數(shù)學(xué)-易錯(cuò)點(diǎn)07 圖形的變化（解析版）

易錯(cuò)點(diǎn)07圖形的變化尺規(guī)作圖視圖與投影圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析01軸對稱、軸對稱圖形概念和性質(zhì)把握不準(zhǔn)。在敘述軸對稱圖形的對稱軸時(shí)，錯(cuò)把對稱軸當(dāng)成射線或線段，導(dǎo)致敘述錯(cuò)誤。（2018春·江蘇淮安·九年級(jí)階段練習(xí)）下列剪紙作品都是軸對稱圖形．其中對稱軸條數(shù)最多的作品是（）A． B． C．D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤，根據(jù)對稱軸的概念求解．【規(guī)范解答】解：A．有3條對稱軸；B．有4條對稱軸；C．有2條對稱軸；D．有6條對稱軸．故選D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對稱圖形．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法中正確的是(

)

A．平分弦的直徑垂直于弦 B．三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等C．同圓中等弦所對的圓周角相等 D．圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓的直徑【答案】B【思路點(diǎn)撥】利用垂徑定理、三角形外心的性質(zhì)、圓周角定理及對稱軸的概念分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【規(guī)范解答】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，正確，符合題意；C、在同圓或等圓中，等弦所對的圓周角相等或互補(bǔ)，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓的直徑所在的直線，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了垂徑定理、三角形外心的性質(zhì)、圓周角定理及對稱軸的概念，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練02】（2022秋·江蘇·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考專題練習(xí)）如圖，以AB為直徑的半圓沿弦BC折疊后，AB與弧CB相交于點(diǎn)D，若弧CD=弧BD，則∠B=________.【答案】##15度【思路點(diǎn)撥】如圖，連接OC，首先證明，得出，根據(jù)圓周角定理即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，連接OC，∵，，，

∴，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了圓周角定理，翻折變換等知識(shí)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)?？计谥校┰谥?，，點(diǎn)、分別是邊、上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在邊上且滿足．(1)請你利用無刻度的直尺和圓規(guī)畫出對稱軸；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，，則線段______．【答案】(1)見解析(2)【思路點(diǎn)撥】（1）作的角平分線，作線段的垂直平分線交于，交于，直線即為所求；（2）根據(jù)勾股定理，求得的長度，設(shè)，利用平行線分線段成比例定理，求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，直線即為所求作．（2），，，由作圖可知，四邊形是菱形，

設(shè)，，，，，，，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了作圖——軸對稱變換，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析02中心對稱、中心對稱圖形概念和性質(zhì)把握不準(zhǔn)。把一個(gè)圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對稱.把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與原來位置的圖形重合，這個(gè)圖形叫作中心對稱圖形.兩者不可混淆。（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正五邊形和正三角形都內(nèi)接于，則5．（2020·江蘇揚(yáng)州·?？既＃┯形鍙埍趁嫱耆嗤目ㄆ?，其正面分別畫有等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形、圓，將這五張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是_____．【答案】【思路點(diǎn)撥】答案以有誤，直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合概率求法直接得出答案．【規(guī)范解答】

∵等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形、圓中，平行四邊形、矩形、正方形、圓都是中心對稱圖形，∴從中隨機(jī)抽取一張，卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查簡單的概率計(jì)算，先判斷哪些是中心對稱圖形再用概率公式計(jì)算時(shí)本題的解題思．路【變式訓(xùn)練01】（2022·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學(xué)校考一模）有四張反面完全相同的紙牌A，B，C，D，其正面分別畫有四個(gè)不同的幾何圖形，將四張紙牌洗勻正面朝下隨機(jī)放在桌面上．(1)從四張紙牌中隨機(jī)摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是______．(2)小明和小亮約定做一個(gè)游戲，其規(guī)則為：先由小明隨機(jī)摸出一張，不放回．再由小亮從剩下的紙牌中隨機(jī)摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則小亮獲勝，否則小明獲勝．這個(gè)游戲公平嗎？請用列表法或畫樹狀圖說明理由．【答案】(1)(2)游戲不公平，理由見解析【思路點(diǎn)撥】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算即可．（2）首先列表列出可能的情況，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結(jié)果有2種，由概率公式得出小亮獲勝的概率和小明獲勝的概率，得出游戲不公平．【規(guī)范解答】（1）解：共有4張牌，正面是中心對稱圖形的情況有3種，從四張紙牌中隨機(jī)摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是；故答案為：；（2）游戲不公平，理由如下：

列表得：ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結(jié)果有2種，∴P（兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形）＝，∴小亮獲勝的概率為，小明獲勝的概率為，∴游戲不公平．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．正確利用樹狀圖分析兩次摸牌所有可能結(jié)果是關(guān)鍵，區(qū)分中心對稱圖形是要點(diǎn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式訓(xùn)練02】（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┬∶髟趯W(xué)習(xí)完九年級(jí)下冊的“統(tǒng)計(jì)和概率的簡單應(yīng)用”后，有意識(shí)的關(guān)注生活中的概率問題，他發(fā)現(xiàn)家里浴室中有一塊如圖所示的3×3的正方形地板磚，陰影部分是涂黑5個(gè)小正方形所形成的圖案，他通過思考后提出這樣的兩個(gè)問題，請你幫他解決：(1)如果將一粒米隨機(jī)地拋在這個(gè)正方形地板磚上，那么米粒落在陰影部分的概率是______；(2)現(xiàn)將方格內(nèi)空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2個(gè)涂黑，得到新圖案，請用列表或畫樹狀圖的方法求出新圖案是中心對稱圖形的概率．【答案】(1)

(2)【思路點(diǎn)撥】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中新圖案是中心對稱圖形的結(jié)果有4個(gè)，再由概率公式求解即可．(1)解：∵9塊地板磚上，陰影部分占5塊，∴米粒落在陰影部分的概率是，故答案為：；(2)解：畫樹狀圖如圖：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中新圖案是中心對稱圖形的結(jié)果有4個(gè)，∴新圖案是中心對稱圖形的概率為．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了列表法與樹狀圖法求概率、中心對稱圖形的定義等知識(shí)，正確畫出樹狀圖得出所有的可能是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2022春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．

(1)畫△A1B1C，使它與△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱；(2)平移△ABC，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A2坐標(biāo)為（﹣2，﹣6），畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2；(3)若將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)（0，﹣2）【思路點(diǎn)撥】(1)直接利用關(guān)于點(diǎn)C中心對稱的性質(zhì)得出△ABC的對應(yīng)點(diǎn)進(jìn)而畫出即可；(2)利用平移的性質(zhì)得出平移規(guī)律進(jìn)而得出答案；(3)利用旋轉(zhuǎn)對稱圖形得出對應(yīng)點(diǎn)的連線的交點(diǎn)進(jìn)而得出答案．（1）解：如圖所示：△A1B1C即為所求；（2）解：如圖所示：△A2B2C2即為所求；（3）解：將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，連接A1A2，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為：（0，﹣2）．故答案為：（0，﹣2）．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了圖形中心對稱變換、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)題意畫出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．

易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析03圖形的軸對稱或旋轉(zhuǎn)問題，要充分運(yùn)用其性質(zhì)解題，即運(yùn)用圖形的“不變性”，在軸對稱和旋轉(zhuǎn)中角的大小不變，線段的長短不變。在旋轉(zhuǎn)的過程中，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫作旋轉(zhuǎn)角.對應(yīng)角是指旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對應(yīng)角。（2019·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊上時(shí)，連接，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：由題意知，，∴，故選D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對等角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將邊長為的正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)，則兩個(gè)正方形公共部分（陰影部分）的面積為_____．

【答案】【思路點(diǎn)撥】如圖所示（見詳解），設(shè)正方形的中心點(diǎn)為，利用正方形的性質(zhì)得，，則，所以，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，于是可判斷和為全等的等腰直角三角形，所以，同理可得，，設(shè)，則，，，利用正方形的邊長為得，解得的值，然后利用正方形的面積減去個(gè)三角形的面積即可得到兩個(gè)正方形公共部分（陰影部分）的面積．【規(guī)范解答】解：如圖所示，設(shè)正方形的中心點(diǎn)為，∵點(diǎn)和點(diǎn)到正方形的中心的距離相等，即，∴，而，∴，∴，∵正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)，∴，∴和為全等的等腰直角三角形，∴，同理可得，，設(shè)，則，，，

∵，∴，解得，∴，∴兩個(gè)正方形公共部分（陰影部分）的面積＝．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練02】（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，E是的中點(diǎn)，D是直線上一動(dòng)點(diǎn)，線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，則的最小值為______．【答案】【思路點(diǎn)撥】連接，延長到N，使，連接，過點(diǎn)A作于G，過點(diǎn)A作于H，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由可證，可得，可得點(diǎn)F在過點(diǎn)N且平行于的直線上，當(dāng)時(shí)，AF的值最小，由直角三角形的性質(zhì)可求線段的最小值．【規(guī)范解答】解：如圖，連接，延長到N，使，連接，過點(diǎn)A作于G，過點(diǎn)A作于H，

∵是等邊三角形，E是的中點(diǎn)，且，∴，，，∴，∵線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)F在過點(diǎn)N且平行于的直線上，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，∴，∴線段的最小值為，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知

的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，在所給圖形中畫出；(2)請寫出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)：，，；(3)求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的弧長為．【答案】(1)圖見解析(2)；；(3)【思路點(diǎn)撥】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，即可；（2）根據(jù)圖直接得出各點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（3）以點(diǎn)為圓心，圓心角為，為半徑畫弧得到點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)的過程中所經(jīng)過的路線，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算它的長度．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，為所作；

（2）由圖知：，，．故答案為：；；．（3）由題意知，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的所在的圓的半徑為，所對的圓心角為，∴的長為：．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換，弧長的計(jì)算．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．理解和掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析04坐標(biāo)與圖形變化—軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谥校佄锞€以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180度得到的拋物線解析式為___________．

【答案】【思路點(diǎn)撥】答案有誤，求出繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出即可．【規(guī)范解答】解：∵拋物線的頂點(diǎn)為，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后變?yōu)?，且開口相反，∴得到的拋物線解析式為，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2020秋·江蘇南通·九年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

___________________．【答案】（2，5）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)即可求解．【規(guī)范解答】解：點(diǎn)P（﹣2，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，5）故答案為：（2，5）【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握“關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練02】（2020秋·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在10×10的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，△ABC是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上）．（1）先作△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的成中心對稱的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4個(gè)單位得到△A2B2C2；（2）A2點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）請直接寫出CC1+C1C2＝．

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）【思路點(diǎn)撥】（1）利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可寫出、、，描點(diǎn)連線得到，然后利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)特征可寫出、、，然后描點(diǎn)連線即可得到；（2）由（1）可得答案；（3）根據(jù)勾股定理求得，由平移規(guī)律求得，再相加即可得解．【規(guī)范解答】解：（1）∵觀察圖形可知，，∴與關(guān)于原點(diǎn)對稱的的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴由向上平移個(gè)單位得到的的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴可在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，再順次分別首尾連接，即可得到、，如圖：；（2）由（1）可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）連接、，的中點(diǎn)這個(gè)格點(diǎn)標(biāo)為點(diǎn)，如圖：∵觀察圖形可得，為直角邊分別為、的直角三角形的斜邊∴∵向上平移個(gè)單位得到∴∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平移作圖、中心對稱作圖、勾股定理、求坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，有反比例函數(shù)y=的函數(shù)圖像：(1)如圖1，點(diǎn)A是該函數(shù)圖像第一象限上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為a（a＞0），延長AO使得AO=A'O，判斷點(diǎn)A'是否為該函數(shù)圖像第三象限上的點(diǎn)，并說明理由；

(2)如圖2，點(diǎn)B、C均為該函數(shù)圖像第一象限中的點(diǎn)，連接BC，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，請僅用一把無刻度的直尺作出點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)D'．（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）【答案】(1)點(diǎn)A'是該函數(shù)圖像第三象限上的點(diǎn)，理由見解析(2)見解析【思路點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)N，先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再證明，得出，即可得出結(jié)論；（2）連接BO、CO并延長，交反比例函數(shù)第三象限的圖像于點(diǎn)、點(diǎn)，連接，連接DO并延長，交于點(diǎn)，即可得到點(diǎn)點(diǎn)．【規(guī)范解答】（1）點(diǎn)A'是該函數(shù)圖像第三象限上的點(diǎn)，理由如下：過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)N，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=的圖像第一象限上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為a（a＞0），，即，，，，，，

，點(diǎn)A'是該函數(shù)圖像第三象限上的點(diǎn)；（2）連接BO并延長，交反比例函數(shù)第三象限的圖像于點(diǎn)，連接CO并延長，交反比例函數(shù)第三象限的圖像于點(diǎn)，連接，連接DO并延長，交于點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)即為所求．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的特點(diǎn)即作圖，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析05平移、旋轉(zhuǎn)綜合題計(jì)算。（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，則17．（2022·江蘇徐州·徐州市第十三中學(xué)?？既＃┤鐖D，的頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖像上，且點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，則k的值為_________．

【答案】4【思路點(diǎn)撥】答案有誤，由于四邊形OABC為平行四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），將其代入帶反比例函數(shù)解析式求k值即可．【規(guī)范解答】解：∵四邊形OABC為平行四邊形，∴，，∵A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)O坐標(biāo)為，由平移的性質(zhì)可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），∴將點(diǎn)C（4，2）代入到函數(shù)中，可得，解得．故答案為：8．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是確定C點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

(1)平移，使點(diǎn)C移到點(diǎn)，畫出平移后的；(2)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到，畫出旋轉(zhuǎn)后的；(3)與是否關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱？若是，直接寫出對稱中心的坐標(biāo)：若不是，請寫出理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)是，【思路點(diǎn)撥】（1）首先確定點(diǎn)的平移規(guī)律，依此規(guī)律平移、兩點(diǎn)，從而得到；（2）利用中心對稱的性質(zhì)作出、、的對應(yīng)點(diǎn)、、即可；（3）連接，、，求出，的中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．【規(guī)范解答】（1）如圖，即為所求；（2）如圖，即為所求；

（3）與關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱，對稱中心的坐標(biāo)為【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了坐標(biāo)的平移，中心對稱圖形的畫法，求對稱中心的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形．【變式訓(xùn)練02】（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個(gè)單位長度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,3)，B(-4,0)，C(0,0)(1)寫出△ABC的外心坐標(biāo)；(2)將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，畫出(3)在（2）的基礎(chǔ)上，求A旋轉(zhuǎn)路徑的長度【答案】(1)(2)見解析(3)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，即△ABC的外心坐標(biāo)為；（2）分別作出點(diǎn)A、B繞原點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可得；（3）根據(jù)弧長公式計(jì)算可得；【規(guī)范解答】（1）如圖所示，取的垂直平分線，交于點(diǎn)，即△ABC的外心坐標(biāo)為，

故答案為：；（2）如圖所示，即為所求；（3）解：∵，∴A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了求三角形的外心坐標(biāo)，畫旋轉(zhuǎn)圖形，勾股定理與網(wǎng)格，求弧長，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2020秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在等腰Rt中，，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，連接，點(diǎn)M、P、N分別為、、的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由見解析(3)【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形的中位線定理得出，，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線定理得出，再得出，最后利用互余得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）由等腰直角三角形可知，當(dāng)最大時(shí)，面積最大，而的最大值是，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：∵P、N分別為、的中點(diǎn)，∴，，∵點(diǎn)M、P分別為DE、DC的中點(diǎn)，∴，，∵，，

∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案為：，．（2）解：是等腰直角三角形，理由如下．由旋轉(zhuǎn)可知，，∵，，∴，∴，，由三角形的中位線定理得，，，∴，∴是等腰三角形，同（1）的方法可得，，，，，∵，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形．（3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，，∴當(dāng)最大時(shí)，面積最大，

∴點(diǎn)D在的延長線上，∴，∴，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題綜合考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形的中位線定理，熟練應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析06圖形投影及相關(guān)計(jì)算。注意點(diǎn)：由平行的光線所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射線垂直于投影面，那么這種投影叫作正投影，正投影屬于平行投影的一種。（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，一電線桿AB的影子落在地面和墻壁上，同一時(shí)刻，小明在地面上豎立一根1米高的標(biāo)桿（PQ），量得其影長（QR）為0.5米，此時(shí)他又量得電線桿AB落在地面上的影子BD長為3米，墻壁上的影子CD高為2米，小明用這些數(shù)據(jù)很快算出了電線桿AB的高為（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤，在同一時(shí)刻，物體的實(shí)際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答．【規(guī)范解答】解：如圖：假設(shè)沒有墻CD，則影子落在點(diǎn)E，

∵桿高與影長成正比例，∴CD：DE=1：0.5，∴DE=1米，∴AB：BE=1：0.5，∵BE=BD+DE=4，∴，∴AB=8米．故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是知道在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長的比值相同這個(gè)結(jié)論．【變式訓(xùn)練01】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，小樹在路燈的照射下形成投影．若樹高，樹影，路燈的高度為，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】找出相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴，∴，

∴，∴，故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查中心投影以及相似三角形的應(yīng)用．測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決．【變式訓(xùn)練02】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，身高1.6m的小王晚上沿箭頭方向散步至一路燈下，他想通過測量自己的影長來估計(jì)路燈的高度，具體做法如下；先從路燈底部向東走20步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點(diǎn)剛好在兩盞路燈的中間點(diǎn)P處，繼續(xù)沿剛才自己的影子走5步到P處，此時(shí)影子的端點(diǎn)在Q處．(1)根據(jù)題意畫圖，找出路燈的位置．(2)求路燈的高和影長．【答案】(1)見解析(2)路燈高8米，影長為步【思路點(diǎn)撥】（1）連接，并延長相交于點(diǎn)，即為路燈的位置；（2）由，，可分別得，，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，得到對應(yīng)邊成比例，列出比例式，代入數(shù)值計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，點(diǎn)O為路燈的位置；（2）解：作垂直地面，如圖，步，步，，，∴，∴，即，解得，

∵，∴，∴，即，解得答：路燈高為8米，影長為步．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)應(yīng)用，找到相似三角形列出比例式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？计谀┠承?shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組運(yùn)用所學(xué)知識(shí)測量物體的高度．(1)如圖1，小明將鏡子放在距離旗桿底部的點(diǎn)處（即），然后看著鏡子沿直線前后移動(dòng)，直到看到旗桿頂端在鏡子中的像與點(diǎn)重合，此時(shí)小明同學(xué)站在點(diǎn)處，測得，若小明的眼睛離地面的高度為，求旗桿的高度．（溫馨提示：測量時(shí)，所使用的平面鏡的大小和厚度均忽略不計(jì)，根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角，法線，）(2)已知在陽光下，測得一根與地面垂直、長為1米的竹竿的影長為2米．如圖2，小東發(fā)現(xiàn)樹的影子一部分落在地面上，還有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上，量得墻壁上的影長為3.5米，落在地面上的影長為6米，求樹的高度．【答案】(1)(2)【思路點(diǎn)撥】（1）由題意易得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得的長；（2）根據(jù)在同一時(shí)刻物高和影長成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．經(jīng)過樹在教學(xué)樓上的影子的頂端作樹的垂線和經(jīng)過樹頂?shù)奶柟饩€以及樹所成三角形，與竹竿，影子光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到樹的頂端的高度，再加上墻上的影高就是樹高．

【規(guī)范解答】（1）解：∵法線，，∴，∵，∴，∴，∴，解得：．（2）解：設(shè)從墻上的影子的頂端到樹的頂端的垂直高度是x米．則有，，解得，∴樹的高度為．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查相似三角形的應(yīng)用以及平行投影，解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中整理出三角形并利用相似三角形求解．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析07三視圖的相關(guān)計(jì)算。注意點(diǎn)：一個(gè)物體在3個(gè)相互垂直的投影面內(nèi)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖是主視圖，在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖是俯視圖，在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖是左視圖（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知圓錐的主視圖是底邊長為，底邊上的高為的等腰三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是_____．（結(jié)果保留）【答案】

【思路點(diǎn)撥】答案有誤，首先根據(jù)題意，求得底面的周長、利用勾股定理求得圓錐的母線長，然后利用扇形的面積公式即可求得圓錐的側(cè)面積．【規(guī)范解答】解：依題意底面周長是，底面積是：．母線長是：，則圓錐的側(cè)面積是：．故答案是：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查三視圖，圓錐的計(jì)算，勾股定理，圓的面積公式，圓的周長公式和扇形面積公式求解．【變式訓(xùn)練01】（2022·江蘇鹽城·?？既＃┮粋€(gè)由相同小立方塊搭成的幾何體，從正面、左面、上面看到的形狀圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】B【思路點(diǎn)撥】從俯視圖中可以看出最底層小立方塊的個(gè)數(shù)及形狀，從主視圖可以看出每一層小立方塊的層數(shù)和個(gè)數(shù)，從左視圖可看出每一行小立方塊的層數(shù)和個(gè)數(shù)，從而算出總的個(gè)數(shù)．【規(guī)范解答】解：如圖所示，由俯視圖易得：最底層小立方塊的個(gè)數(shù)為4，由其他視圖可知第二層有1個(gè)小立方塊，那么共有個(gè)小立方塊．故選：B．

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．【變式訓(xùn)練02】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)幾何體是由若干個(gè)棱長為2cm的小正方體搭成的，從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀如圖所示：(1)在“從上面看”的圖中標(biāo)出各個(gè)位置上小正方體的個(gè)數(shù)；(2)求該幾何體的體積．【答案】(1)見解析(2)該幾何體的體積為80．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”的原則解答即可得解；（2）根據(jù)每個(gè)正方體的體積乘正方體的個(gè)數(shù)即可得解．【規(guī)范解答】（1）解：如圖所示：；（2）解：該幾何體的體積為：×（2+3+2+1+1+1）=8×10=80（）．答：該幾何體的體積為80．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查學(xué)生對三視圖的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．【變式訓(xùn)練03】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是由一些大小相同的小正方體組合成的簡單幾何體．

(1)畫出該幾何體的主視圖和左視圖；(2)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持俯視圖和左視圖不變，那么最多可以再添加塊小正方體．【答案】(1)見解析(2)5【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三視圖的定義畫出圖形即可．（2）根據(jù)題目條件解決問題即可．【規(guī)范解答】（1）主視圖和左視圖如下圖所示：（2）在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持俯視圖和左視圖不變，那么最多可以再添加5塊小正方體．故答案為：5．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查作圖-三視圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．一、選擇題1．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，平分，交于，交于，若，則等于（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【思路點(diǎn)撥】過D點(diǎn)作于G點(diǎn)，通過，DE⊥DF，可得，進(jìn)而有，，即可得，易證得，即可求解．【規(guī)范解答】解：過D點(diǎn)作于G點(diǎn)，如圖，∵平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，，在中，有，∴，∵，，∴，∴，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行的相關(guān)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，利用角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，，均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段與相交于點(diǎn)，則的正切值為()A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】連接，，由題意得：，得出，勾股定理求得，根據(jù)正切的定義即可求解．【規(guī)范解答】解：連接，，由題意得：，，由題意得：，，，，的正切值為：，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了求正切，勾股定理與網(wǎng)格問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形的位似圖形，已知，若四邊形的周長是2，則四邊形的周長是（）

A．4 B．6 C．16 D．18【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)位似的性質(zhì)，得到，推出，進(jìn)而求出四邊形與四邊形的相似比，利用周長比等于相似比，進(jìn)行求解即可．【規(guī)范解答】∵，∴，∵四邊形與四邊形是位似圖形，∴四邊形四邊形，，∴，∴，∴四邊形的周長：四邊形的周長，∵四邊形的周長是2，∴四邊形的周長為6，故選B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查位似圖形，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C為⊙O上一點(diǎn)，是⊙O的直徑，，，現(xiàn)將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到，交⊙O于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】連接，，根據(jù)及旋轉(zhuǎn)，得到，，從而得到是等邊三角形，結(jié)合是⊙O的直徑，即可得到，，從而得到是等邊三角形，即可得到，根據(jù)扇形面積公式及三角形面積公式即可得到答案．【規(guī)范解答】解：連接，，過O作，∵是⊙O的直徑，，∴，，∴是等邊三角形，∵，∴，，∵繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到，∴，∴，是等邊三角形，∴，，∵，∴，，∴陰影部分的面積為：，故選C

．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查勾股定理，扇形面積公式，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，利用扇形面積減三角形面積求得陰影部分面積．5．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中：、的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，利用勾股定理求得、各邊長，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【規(guī)范解答】解：∵，，∵，∴，∴，，，故選：B．

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，和均是等邊三角形．若表示的面積，表示的面積，則與的大小關(guān)系為______．【答案】##【思路點(diǎn)撥】過P作于E，過Q作于F，根據(jù)黃金分割定義可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得到，然后利用三角形的面積公式求解即可．【規(guī)范解答】解：過P作于E，過Q作于F，∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，∴，∵和均是等邊三角形，∴，

∴，∴，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查黃金分割、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握黃金分割的定義是解答的關(guān)鍵．7．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為的網(wǎng)格中，點(diǎn)，點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，為⊙的直徑．（1）的長等于___________；（2）請?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個(gè)以為斜邊、面積為的，并簡要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）___________．【答案】

見解析【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）取格點(diǎn)，連接；取格點(diǎn)，，連接與交于點(diǎn)．取格點(diǎn)，，連接并延長，交網(wǎng)格線于點(diǎn)，連接；取格點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．連接與⊙相交，得點(diǎn)．連接，，即為所求．【規(guī)范解答】解：（1），故答案為：；（2）如圖取格點(diǎn)，連接；取格點(diǎn)，，連接與交于點(diǎn)．取格點(diǎn)，，連接

并延長，交網(wǎng)格線于點(diǎn)，連接；取格點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．連接與⊙相交，得點(diǎn)．連接，，即為所求．故答案為（1）；（2）作圖見解析，簡要說明見解析．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直徑的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上（1）的大小為___________（度）；（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是邊上任意一點(diǎn)，以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于，把點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)最短時(shí)，請用無刻度的直尺，畫出點(diǎn)，并簡要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）___________．【答案】

90

見解析【思路點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用勾股定理逆定理求解即可；（2）取格點(diǎn)D，E，連接交于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接交延長線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接交延長線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；當(dāng)邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，點(diǎn)

F在射線上，找到點(diǎn)C到FG的垂足即為．【規(guī)范解答】解：（1）由網(wǎng)格圖可知，，，∵，∴由勾股定理逆定理，為直角三角形．∴，故答案為：90；（2）作圖過程如下：取格點(diǎn)D，E，連接交于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接交延長線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接交延長線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求證明：連接，∵為正方形網(wǎng)格對角線，∴A、C、F共線，∴，由圖形可知：，，∵，，∴,∴，

∵，∴當(dāng)邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，點(diǎn)F在射線上．由作圖可知T為中點(diǎn)，∴，∴，∴，此時(shí)，最短，故答案為：取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接交延長線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接交延長線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了直角三角形的證明、圖形的旋轉(zhuǎn)、三角形相似和最短距離的證明，找到線段旋轉(zhuǎn)后所在成為解答本題的關(guān)鍵．9．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，是邊上的高，E、F分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，射線與相交于點(diǎn)M，若連接，則線段的最小值為________．【答案】##【思路點(diǎn)撥】連接，并延長交邊于點(diǎn)G，證得點(diǎn)M在線段AB為直徑的上，作以線段為直徑的，取圓心O，連接交于點(diǎn)N，則當(dāng)點(diǎn)O、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段的最小值，利用勾股定理即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖1，連接，并延長交邊于點(diǎn)G，∵在中，，

∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵是邊上的高，∴，∴，

∴，∴，∴是的高，∵是的邊上的高，∴是的邊上的高，∴，∴，∴點(diǎn)M在線段AB為直徑的上，如圖2，作以線段為直徑的，取圓心O，連接交于點(diǎn)N，則當(dāng)點(diǎn)O、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段的最小值，如圖3，∵，點(diǎn)O是圓心，∴，∵，

∴，∴線段的最小值即，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的判定及性質(zhì)、90度圓周角所對的弦是直徑、勾股定理以及最短路徑等知識(shí)，證得點(diǎn)M在線段AB為直徑的上是解題的關(guān)鍵．三、解答題10．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、．(1)以點(diǎn)為位似中心在軸的左側(cè)將放大到兩倍即新圖與原圖的相似比為，畫出圖形；(2)分別寫出、兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)、的坐標(biāo)；(3)如果內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為，寫出的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)，(3)【思路點(diǎn)撥】（1）延長，到，使，的長度是，的倍．順次連接三點(diǎn)即可；（2）從直角坐標(biāo)系中，寫出、的坐標(biāo)；（3）從這兩個(gè)相似三角形坐標(biāo)位置關(guān)系來看，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)正好是原坐標(biāo)乘以的坐標(biāo)，所以的坐標(biāo)為，寫出的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，即為所求；

（2）解：對應(yīng)點(diǎn)、的坐標(biāo)為，；（3）解：從這兩個(gè)相似三角形坐標(biāo)位置關(guān)系來看，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)正好是原坐標(biāo)乘以的坐標(biāo)，所以的坐標(biāo)為，寫出的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【考點(diǎn)評(píng)析】本題綜合考查了直角坐標(biāo)系和相似三角形的有關(guān)知識(shí)，注意做這類題時(shí)，性質(zhì)是關(guān)鍵，看圖也是關(guān)鍵．很多信息是需要從圖上看出來的．11．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．(1)在圖①中，．(2)利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在上找一點(diǎn)P，使．②如圖③，在上找一點(diǎn)P，使．【答案】(1)(2)圖見解析【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)兩條直線平行，對應(yīng)線段成比例即可得結(jié)論；（2）①根據(jù)勾股定理得的長為5，利用格點(diǎn)，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)即可找到點(diǎn)P；②作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，連接與的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)P，使．

【規(guī)范解答】（1）解：圖1中，∵，∴，故答案為：．（2）解：①在網(wǎng)格圖②中，，如圖2所示，連接，交于點(diǎn)P，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)；②如圖3所示，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，∵，∴，∴點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了作圖—相似變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，利用格點(diǎn)構(gòu)造相似三角形．12．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知如圖：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、(正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長是一個(gè)單位長度)．

(1)畫出向下平移個(gè)單位長度得到的；(2)以點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出，使與位似，且位似比為：；(3)的面積是平方單位．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)10【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，將向下平移個(gè)單位長度得到的；（2）根據(jù)位似的性質(zhì)，延長，至，使得，連接，則即為所求；（3）根據(jù)矩形面積減