第6章機械系統(tǒng)動力學基礎

第6章機械系統(tǒng)動力學基礎IntroductiontoDynamicsofMechanicalSystems于靖軍北京航空航天大學

在分析現(xiàn)有機械和設計的新機械的工作性能時，為了對機械進行較精確的運動分析和力分析，需要首先了解原動件的真實運動規(guī)律，這對于分析、改良現(xiàn)有機械和設計新機械都十分重要，特別是高速、重載、高精度和高自動化程度的機械。2)機械運轉周期性速度波動的調節(jié)

機械在運轉過程中，其原動件一般情況下并非做等速運動。外力的周期性變化產(chǎn)生運轉速度的波動，導致在運動副中產(chǎn)生附加動壓力。如果速度波動較大，將影響機械的正常工作，降低其壽命、機械效率和工作質量，并引起機械振動和噪聲。這就需要研究機械運轉速度的波動及其調節(jié)方法，設法將機械運轉速度的波動程度限制在許可范圍之內(nèi)。機械在已知外力作用下的真實運動求解

研究機械系統(tǒng)動力學問題的目的和內(nèi)容牛頭刨床機構主要內(nèi)容機械的運轉6.1基于拉格朗日方程的機械動力學模型6.26.3機械運轉周期性速度波動的調節(jié)6.4單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型6.1機械的運轉6.1.1機械運轉的三個階段

機械動能的增加或減小，表現(xiàn)為機械運轉速度的變化，則可以將機械系統(tǒng)從開始運動到停止運轉的全過程概括為三個階段：起動階段穩(wěn)定運轉階段停車階段依據(jù)能量守恒定理，列出機械運動的動能方程輸入功阻抗功損耗功總耗功終止動能初始動能1.起動階段原動件的速度從零逐漸增大至某正常工作速度，此后機械開始穩(wěn)定運轉。6.1機械的運轉2．穩(wěn)定運轉階段

機械原動件的速度在某平均值上下作周期性變化，對于穩(wěn)定運轉中的一個周期T，驅動功也等于總耗功。

在運動循環(huán)中的任一時間間隔內(nèi)都有盈功或虧功出現(xiàn)，導致原動件速度變化。6.1機械的運轉3．停機階段原動件的速度從某正常工作速度下降至零。6.1機械的運轉階段名稱外力特征運動特征功、能轉換特征啟動驅動力＞0工作阻力=0角速度ω由零逐漸上升至穩(wěn)定運轉時的平均角速度ωm。驅動功Wd大于總阻抗功Wr，并轉換為機構的動能E。即Wd

Wr=E>0穩(wěn)定運轉驅動力＞0工作阻力>0角速度ω一般情況下在某一平均值ωm上、下作周期性波動。在特殊條件下ω=常值。驅動功Wd克服總阻抗功Wr。但在任一時間間隔內(nèi)Wd≠Wr，Wd

Wr=

E>0，然而在每個運動周期T內(nèi)Wd=Wr，

E=0停車驅動力=0工作阻力=0角速度ω由ωm逐漸減小至零。Wd=0，機械的剩余動能逐漸消耗于損耗功，即E=Wr機械運轉的三個階段及其特征6.1機械的運轉1.驅動力原動機發(fā)出的驅使原動件運動的力，其變化規(guī)律取決于原動機的機械特性。驅動力可分為以下幾種情況：

常值。如利用重錘驅動時；

位置的函數(shù)。如利用彈簧驅動時；

速度的函數(shù)。如機械中應用廣泛的電動機、內(nèi)燃機等。6.1.2作用于機械的外力6.1機械的運轉2.工作阻力機械工作時執(zhí)行構件需要承受的工作負荷，其變化規(guī)律取決于機械工藝過程的特點。工作阻力可分為以下幾種情況：近似為常值。如起重機、軋鋼機、車床、刨床等；執(zhí)行構件位置的函數(shù)。如曲柄壓力機、活塞式壓縮機和泵；執(zhí)行構件速度的函數(shù)。如攪拌機、鼓風機、螺旋槳、離心泵等；時間的函數(shù)。如碎石機、球磨機、揉面機等。6.1機械的運轉機械的運轉6.1基于拉格朗日方程的機械動力學模型6.26.3機械運轉周期性速度波動的調節(jié)6.4單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型6.2.1一般質點系的拉格朗日方程動能自由度廣義坐標廣義力廣義速度6.2基于拉格朗日方程的機械動力學模型以能量觀點來研究機械系統(tǒng)的真實運動規(guī)律；求解步驟規(guī)范、統(tǒng)一（確定廣義坐標，列出動能、勢能和廣義力的表達式，代入上式即可）。6.2.2單自由度機械系統(tǒng)的動力學分析6.2基于拉格朗日方程的機械動力學模型（不計各運動構件的重量和彈性）單自由度機械系統(tǒng)的動力學方程系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的等效轉動慣量廣義力6.2.3兩自由度機械系統(tǒng)的動力學分析6.2基于拉格朗日方程的機械動力學模型若不計運動構件的重量與彈性，則勢能U不必計算。1.系統(tǒng)動能的確定

6.2基于拉格朗日方程的機械動力學模型系統(tǒng)動能的求解步驟：

位移分析速度分析6.2基于拉格朗日方程的機械動力學模型式中，系統(tǒng)動能等效轉動慣量6.2基于拉格朗日方程的機械動力學模型2.廣義力的確定6.2基于拉格朗日方程的機械動力學模型也可通過虛位移原理確定廣義力3.動力學方程

求解二階非線性方程組，獲得廣義坐標

1與

2，進而獲得二自由度機械系統(tǒng)的真實運動規(guī)律。6.2基于拉格朗日方程的機械動力學模型慣性力驅動力哥氏力和離心力例：

平面2R機械手的動力學建模機械手的動力學方程選取2個轉角為廣義坐標。位移方程：各構件的轉動慣量廣義力可由虛功原理直接得到6.2基于拉格朗日方程的機械動力學模型機械的運轉6.1基于拉格朗日方程的機械動力學模型6.26.3機械運轉周期性速度波動的調節(jié)6.4單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型6.3.1轉化法的基本原理按質點系的動能定理寫出機械系統(tǒng)的運動方程。dW——作用于機械上的驅動力和工作阻力所作元功之代數(shù)和；dE——機械中各運動構件動能和的微分。式中：6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型方程中未知的運動參數(shù)為：

1、

2、vS2、v3。對于圖示的由曲柄滑塊機構組成的活塞式壓氣機，寫出其運動方程：M1——作用在原動件1上的驅動力矩；P1——作用在滑塊3（活塞）上的工作阻力；m2，m3——構件2和3的質量；J1——構件1繞轉軸A的轉動慣量；Js2——構件2繞轉軸S2的轉動慣量。式中：6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型得：等效構件(或轉化件)等效轉動慣量等效力矩6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型得：等效力等效質量轉化件6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型

將整個機械系統(tǒng)的動力學問題轉化成單個剛體的動力學問題。這種方法稱為轉化法。轉化法使解決一個復雜的動力學問題的思路大大簡化，物理模型簡單、清晰，為復雜機械動力學問題的求解創(chuàng)造了有利條件。

等效力矩（或者等效力）只是一個假想的力矩（或者力），它并不是作用于單自由度系統(tǒng)所有外力的合力矩（或者合力）；同樣，等效轉動慣量（或者等效質量）也只是一個假想的轉動慣量（或者質量），它并不是系統(tǒng)中各構件轉動慣量的（或者質量）總和。6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型轉化法遵循的兩個基本原則：1）動能相等

轉化構件的瞬時動能，與原機械系統(tǒng)的總動能相等。2）功率相等

轉化構件瞬時功率，與原機械系統(tǒng)瞬時功率之和相等。確定機械系統(tǒng)等效動力學模型的關鍵是確定各個等效量（等效轉動慣量、等效質量、等效力矩、等效力等）。6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型6.3.2等效量的一般表達1.根據(jù)等動能條件，計算等效轉動慣量或等效質量轉化構件所具有的動能等于原機械系統(tǒng)中各構件所具有的動能之和，即等效轉動慣量：6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型等效質量：2.根據(jù)等功率條件，計算等效力矩或等效力

轉化構件上作用的等效力矩產(chǎn)生的瞬時功率等于原系統(tǒng)中所有外力、外力矩所產(chǎn)生的功率之和，即等效力矩：6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型等效力:例如圖所示齒輪驅動的連桿機構，已知齒輪1的齒數(shù)為z1，繞其質心的轉動慣量為J1；齒輪2的齒數(shù)為z2，其連同AB對其質心A的轉動慣量是J1；滑塊3的質心在B點，質量為m3；構件4的質量為m4；作用在主動輪1上的驅動力矩為M1，作用在構件4上的工作阻力為F4。若取構件2為轉化構件，求轉化到2的等效轉動慣量JV、M1轉化到2的等效驅動力矩MD和F4轉化到2的等效阻力矩MR。6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型（1）根據(jù)等動能條件，計算等效轉動慣量JV

6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型（2）根據(jù)等功率條件，計算等效驅動力矩Med2、等效阻力矩Mer2取構件2為轉化構件，將作用于1的驅動力矩M1、作用于4的工作阻力F4分別轉化到轉化構件2上，有6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型1．力（矩）形式的微分方程轉化構件作定軸轉動轉化構件作往復移動6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型6.3.3轉化構件運動方程的兩種形式當轉化構件作定軸轉動時：6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型當轉化構件作往復移動時：6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型在機械系統(tǒng)起動瞬時（

=0，v=0），或當JV

=常值(mV

=常值)時6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型

例

在下圖所示由齒輪1、2和曲柄滑塊機構ABC組成的機械中，若已知件1和件2對回轉軸的轉動慣量分別為J1=0.001kgm2，J2=0.002kgm2；滑塊4的質量m4=0.3kg，件3的質量不計；lAB=100mm；兩輪齒數(shù)z1=20，z2=40；其余尺寸見圖。又知作用在齒輪1上的驅動力矩M1=3N

m，滑塊4上加有工作阻力

N。

試求機械在圖示位置啟動時曲柄AB的瞬時角加速度

2。6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型（2）計算等效轉動慣量JV根據(jù)等動能條件，計算等效轉動慣量JV

6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型（1）選擇轉化件：本題要求構件2的角加速度

2，因此選擇構件2為轉化件較好。（瞬心法可以得到）（3）根據(jù)等功率條件，計算等效驅動力矩MD、等效阻力矩MR6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型（4）計算曲柄AB的瞬時角加速度

22.動能形式的積分方程6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型盈虧功

W的幾何意義：兩位置

i到

k之間曲線MDd

和MRd

分別同橫坐標所圍面積之差。在

0至

a段，盈虧功

W>0，動能增加，角速度ω也增加；在

a至

b段，盈虧功

W<0，動能減小，角速度ω也減小。6.3.4等效力矩和等效轉動慣量為位置函數(shù)時機械運動的求解

屬于這一類的原動機如活塞式發(fā)動機、用于儀器操縱中的彈簧、飛機上用于操縱起落架和舵面的液壓缸等。許多工程問題中，MV=MV(

)和JV=JV(

)均以線圖形式給出，故采用圖解計算法較為直觀、形象、簡便。6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型例

已知：等效驅動力矩MD和等效阻力矩MR變化規(guī)律如下圖所示。等效轉動慣量JV＝0.05kg

m2為常值，

0＝0。

求：轉化件轉角為

a

、

b、

c三位置時的動能E和角速度

，并畫出它們的變化曲線示意圖。6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型6.3單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型機械系統(tǒng)動力學問題概述6.1基于拉格朗日方程的機械動力學模型6.26.3機械運轉周期性速度波動的調節(jié)6.4單自由度機械系統(tǒng)的等效動力學模型6.4.1周期性速度波動產(chǎn)生的原因6.4

機械運轉周期性速度波動的調節(jié)右圖為某機械在穩(wěn)定運轉過程中，轉化件在任意一個周期

T內(nèi)所受等效驅動力矩MD(

)與等效阻力矩MR(

)的變化曲線。ΔW為盈虧功。在bc、de區(qū)段間，ΔWbc、ΔWde為正，稱為盈功；在ab、cd、ea'區(qū)段內(nèi)，ΔWab、ΔWcd、ΔWea'為負，稱為虧功。（1）轉化件自周期開始位置

a至任一瞬時位置時，盈虧功ΔW≠0，所以存在動能增量ΔE，由此引起角速度增量Δ

，從而說明角速度存在波動。（2）由于在一個周期內(nèi)，f1+f2+f3+f4+f5=0，盈虧功ΔW=0，其動能增量ΔE=0，角速度的波動呈現(xiàn)周期性。機械存在周期性速度波動的原因：6.4.2周期性速度波動的衡量指標

原動件（主軸）的速度在某平均值

m上下作周期性的反復變化，稱為周期性速度波動。平均角速度為：

當

變化不大時，常用最大角速度和最小角速度的算術平均值近似代替實際平均角速度，即6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)機械運轉的速度波動程度用速度波動的絕對量與平均速度的比值反映：速度波動系數(shù)

當

m

一定時，速度波動系數(shù)d越小，

max—

min

越小，機械越接近勻速運轉。速度波動系數(shù)d

的大小反映了機械變速穩(wěn)定運轉過程中速度波動的大小。為了使機械的速度波動系數(shù)不超過允許值，應滿足條件：6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)6.4.3周期性速度波動調節(jié)的基本原理當?shù)刃Я卦谝粋€周期內(nèi)的變化規(guī)律確定后，ΔWmax為確定值周期性速度波動調節(jié)的基本原理：增大轉動慣量。最常用的辦法：安裝一個轉動慣量足夠大的盤形回轉零件——飛輪。6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)

當?shù)刃Я刈饔r，它以動能的形式將增加的能量儲存起來，從而使轉化件的角速度上升的幅度減?。环粗?，當?shù)刃Я刈魈澒r，飛輪又釋放出所儲存的能量，以彌補其能量的幅度減小。從某種意義上講，飛輪在此中的作用相當于一個容量較大的儲能器。6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)安裝飛輪后，機械總的等效轉動慣量為:飛輪轉動慣量原系統(tǒng)轉動慣量假設原系統(tǒng)轉動慣量J0為常值，則機械的動能增量為：

盈功使機械的動能增加，轉化構件的速度變大；虧功使機械的動能減小，轉化構件的速度下降。對于某盈功區(qū)或虧功區(qū)，動能的變化數(shù)值相同，則飛輪的轉動慣量JF

越大，速度波動越小。6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)6.4.4飛輪轉動慣量的近似確定確定飛輪轉動慣量的計算公式一個運動循環(huán)內(nèi)的最大盈虧功:6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)要保證機械的速度波動系數(shù)若忽略不計J0

:簡便公式若將平均角速度用平均轉數(shù)替代:

以上計算的飛輪轉動慣量，均為飛輪的等效轉動慣量，即假定飛輪安裝于轉化構件軸上。若將飛輪安裝于其他構件，則將飛輪的轉動慣量再等效到相應構件上即可。

通過加裝飛輪來調節(jié)機械周期性速度波動，并不能使機械的速度波動完全消失，而只能將其限制在某一允許的范圍內(nèi)。6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)例:某機械在穩(wěn)定運轉時的一個運動循環(huán)中，等效阻力矩MR的變化規(guī)律如圖6-14所示，設等效驅動力矩MD為常數(shù)，等效轉動慣量JV=3kg·m2，主軸平均角速度

m=30rad/s，要求運轉速度不均勻系數(shù)

=0.05。試求安裝在等效構件上的飛輪轉動慣量JF。

（1）計算等效驅動力矩MD（2）

max與

min的位置（3）最大盈虧功ΔWmax（4）安裝在等效構件上的飛輪轉動慣量JF6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)例:已知一機械的等效力矩MV對轉角

的變化曲線如圖所示。各塊面積為f1=340mm2，f2=810mm2，f3=600mm2，f4=910mm2，f5=555mm2，f6=470mm2，f7=695mm2，比例尺：M=7000N

m/mm，

=1

/mm，平均轉速nm=800r/min，運轉不均勻系數(shù)[]=0.02。若忽略其它構件的轉動慣量求飛輪的轉動慣量JF并指出最大、最小角速度出現(xiàn)的位置。

6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)（1）根據(jù)各塊面積，求出等效驅動力矩與等效阻力矩各交點處的盈虧功或動能增量（2）系統(tǒng)的最大盈虧功（3）飛輪的轉動慣量JF（4）最大、最小角速度出現(xiàn)的位置最大角速度出現(xiàn)在

d位置，最小角速度出現(xiàn)在

a位置。6.4機械運轉周期性速度波動的調節(jié)例:已知一單缸發(fā)動機在穩(wěn)定運轉階段的等效力矩MV對轉角

的變化曲線如下圖所示。等效轉動慣量J0=500kg·m2，平均轉速

m=4rad/s，最大盈虧功為1905N

m。（1）試求運轉不均勻系數(shù)，并繪制速度隨時間的變化曲線。（2）如果在轉化件的主軸上增加一個飛輪，其轉動慣量JF=560kg·m2，試求運此種情況下的運轉不均勻系數(shù)，并繪制速度隨時間的變化