1.1 等腰三角形 北師版數(shù)學(xué)八年級下冊導(dǎo)學(xué)課件

1.1等腰三角形第一章三角形的證明逐點學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升本節(jié)要點1學(xué)習(xí)流程2全等三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論等邊三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的判定定理反證法等邊三角形的判定定理含30°角的直角三角形的性質(zhì)知識點全等三角形的判定與性質(zhì)11.判定定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.(AAS)2.判定三角形全等的一般思路已知兩邊找夾角→SAS找第三邊→SSS已知一邊一角邊為角的對邊→找任意一角→AAS邊為角的鄰邊找角的另一鄰邊→SAS找邊的另一鄰角→ASA找邊的對角→AAS已知兩角找夾邊→ASA找角的對邊→AAS3.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.特別提醒1.證明兩個三角形全等需要三個條件，三個條件中至少有一組對應(yīng)邊相等.2.證明兩個三角形全等時，對應(yīng)頂點必須寫在對應(yīng)的位置上.3.“全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等”是證明線段相等、角相等的重要依據(jù).例1如圖1-1-1，C為BE

上一點，點A，D分別在BE的兩側(cè)，且BC=DE，AB∥ED，AB=CE.求證：AC=CD.解題秘方：緊扣三角形全等的判定證兩個三角形全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)證線段相等.證明:∵AB∥ED，∴∠B=∠E.在△ABC

和△CED

中，AB=CE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△CED(SAS).∴AC=CD.1-1.如圖，點D在AB上，點E

在AC

上，AB=AC，∠B=∠C.求證：BD=CE.證明：∵∠A＝∠A，AC＝AB，∠C＝∠B，∴△ACD≌△ABE.∴AD＝AE.∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.知識點等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論21.性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等(簡寫成“等邊對等角”).特別提醒?適用條件：必須在同一個三角形中.?作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時可省去三角形全等的證明，因而更簡便.2.推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(簡寫成“三線合一”).3.對稱性等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線(或底邊上的高線、底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸．4.等腰三角形中特殊線段的性質(zhì)(1)等腰三角形兩底角的平分線相等；(2)等腰三角形兩腰上的中線相等；(3)等腰三角形兩腰上的高線相等.如圖1-1-2，在△ABC

中，AB=AC，BD，CE

分別是AC，AB

邊上的高.求證：BD=CE.例2解題秘方：利用等腰三角形的性質(zhì)定理為證明△BEC和△CDB全等創(chuàng)造條件.

2-1.[中考·衡陽]如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E是BC邊上的點，且BD=CE.求證：AD＝AE．知識點等邊三角形的性質(zhì)定理31.等邊三角形內(nèi)角的性質(zhì)定理等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°.2.等邊三角形的其他性質(zhì)(1)等邊三角形的三條邊都相等；(2)等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(3)等邊三角形各邊上的高、中線、對應(yīng)的角平分線重合，且長度相等.特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以：1.任意兩邊都可以作為腰；2.任意一個角都可以作為頂角；3.任意一邊上都“三線合一”.如圖1-1-3，△ABC

是等邊三角形，D，E，F(xiàn)

分別是三邊AB，AC，BC

上的點，且DE⊥AC，EF⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，求△DEF

各個內(nèi)角的度數(shù).例3解題秘方：緊扣等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°，求角的度數(shù).解：∵△ABC

是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，∴∠AED=∠EFC=∠FDB=90°.∴∠ADE=90°－∠A=90°－60°=30°.∴∠EDF=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°，∴△DEF各個內(nèi)角的度數(shù)都是60°.3-1.[中考·海南]如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點B在直線n

上，直線m

交AB

于點E，交AC

于點F，若∠1=140°，則∠2的度數(shù)是()80°100°120°140°B如圖1-1-4，已知△ABC

為等邊三角形，點D，E分別在BC，AC

邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F.例4解題秘方：利用等邊三角形中邊相等、角相等且為60°的性質(zhì)進行解答.證明：∵△ABC

為等邊三角形，∴∠

BAE=∠ACD=60°，AB=CA.在△ABE和△CAD

中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD，∴△

ABE≌△CAD(SAS).(1)求證：△ABE≌△CAD.等邊三角形的三條邊相等，三個內(nèi)角相等且都等于60°，為三角形全等創(chuàng)造了邊、角相等的條件.解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAF，∴∠BFD=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°.(2)求∠

BFD的度數(shù).4-1.如圖，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，求證：AE=CD.知識點等腰三角形的判定定理41.判定定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡寫成“等角對等邊”).2.等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理的異同相同點：使用的前提都是“在同一個三角形中”.不同點：由三角形的兩邊相等，得到它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形的兩角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.特別提醒“等角對等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法，在證明過程中，經(jīng)常通過計算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關(guān)系得到角相等，從而得到所對的邊相等.如圖1-1-5，在△ABC中，P是BC邊上一點，過點P作BC的垂線，交AB于點Q，交CA的延長線于點R.若AQ=AR，則△ABC

是等腰三角形嗎？請說明理由.例5解題秘方：利用“等角對等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形的兩個內(nèi)角相等即可.解：△ABC是等腰三角形.理由如下：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.∴∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°.∴∠B=∠C.∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.5-1.如圖，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分線交于點P，過點P作DE∥AB，分別交BC，AC于點D，E.求證：DE=BD+AE.證明：∵DE∥AB，∴∠ABP＝∠DPB.∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∴∠DBP＝∠DPB.∴DP＝DB.同理可得EP＝EA，∴DE＝DP＋EP＝BD＋AE.知識點反證法51.概念在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.2.用反證法證明結(jié)論的一般步驟(1)反設(shè)：假設(shè)結(jié)論的反面是正確的.(2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，通過演繹推理，推導(dǎo)出與基本事實、已有定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)果.(3)定論：由矛盾說明假設(shè)不成立，進而得出原結(jié)論正確.注意：用反證法證明時，否定的是命題的結(jié)論，而不是否定已知條件.特別解讀適合用反證法證明的命題類型：1.結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題；2.唯一性命題；3.結(jié)論以“至多”“至少”等形式敘述的命題.求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角.例6解題秘方：本題是命題類證明題，需要先寫出已知、求證，然后利用所學(xué)知識寫出證明過程.本題不易直接證明，可考慮運用反證法來證明.解：已知：∠A，∠B，∠C

是△ABC

的三個內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C

中不能有兩個角是鈍角.證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C

中有兩個角是鈍角，不妨設(shè)∠A

＞90°，∠B

＞90°，則∠A+∠B+∠C

＞180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，故∠A，∠B

均大于90°不成立.即在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角.6-1.已知△ABC中，AB=AC，求證：∠B

＜90°.下面為運用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾.②因此假設(shè)不成立，∴∠B＜90°.③假設(shè)在△ABC中，∠B≥90°.④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°.這四個步驟正確的順序應(yīng)是__________.③④①②知識點等邊三角形的判定定理61.判定定理1三個角都相等的三角形是等邊三角形.2.判定定理2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖：三角形——————→等邊三角形思路1三邊相等思路2三角相等三角形—————→等腰三角形—————→等邊三角形等腰三角形的判定有一個角等于60°特別解讀在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，都可以用判定定理2判定等邊三角形.如圖1-1-6，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN

都是等邊三角形，AN，MC相交于點E，BM，CN

相交于點F.求證：例7解題秘方：緊扣等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，利用等邊三角形的判定定理2證明等邊三角形.證明：∵△ACM，△CBN

都是等邊三角形，∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°.∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，即∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB

中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，CN=CB，∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN=BM.(1)AN=BM；證明：∵△ACN≌△MCB，∴∠ENC=∠FBC.∵∠ECN=180°－∠ACM－∠NCB=60°，∴∠ECN=∠FCB.在△ECN

和△FCB

中，∠ENC=∠FBC，CN=CB，∠ECN=∠FCB，∴△ECN≌△FCB(ASA).∴CE=CF.又∵∠ECF=60°，∴△CEF

是等邊三角形.(2)△CEF

是等邊三角形.特別解讀等邊三角形的判定方法：1.若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；2.若已知三角關(guān)系，一般選用判定定理1判定；3.若已知該三角形是等腰三角形，一般選用判定定理2判定.7-1.如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC

的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F(xiàn)

為垂足，求證：△DEF

是等邊三角形.證明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∴∠BDE＝∠CDF＝60°.∴∠EDF＝60°.∵D是BC的中點，∴BD＝CD.又∵∠B＝∠C，∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF(ASA)．∴DE＝DF.∴△DEF是等邊三角形(有一個角等于60°的