提高專題7導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題專題講義-高三數(shù)學二輪復(fù)習

提高專題7導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題探究一探究一構(gòu)造差函數(shù)（極值點偏移）【方法儲備】思路一：構(gòu)造對稱差函數(shù)構(gòu)造對稱差函數(shù)是極值點偏移問題的一種通性解法,主要用來解決兩數(shù)和或者積與極值點相關(guān)的不等式證明問題.對于此類問題一般的求解思路是將兩個變量分到不等式的兩側(cè),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,通過兩個變量之間的關(guān)系“減元”,建立新函數(shù),最終將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來求解.已知函數(shù)fx滿足fx1=fx2(x1<=1\*GB2⑴求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,求出極值點,確定x1<x0=2\*GB2⑵構(gòu)造函gx=fx?f2x0?x,x<x0,注意gx0=0；

=3\*GB2⑶判斷g(x)在x<=4\*GB2⑷f(x1)與f2x0?x1的大小關(guān)系，即為f(x2)與思路二：消元構(gòu)造一元函數(shù)消元構(gòu)造一元函數(shù)是解決極值點偏移的另一種簡單快捷的方法.利用兩數(shù)之比(差)作為變量t，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問題求解，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，從而實現(xiàn)消元的目的.已知函數(shù)fx=ex?ax有兩個零點分別為x1,x2,若a∈e,+∞,求證:x1+x=2\*GB2⑵定關(guān)系：利用方程的結(jié)構(gòu)特點消去參數(shù)，建立x1,x2的聯(lián)系，即x=3\*GB2⑶換元：引入新變量t=x2x1,證明x1+x2>2即構(gòu)造函數(shù)求解：構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，ht=lnt?2t?1t+1【典例精講】例1.(2023·安徽省蚌埠市月考)已知函數(shù)f(x)=(x?2)e?x．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若a，b為兩個不相等的實數(shù)，且滿足aeb?bea解：(1)由題意知f(x)的定義域為R，f'(x)=3?xex，

∴當x∈(?∞,3)時，f'(x)>0;當x∈(3,+∞)時，f'(x)<0，

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(?∞,3)，單調(diào)遞減區(qū)間是(3,+∞)；

(2)將aeb?bea=2(eb?ea)兩邊同時除以eaeb，得aea?beb=2ea?2eb，

即a?2ea=b?2eb，∴f(a)=f(b)，

由(1)知f(x)在(?∞,3)上單調(diào)遞增，在(3,+∞)上單調(diào)遞減，

又f(2)=0，f(3)=1e3，當x∈(2,+∞)時，f(x)>0，

設(shè)a<b，則2<a<3<b，

令φ(x)=f(x)?f(6?x)(2<x<3)，

則φ'(x)=f'(x)+f'(6?x)=3?xex+3?(6?x)e6?x=(3?x)?e6?x?exe例2.(2023·浙江省衢州市月考)已知函數(shù)f(x)=xlnx?(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x1,x2是方程f(x)=0解：(1)fx=xlnx?12ax∴f'x=lnx+1?ax≤0在即a≥lnx+1x設(shè)gx=lnx+1x當0<x<1時，g'x>0，函數(shù)g(x)在0,1上單調(diào)遞增，

當x>1時，g'x<0，函數(shù)所以函數(shù)gx的最大值是g1=1(2)若x1,x即xlnx?12ax2=0有2個不同實數(shù)根x1,x2，且得lnx1=不妨設(shè)0<x1<要證明x1只需證明x1即證明x1?x令t=x1x令函數(shù)?t所以?'t所以函數(shù)?t在0,1當t=1時，?1=0，所以?t所以t?12t+1>lnt【拓展提升】練11(2023·河北省石家莊市模擬)已知函數(shù)fx=12x(1)討論函數(shù)fx(2)若a>0,x1,x2是解：(1)f'=1\*GB3①若

a=0

，則

f'x=x>0

，故

fx

在

0,+∞

上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若

a>0

，則

x∈0,a

時，

f'x<0,x∈a,+∞

時，

f'x故

fx

在

0,a

上單調(diào)遞減，在

a,+∞

=3\*GB3③若

a<0

，則

x∈0,?2a

時，

f'x<0,x∈?2a,+∞

時，

f'x故

fx

在

0,?2a

上單調(diào)遞減，在

?2a,+∞

(2)由(1)知

a>0

時，fx

在

0,a

單調(diào)遞減，在

a,+∞

單調(diào)遞增，

f'a令

f'則

g'x=1+2a2x2>0

，即則

f'x1+x注意到當

x>0

時，

x→0,fx→+∞,x→+∞,fx→+∞,則

fa=2得

fx

兩個零點分別在

0,a,令

x1<x2

，則因

fx

在

a,+∞

單調(diào)遞增，則

x2令

?x=fx?f2a?x0<x<a因

0<x<a

，

x(2a?x)=?(x?a)2則

0<x2a?x<a2?4故

?x

在

0,a

上單調(diào)遞減，則

?x故

fx1>f2a?x1練12(2023·湖北省襄陽市模擬)已知函數(shù)f(x)=3x?sin(1)當a=0時，?x∈(0,π(2)若?x1，x2∈(0,+∞)，解：(1)由f(x)≤mx，a=0，得3x?sinx≤mx，即m≥3?sinxx，其中x∈(0,π2],

令?(x)=3?sinxx，x∈(0,π2]，得?’(x)=sinx?xcosxx2，

設(shè)φ(x)=sinx?xcosx，x∈(0,π2],

則φ’(x)=xsinx>0，所以φ(x)在(0,π2]上單調(diào)遞增，

所以φ(x)>sin0?0×cos0=0，所以?’(x)>0，

所以?(x)在(0,π2]上單調(diào)遞增，所以?(x)在(0,π2]上有最大值．

?(x)max=?(π2)=3?sinπ2π2=3?2π．

所以m的取值范圍為[3?2π,+∞).

探究二探究二同構(gòu)法【方法儲備】思路一：單調(diào)性同構(gòu)題型特點：含有雙變量，把下標相同的雙變量移到一起后每個變量的結(jié)構(gòu)作用相同，多以構(gòu)造函數(shù)比較大小的形式出現(xiàn)，如：=1\*GB2⑴x1fx2?x2f=2\*GB2⑵fx1?fx2≤mx1=3\*GB2⑶fx1?fx2x1?x2思路二：結(jié)構(gòu)同構(gòu)題型特點：Fx≥0變形為fgx≥f?x，若則gxxex【典例精講】

例4.(2023·湖北省十堰市月考)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax(a>0)，若對任意的x1，x2∈(0,12)，且x1≠x解：因為f'(x)=1x+a>0，

所以函數(shù)f(x)=lnx+ax在x∈(0,12)上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)x1<x2，

則

|f(x2)?f(x1)|<|1x2?1x1|等價于f(x2)+1x2<f(x1)+1x1對任意的x1，x2∈(0,12)恒成立，

令F(x)=f(x)+1x例5.(2023·河北省保定市模擬)已知實數(shù)x1,x2滿足x1ex1=eA.e2 B.e5 C.e6解：根據(jù)題意x2lnx2?3=e6，

令t=lnx2?3，t>0，

則lnx2=t+3，x2=et+3，

得et+3t=e6，可得tet=e3，

【拓展提升】練21(2023·浙江省杭州市期末)（多選）已知x>y>0，且x1x=y1yA.x>e B.0<x<1 C.0<y<1 D.1<y<e解：兩邊取對數(shù)，得1xlnx=則f(x)=f(y)，∵f'(x)=1?lnxx2，

當x∈(0,e)時，f'(x)>0，當x∈e,+∞時，f'(x)<0，

則f(x)在0,e上單調(diào)遞增，在e,+∞得f(x)=lnxx又x>y>0，所以x>e,1<y<e．故選AD．練22(2023·江蘇省南通市月考)已知a，b為實數(shù)，對于任意的實數(shù)x，都有eax≥eb?x成立，則ba的最大值是(

)A.?1 B.1e C.1 D.解：當x≤0時，eax≥eb?x對于任意a，b都成立，

當x>0時，由eax≥eb?x得lneax≥lneb·x,得ax?b≥lnx，

設(shè)函數(shù)f(x)=ax?b?lnx，則f(x)≥0恒成立?f(x)min≥0恒成立．

由于f'(x)=a?1x，

若a≤0，則f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當x→+∞時，f(x)→?∞，不可能恒有f(x)≥0．

若a>0，則得極小值點x=1a，由f(1a)=1?b+lna≥0，得b≤1+lna，

則ba≤1+lnaa，記g(a)=1+探究三比值代換與對數(shù)均值不等式【方法儲備】探究三比值代換與對數(shù)均值不等式思路一：比值代換比值代換，可以以解決很多極值點偏移問題，還可以解決很多其他的雙變量問題.通過比值代換，我們可以將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來處理，達到消元的效果.常見的模型有：=1\*GB2⑴已知函數(shù)fx=lnx?ax，若fx1=fx2，不妨設(shè)即lnx=2\*GB2⑵已知函數(shù)fx=lnx?axa≠0，若fx1=fx利用對數(shù)均值不等式可得：x思路二：對數(shù)平均不等式對數(shù)平均不等式能有效解決含有fx1兩正數(shù)a,b的對數(shù)平均定義是L(a,b)=a?blna?lnb,a≠bab≤L(a,b)≤a+b2當a=b時，不等式成立；當a≠b時，不妨令a>b=1\*GB2⑴La,b≤a+b2?lna?lnb>2a?ba+b=2\*GB2⑵La,b≥ab?lna?lnb<ab?b【典例精講】例5.(2023·湖北省武漢市月考月考)已知函數(shù)f(x)=ae?x+ln(1)當a≤e時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性：(2)若函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1，x2(x1<解：(1)函數(shù)的定義域為(0,+∞)，

f'(x)=?ae?x+1x=ex?axxex，

當a≤0時，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當0<a≤e時，令f'(x)=0，則ex?ax=0，

設(shè)g(x)=ex?ax，則g'(x)=ex?a，

易知，當0<x<lna時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

當x>lna時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

∴g(x)≥g(lna)=elna?alna=a(1?lna)≥0，

∴f'(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

綜上，當a≤e時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

(2)依題意，f'(x1)=f'(x2)=0，則ex1?ax1=0ex2?ax2=0，

兩式相除得，ex2?x1=x2x1，設(shè)x2x1=t，

則t>1，x例6.(2023·江蘇省揚州市月考)已知函數(shù)f(x)=x?lnx(1)若函數(shù)F(x)=f(x)?ax3+3ax(2)若對函數(shù)G(x)=f(x)?mexx，其中m>0，若存在正實數(shù)x1,x解：(1)F(x)=x?lnx?ax則F'(x)=1?=1\*GB3①當a=0時，F(xiàn)'(x)=x?1x，知F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，其有唯一的極值點，滿足題意；=2\*GB3②當a<0時，由x>0知?3ax2?3ax+1>0，從而F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，其有唯一的極值點，滿足題意；=3\*GB3③當a>0時，

1°若a=16，則F'(x)=?12(x?12°若a≠16，則存在x0>0,且x故滿足函數(shù)F(x)=f(x)?ax3+3ax有唯一極值點的實數(shù)a的取值范圍為(2)證明：G(x)=f(x)?mex令t=exx對于t=exx∈[e,+∞)，則由已知存在實數(shù)x1,x2使得Gx使得?t1=?t利用對數(shù)均值不等式t1?t2lnt1?lnt2<要證t1?t令k=t1t2設(shè)H(k)=12所以H(k)=12lnk?k?1即k?1k+1>1【拓展提升】練31(2023·江蘇省常州市期末)己知函數(shù)f(x)=ex?1+ln?x?ax(a∈R)，f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f'(x)有兩個零點(1)討論f'(x)的單調(diào)性；(2)若x1x解：(1)由題意，知f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=ex?1+1x?a,(x>0)有兩個零點x1設(shè)g(x)=∴當x∈(0,1)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；

當x∈(1,+∞)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，故函數(shù)f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增；(2)因為x1，x2是∴f(x2)?f(x1)=下面先證明：lnx只需證lnx2x1設(shè)x2設(shè)?(t)=t?1t?2lnt(t>1)∴?(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，?(t)>

?(1)=0，

∴2lnt<t?1t(t>1)，從而(1)己知x1x2>∴f(練32(2023·廣東省廣州市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=lnx?ax+1有兩個零點x1，x2(1)求a的取值范圍；(2)證明：e?(x2解：(1)?f(x)=lnx?ax+1的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1x?a=1?axx，

當a≤0時，

f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)不可能有兩個零點，故舍去;

當a>0時，

令f'(x)>0，解得0<x<1a；令f'(x)<0，解得x>1a，

所以f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞增，在(1a,+∞)上單調(diào)遞減，

所以f(x)max=f(1a)=ln1a，

要使f(x)有兩個零點，則f(x)m