1.1 等腰三角形 北師版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)課件

1.1等腰三角形第一章三角形的證明逐點(diǎn)學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升本節(jié)要點(diǎn)1學(xué)習(xí)流程2全等三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論等邊三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的判定定理反證法等邊三角形的判定定理含30°角的直角三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)全等三角形的判定與性質(zhì)11.判定定理兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等.(AAS)2.判定三角形全等的一般思路已知兩邊找?jiàn)A角→SAS找第三邊→SSS已知一邊一角邊為角的對(duì)邊→找任意一角→AAS邊為角的鄰邊找角的另一鄰邊→SAS找邊的另一鄰角→ASA找邊的對(duì)角→AAS已知兩角找?jiàn)A邊→ASA找角的對(duì)邊→AAS3.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.特別提醒1.證明兩個(gè)三角形全等需要三個(gè)條件，三個(gè)條件中至少有一組對(duì)應(yīng)邊相等.2.證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)必須寫在對(duì)應(yīng)的位置上.3.“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等”是證明線段相等、角相等的重要依據(jù).例1如圖1-1-1，C為BE

上一點(diǎn)，點(diǎn)A，D分別在BE的兩側(cè)，且BC=DE，AB∥ED，AB=CE.求證：AC=CD.解題秘方：緊扣三角形全等的判定證兩個(gè)三角形全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)證線段相等.證明:∵AB∥ED，∴∠B=∠E.在△ABC

和△CED

中，AB=CE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△CED(SAS).∴AC=CD.1-1.如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E

在AC

上，AB=AC，∠B=∠C.求證：BD=CE.證明：∵∠A＝∠A，AC＝AB，∠C＝∠B，∴△ACD≌△ABE.∴AD＝AE.∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論21.性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”).特別提醒?適用條件：必須在同一個(gè)三角形中.?作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時(shí)可省去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便.2.推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).3.對(duì)稱性等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角的平分線(或底邊上的高線、底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸．4.等腰三角形中特殊線段的性質(zhì)(1)等腰三角形兩底角的平分線相等；(2)等腰三角形兩腰上的中線相等；(3)等腰三角形兩腰上的高線相等.如圖1-1-2，在△ABC

中，AB=AC，BD，CE

分別是AC，AB

邊上的高.求證：BD=CE.例2解題秘方：利用等腰三角形的性質(zhì)定理為證明△BEC和△CDB全等創(chuàng)造條件.

2-1.[中考·衡陽(yáng)]如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E是BC邊上的點(diǎn)，且BD=CE.求證：AD＝AE．知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)定理31.等邊三角形內(nèi)角的性質(zhì)定理等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.2.等邊三角形的其他性質(zhì)(1)等邊三角形的三條邊都相等；(2)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(3)等邊三角形各邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長(zhǎng)度相等.特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以：1.任意兩邊都可以作為腰；2.任意一個(gè)角都可以作為頂角；3.任意一邊上都“三線合一”.如圖1-1-3，△ABC

是等邊三角形，D，E，F(xiàn)

分別是三邊AB，AC，BC

上的點(diǎn)，且DE⊥AC，EF⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，求△DEF

各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).例3解題秘方：緊扣等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°，求角的度數(shù).解：∵△ABC

是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，∴∠AED=∠EFC=∠FDB=90°.∴∠ADE=90°－∠A=90°－60°=30°.∴∠EDF=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°，∴△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是60°.3-1.[中考·海南]如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線n

上，直線m

交AB

于點(diǎn)E，交AC

于點(diǎn)F，若∠1=140°，則∠2的度數(shù)是()80°100°120°140°B如圖1-1-4，已知△ABC

為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC，AC

邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F.例4解題秘方：利用等邊三角形中邊相等、角相等且為60°的性質(zhì)進(jìn)行解答.證明：∵△ABC

為等邊三角形，∴∠

BAE=∠ACD=60°，AB=CA.在△ABE和△CAD

中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD，∴△

ABE≌△CAD(SAS).(1)求證：△ABE≌△CAD.等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等且都等于60°，為三角形全等創(chuàng)造了邊、角相等的條件.解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAF，∴∠BFD=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°.(2)求∠

BFD的度數(shù).4-1.如圖，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，求證：AE=CD.知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定定理41.判定定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”).2.等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理的異同相同點(diǎn)：使用的前提都是“在同一個(gè)三角形中”.不同點(diǎn)：由三角形的兩邊相等，得到它們所對(duì)的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形的兩角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.特別提醒“等角對(duì)等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法，在證明過(guò)程中，經(jīng)常通過(guò)計(jì)算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關(guān)系得到角相等，從而得到所對(duì)的邊相等.如圖1-1-5，在△ABC中，P是BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R.若AQ=AR，則△ABC

是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.例5解題秘方：利用“等角對(duì)等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等即可.解：△ABC是等腰三角形.理由如下：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.∴∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°.∴∠B=∠C.∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.5-1.如圖，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作DE∥AB，分別交BC，AC于點(diǎn)D，E.求證：DE=BD+AE.證明：∵DE∥AB，∴∠ABP＝∠DPB.∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∴∠DBP＝∠DPB.∴DP＝DB.同理可得EP＝EA，∴DE＝DP＋EP＝BD＋AE.知識(shí)點(diǎn)反證法51.概念在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.2.用反證法證明結(jié)論的一般步驟(1)反設(shè)：假設(shè)結(jié)論的反面是正確的.(2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，通過(guò)演繹推理，推導(dǎo)出與基本事實(shí)、已有定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)果.(3)定論：由矛盾說(shuō)明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出原結(jié)論正確.注意：用反證法證明時(shí)，否定的是命題的結(jié)論，而不是否定已知條件.特別解讀適合用反證法證明的命題類型：1.結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題；2.唯一性命題；3.結(jié)論以“至多”“至少”等形式敘述的命題.求證：在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角.例6解題秘方：本題是命題類證明題，需要先寫出已知、求證，然后利用所學(xué)知識(shí)寫出證明過(guò)程.本題不易直接證明，可考慮運(yùn)用反證法來(lái)證明.解：已知：∠A，∠B，∠C

是△ABC

的三個(gè)內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C

中不能有兩個(gè)角是鈍角.證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C

中有兩個(gè)角是鈍角，不妨設(shè)∠A

＞90°，∠B

＞90°，則∠A+∠B+∠C

＞180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，故∠A，∠B

均大于90°不成立.即在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角.6-1.已知△ABC中，AB=AC，求證：∠B

＜90°.下面為運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾.②因此假設(shè)不成立，∴∠B＜90°.③假設(shè)在△ABC中，∠B≥90°.④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°.這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是__________.③④①②知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定定理61.判定定理1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.2.判定定理2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖：三角形——————→等邊三角形思路1三邊相等思路2三角相等三角形—————→等腰三角形—————→等邊三角形等腰三角形的判定有一個(gè)角等于60°特別解讀在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，都可以用判定定理2判定等邊三角形.如圖1-1-6，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN

都是等邊三角形，AN，MC相交于點(diǎn)E，BM，CN

相交于點(diǎn)F.求證：例7解題秘方：緊扣等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，利用等邊三角形的判定定理2證明等邊三角形.證明：∵△ACM，△CBN

都是等邊三角形，∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°.∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，即∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB

中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，CN=CB，∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN=BM.(1)AN=BM；證明：∵△ACN≌△MCB，∴∠ENC=∠FBC.∵∠ECN=180°－∠ACM－∠NCB=60°，∴∠ECN=∠FCB.在△ECN

和△FCB

中，∠ENC=∠FBC，CN=CB，∠ECN=∠FCB，∴△ECN≌△FCB(ASA).∴CE=CF.又∵∠ECF=60°，∴△CEF

是等邊三角形.(2)△CEF

是等邊三角形.特別解讀等邊三角形的判定方法：1.若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；2.若已知三角關(guān)系，一般選用判定定理1判定；3.若已知該三角形是等腰三角形，一般選用判定定理2判定.7-1.如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC

的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)

為垂足，求證：△DEF

是等邊三角形.證明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∴∠BDE＝∠CDF＝60°.∴∠EDF＝60°.∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.又∵∠B＝∠C，∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF(ASA)．∴DE＝DF.∴△DEF是等邊三角形(有一個(gè)角等于60°的