利用定比分點(diǎn)公式妙解線段比例問題

利用定比分點(diǎn)公式妙解線段比例問題湖南彭向陽(yáng)利用向量解平面幾何中的線段比例問題，一般是選擇基向量，將某一向量通過向量共線定理用基向量?jī)纱伪硎?，然后根?jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等的原則，求出所設(shè)的比值.但這種方法學(xué)生難以理解，而且在運(yùn)算中不容易轉(zhuǎn)化.如果建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示來處理，不僅學(xué)生容易理解，而且利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式來計(jì)算，顯得快捷簡(jiǎn)便.ABCNABCNPMyx解：以M為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則M(0,0)，設(shè)B(-1,0)，C(1,0)，A(x1，y1).由，得N點(diǎn)坐標(biāo)為，即N()；設(shè)，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，即P()；設(shè)，得P點(diǎn)坐標(biāo)為.P點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)應(yīng)該相等，得，根據(jù)x1，y1的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得，解得.故AP：PM=4：1.yAEPBDCxyAEPBDCx解：如圖，以D為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則D(0,0).設(shè)A(x1，y1)，C(3，0)，B(-1,0).由得E點(diǎn)的坐標(biāo)為，即E點(diǎn)坐標(biāo)為；設(shè)，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，即P點(diǎn)坐標(biāo)為；設(shè)，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，即P點(diǎn)坐標(biāo)為；由兩個(gè)P點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該相等得，根據(jù)x1，y1對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得，解得.即，所以.例3點(diǎn)D、E、F分別是ΔABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn).求證：AE、BF、CD相交于同一點(diǎn)G，且.這是高中數(shù)學(xué)教材第一冊(cè)（下）復(fù)習(xí)參考題五B組的第8題，原題有提示，按教師參考用書上提供的證明方法，學(xué)生難以接受.但如果采用向量的坐標(biāo)證明法則簡(jiǎn)單易懂.ADFGBECｙOｘ證明：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（ｘ1，ｙ1ADFGBECｙOｘD，E，F(xiàn).假設(shè)AE、BF相交于G點(diǎn)，設(shè)，于是有；又設(shè)，于是有，所以.考慮到ｘｉ，ｙｉ（ｉ＝1,2，3）的任意性，所以有對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，即，解得，于是G，