高中數(shù)學(xué)必修2課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)9-2-3向量的數(shù)量積

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)四向量的數(shù)量積(20分鐘35分)1.若向量a,b滿足|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°,則a·a+a·b等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1+QUOTE D.2【解析】選B.a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos60°=1+QUOTE=QUOTE.2.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=QUOTE,且a與b的夾角為QUOTE,則(a+b)·(2ab)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.=2a2b2+a·b=23+1×QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.(2020·廣州高一檢測)已知向量a,b滿足|a|=QUOTE,|b|=2QUOTE,a·b=3,則a與b的夾角是 ()A.150° B.120° C.60° D.30°【解析】選B.設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)?°≤θ≤180°,所以θ=120°.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a·b=1,則向量a與ab的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.|ab|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,設(shè)向量a與ab的夾角為θ,則cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)棣取蔥0,π],所以θ=QUOTE.4.如圖,AB是圓C的弦,設(shè)=a,=b,則向量在向量上的投影向量為________(用a或b表示).

【解析】如圖所示,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,連接CB,則向量在向量上的投影向量為.因?yàn)镃A=CB,所以D是AB的中點(diǎn),所以=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.△ABC三邊的長分別為AC=3,BC=4,AB=5,若=QUOTE,=QUOTE,則·=________.

【解析】由題知·=(+)·QUOTE=(+QUOTE)·QUOTE=·QUOTE=QUOTE+QUOTE·=QUOTE×42+0=QUOTE.答案:QUOTE6.已知非零向量a,b滿足a+3b與7a5b互相垂直,a4b與7a2b互相垂直,求a與【解析】設(shè)a與b的夾角為θ,由已知條件得QUOTE即QUOTE②①得23b2-46a·b所以2a·b=b2,代入①得a2=b2所以|a|=|b|,所以cosθ=QUOTE因?yàn)棣取蔥0,π],所以θ=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在△ABC中,若·+=0,則在上的投影向量為 ()A. B.QUOTE C. D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)?=·+=·(+)=·,所以⊥,又與的夾角為銳角,所以在上的投影向量為.2.設(shè)a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.設(shè)a與b的夾角為θ.因?yàn)閍·b=|a|·|b|cosθ=|a|·|b|,所以cosθ=1,即a與b的夾角為0°,故a∥b;而當(dāng)a∥b時(shí),a與b的夾角為0°或180°,所以a·b=|a|·|b|cosθ=±|a|·|b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要條件.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若|a|=1,|b|=2,則|a·b|的值不可能是 ()A.0 B.QUOTE C.2 D.3【解析】選D.由向量數(shù)量積的性質(zhì)知|a·b|≤|a||b|=2.3.如圖,AB是圓O的直徑,P是圓弧AB上的點(diǎn),M,N是AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn),且AB=6,則·= ()A.3 B.4 C.6 D.8【解析】選D.·=(+)·(+)==8.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知正三角形ABC的邊長為1,設(shè)=c,=a,=b,那么a·b+b·c+c·a的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閍+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以3+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=QUOTE.4.已知非零向量a與b的夾角為QUOTE,且|b|=1,|a+2b|=2,則|a|= ()A.1 B.2 C.3 D.23【解析】選B.方法一:因?yàn)閨a+2b|=2,所以|a|2+4a·b+4|b|2=4,又a與b的夾角為QUOTE,|b|=1,所以|a|22|a|+4=4,所以|a|22|a|=0,又a≠0,所以|a|=2.方法二:如圖1,設(shè)a=(m,0)(m>0),因?yàn)閍與b的夾角為QUOTE,|b|=1,所以b=QUOTE,所以a+2b=(m1,QUOTE).因?yàn)閨a+2b|=2,所以(m1)2+3=4.因?yàn)閙>0,所以m=2,|a|=2.方法三:在如圖2所示的平行四邊形中,因?yàn)閨b|=1,所以|2b|=2,又a與b的夾角為QUOTE,|a+2b|=2,所以此平行四邊形是菱形,所以|a|=2.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,則下列向量是單位向量的是 ()A. B.aQUOTEbC.a+QUOTEb D.ab【解析】選AD.因?yàn)閍,b是單位向量,且夾角為60°,所以a·b=QUOTE,|a|=|b|=1;所以=QUOTE×3=1,QUOTE=a2a·b+QUOTEb2=QUOTE,QUOTE=a2+a·b+QUOTEb2=QUOTE,(ab)2=a2-2a·b+b2所以QUOTE和ab是單位向量.6.已知e1,e2是兩個(gè)單位向量,λ∈R時(shí),|e1+λe2|的最小值為QUOTE,則下列結(jié)論正確的是 ()A.e1,e2的夾角是QUOTEB.e1,e2的夾角是QUOTE或QUOTEC.QUOTE|=1或QUOTED.|e1+e2|=1或QUOTE【解析】選BC.因?yàn)閑1,e2是兩個(gè)單位向量,且|e1+λe2|的最小值為QUOTE,所以(e1+λe2)2的最小值為QUOTE,所以(e1+λe2)2=λ2+2e1·e2λ+1=QUOTE+QUOTE,所以e1與e2的夾角為QUOTE或QUOTE,所以|e1+e2|2=1或3,所以|e1+e2|=1或QUOTE.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知向量a,b的夾角為45°,且|a|=4,QUOTE·(2a3b)=12,則|b|=________;

b在a上的投影向量的模等于________.

【解析】a·b=|a||b|cos45°=4|b|cos45°=2QUOTE|b|,又QUOTE·(2a3b)=|a|2+QUOTEa·b3|b|2=16+QUOTE|b|3|b|2=12,解得|b|=QUOTE或|b|=QUOTE(舍去).b在a上的投影向量的模為||b|cos45°|=QUOTEcos45°=1.答案:QUOTE18.(2019·全國Ⅲ卷改編)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2aQUOTEb,a與c的夾角為θ,則cosθ=________.

【解析】因?yàn)閏2=(2aQUOTEb)2=4a2+5b2-4QUOTEa·b=9,所以|c|=3,因?yàn)閍·c=a·(2aQUOTEb)=2a2QUOTEa·b=2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.(2020·株洲高一檢測)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,若AB=8,AD=5,=3,(1)若∠BAD=QUOTE,求||的值;(2)若·=2,求·的值.【解析】(1)在平行四邊形ABCD中,AB=8,AD=5,=3,當(dāng)∠BAD=QUOTE時(shí),=+=+QUOTE,所以=+QUOTE·+QUOTE=52+QUOTE×5×8×cosQUOTE+QUOTE×82=39,所以||=QUOTE;(2)=+=+QUOTE,=+=QUOTE,所以·=·=QUOTE·QUOTE=25QUOTE·QUOTE×64=2,解得·=22.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a,b的長度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夾角為120°,求|3a4b(2)若|a+b|=2QUOTE,求a與b的夾角θ.【解析】(1)a·b=|a||b|cos120°=4×2×QUOTE=4.又|3a4b|2=(3a4b=9a2-24a·b+16=9×4224×(4)+16×22=304,所以|3a4b|=4QUOTE.(2)因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b=42+2a·b+22=(2QUOTE)2,所以a·b=4,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.10.設(shè)兩個(gè)向量e1,e2滿足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夾角為60°,若向量2te1+7e2與e1+te2的夾角θ為鈍角,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解析】當(dāng)夾角為π時(shí),也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此時(shí)夾角不是鈍角.設(shè)2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,則QUOTE所以QUOTE由向量2te1+7e2與e1+te2的夾角θ為鈍角,得所以(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化簡得2t2+15t+7<0.解得7<t<QUOTE.所以所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是QUOTE∪QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知兩個(gè)向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,a,b的夾角為60°,若向量a+λb與λa+b的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【解析】由題意得a·b=|a||b|cos60°=2×3×QUOTE=3,又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,而向量a+λb與λa+b的夾角為銳角,所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,所以3λ2+13λ+3>0,解得λ>QUOTE或λ<QUOTE.但是當(dāng)λ=1時(shí),向量a+λb與λa+b共線,其夾角不是銳角,故λ的取值范圍是QUOTE∪QUOTE∪(1,+∞).1.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念,如圖1是八卦模型圖,其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH,其中|OA|=1,則給出下列結(jié)論:①·=QUOTE;②+=QUOTE;③在向量上的投影向量的模為QUOTE.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ()A.3 B.2 C.1 D.0【解析】選B.·=1×1×cos135°=QUOTE,所以①正確;+=QUOTE=QUOTE,所以②正確;顯然||≠1,在向量