＝5（km）．故選：B．11.已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上任一點(diǎn)，則的最小值為（） A． B． C．1 D．e【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.解：函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，函數(shù)圖象如下圖：過點(diǎn)的曲線的切線與直線平行時(shí)，最小，即有，所以，故選：A12.已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2–x)=5，g(x)–f(x–4)=7.若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4，則（） A．–21 B．–22 C．–23 D．–24第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.曲線與軸所圍成的圖形面積為______．【答案】2【分析】直接利用定積分求解.解：由題得.所以所求的圖形的面積為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定積分的方法：(1)代數(shù)法：利用微積分基本原理求；（2）幾何法：數(shù)形結(jié)合利用面積求.14．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長的一條棱的長為________．解：由正視圖和俯視圖可知幾何體是正方體切割后的一部分(四棱錐C1-ABCD)，還原在正方體中，如圖所示．多面體最長的一條棱即為正方體的體對角線，如圖即AC1.由正方體棱長AB＝2知最長棱AC1的長為2eq\r(3).答案：2eq\r(3)15.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則___________．解：∵==令=，，則==，當(dāng)=，即=時(shí)，取最大值，此時(shí)=，∴===.16．如圖，已知在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，H分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有.①平面ABH ②平面③直線EF與所成的角為30° ④三棱錐的體積最大值為【答案】②③④【分析】①根據(jù)得到，，，四點(diǎn)共面，在平面ABH上；②通過證明BD⊥面得到，通過證明⊥面得到，最后即可證明面；③取AD中點(diǎn)I，根據(jù)得到EF與所成角為∠IFE，然后用余弦定理求角即可；④根據(jù)題意得到當(dāng)G位于點(diǎn)時(shí)，三棱椎的體積最大，然后求體積即可.解：因?yàn)闉檎襟w，所以，則，，，四點(diǎn)共面，即在平面ABH上，故①錯(cuò)；連接BD，AC，，，，在正方體中，，面ABCD，平面，∴，∵，AC，?面，∴BD⊥面，又?面，∴，又∵，面，平面，∴．∵，，?面，∴⊥面，∵平面，∴，又，，，BD?面，∴面，故②正確；取AD中點(diǎn)I，連接FI，EF，EI，，在中，∵F，I分別為，DA的中點(diǎn)，∴，又，∴，∴EF與所成角為∠IFE，在中，，，，∴，∴EF與所成的角為30°，故③正確；當(dāng)G位于點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，故，故④正確.故填：②③④.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，，，若.(1)求角A的大??；(2)若為上一點(diǎn)，，，求的最小值.解：（1）依題意，，由正弦定理得，，所以，所以是鈍角，所以.（2），，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)(1)若其圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求，的值；(2)若1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）點(diǎn)在切線上，，①，，②聯(lián)立①②解得，.（2）依題意有，，，且，；又，，則時(shí)，，即，令，，求導(dǎo)得，所以單調(diào)遞增，；又，所以的取值范圍為.19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，再從條件①：的最大值為1；條件②：的一條對稱軸是直線﹔條件③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為﹐這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)解析式的兩個(gè)合理?xiàng)l件作為已知，求：(1)函數(shù)的解析式；(2)已知，若在區(qū)間上的最小值為，求m的最大值．解：（1）由題意，函數(shù)，若選①：的最大值為1，則，則，若選②：的一條對稱軸是直線,則由，不符合正弦函數(shù)對稱軸的要求，不合題意；若選③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則函數(shù)的最小正周期,可得；所以只能選擇條件①③作為已知，此時(shí)；（2）由題意，，當(dāng)，則，若在區(qū)間上的最小值為，則，所以，所以m的最大值為.20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，分別是的中點(diǎn)，平面經(jīng)過點(diǎn)與棱交于點(diǎn)．(1)試用所學(xué)知識確定在棱上的位置；(2)若，求與平面所成角的正弦值．解：（1）過作直線與平行，延長與交于點(diǎn)，連接與的交點(diǎn)即為點(diǎn)．因?yàn)榈酌媸蔷匦?，是的中點(diǎn)，所以，且．又，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，則，所以．故在棱的靠近的三等分點(diǎn)處．（2）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中點(diǎn)，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以．．設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)確定導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0的解集，即可得解；（2）轉(zhuǎn)化不等式為在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用端點(diǎn)處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)，分類討論即可得解.解：（1）由題意，，則，由在上均單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）不等式即在區(qū)間上恒成立，令，則，，所以，若，即時(shí)，此時(shí)存在使得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意；若時(shí)，，令，則，所以單調(diào)遞減，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請寫清題號.22.（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程如圖，在極坐標(biāo)系中，圓的半徑為，半徑均為的兩個(gè)半圓弧所在圓的圓心分別為，，是半圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是半圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)若，求點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)是射線與圓的交點(diǎn)，求△MOK面積的取值范圍.【分析】（1）根據(jù)圖形關(guān)系可確定，極角，由此可得點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）利用表示出和，代入三角形面積公式，結(jié)合三角恒等變換知識可化簡得到，結(jié)合正弦型函數(shù)值域可求得結(jié)果.解：（1）由知：△OO2N為正三角形，∴，，∴點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（2）由題意知：，，，，，，，.23.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知函數(shù)，，.（1）解不等式；（2）任意R，恒成立，求