建筑電氣與弱電工程制圖課件：形體的表達

形體的表達3.1基本形體的投影作圖3.2形體表面交線3.3組合體的構(gòu)成和投影作圖

3.1基本形體的投影作圖

任何建筑形體都是由一些簡單的幾何體構(gòu)成的，即由柱、錐、球等幾何體經(jīng)過疊加或切割而構(gòu)成。在工程制圖中，通常把棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、圓球、環(huán)等立體稱為基本形體，簡稱基本體，如圖3.1所示。掌握基本形體的投影特性和作圖方法對今后繪制和識讀房屋建筑工程圖是十分重要的。圖3.1基本形體

基本形體有平面體和曲面體兩類。

平面體—立體表面全部由平面所圍成。最基本的平面立體有棱柱和棱錐。

曲面體—立體表面全部由曲面或曲面與平面所圍成。最基本的曲面體有圓柱、圓錐、球、環(huán)等。

一、平面體的投影作圖

1．棱柱

棱柱是由棱面和上、下底面圍成的，相鄰棱面的交線稱為棱線。棱柱的棱線互相平行。常見的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。

以正六柱棱為例，分析其投影特性和作圖方法。

1)投影分析

正六棱柱頂面、底面均為水平面，它們的H面投影反映實形，V面及W面投影積聚為一直線；前后棱面為正平面，V面投影反映實形；H面投影及W面投影積聚為一直線；其余棱面均為鉛垂面，H面投影積聚為直線，V面投影和W面投影為類似形，如圖3.2所示。

圖3.2六棱柱投影分析

2)作圖方法

(1)畫出作圖基準(zhǔn)線。

(2)畫出反映主要形狀特性的投影，即水平投影的正六邊形，再畫正面、側(cè)面投影中的底面積聚性投影。

(3)按長對正的投影關(guān)系及六棱柱的高度畫出棱面、棱線和頂面的正面投影，按高平齊、寬相等的投影關(guān)系畫出側(cè)面投影，如圖3.3所示。

圖3.3六棱柱投影圖

3)棱柱表面上點的投影

如圖3.4所示，已知六棱柱表面上點M的正面投影m‘，求作另兩面投影m、m“。

求棱柱表面上點的投影的方法為：

(1)點的位置分析。根據(jù)正面投影m’?可以判斷出點M在六棱柱左前側(cè)棱面上。

(2)點的投影分析。六棱柱左前側(cè)棱面為正垂面，其水平投影積聚成一條直線，所以點M的水平投影必定在這條直線上。

(3)作圖。過m‘

?作垂線并延長，交六棱柱左前側(cè)棱面水平投影直線于m，m即為M點的水平投影。利用點的投影規(guī)律可求出點M的側(cè)面投影m“。

(4)可見性判斷。點的可見性規(guī)定：若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若點所在的平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。

根據(jù)這一規(guī)定，點M在六棱柱左前側(cè)棱面上，該棱面的側(cè)面投影可見，所以點M的側(cè)面投影m”見；該棱面的水平投影積聚成直線，所以點M的水平投影m可見。

對于不可見的點的投影需要加括弧表示。

圖3.4六棱柱表面點的投影

2．棱錐

棱錐由底面和棱面組成。棱錐的棱線交于一點。常見的棱錐有三棱錐、四棱錐和五棱錐。

以正四棱錐為例，分析其投影特性和作圖方法。

1)投影分析

正四棱錐底面為水平面，它的H面投影反映實形，V面及W面投影積聚為一直線。前后兩面為側(cè)垂面，W面投影積聚為一直線；H、V面投影為類似形。左右兩面為正垂面，V面投影積聚為一直線；H、W面投影為類似形，如圖3.5所示。

圖3.5四棱錐投影分析

2)作圖步驟

(1)畫出作圖基準(zhǔn)線，即底面、正面、側(cè)面投影的對稱中心線。

(2)畫出底面的水平投影的外輪廓(矩形)及底面的正面、側(cè)面投影。

(3)按正四棱錐的高度在正面投影上定出錐頂?shù)耐队?，按投影?guī)律求出錐頂?shù)乃酵队?，在正面和水平投影上分別過錐頂與底面各頂點的投影連線，即得四條棱線的投影。由于是正四棱錐，四條棱線的水平投影為矩形的對角線。

(4)由水平投影、正面投影畫出正四棱錐的側(cè)面投影，如圖3.6所示。

圖3.6四棱錐投影圖

3)棱錐表面上點的投影

如圖3.7所示，已知正四棱錐表面上點M的正面投影m‘，求作另兩面投影m、m“。

求正四棱錐表面上點的投影的方法為：

(1)點的位置分析。根據(jù)正面投影m’

可以判斷出點M在正四棱錐前棱面上。

(2)點的投影分析。正四棱錐前棱面為側(cè)垂面，其側(cè)面投影積聚成一條直線，所以點M的側(cè)面投影必定在這條直線上。

(3)作圖。過m‘?作水平線并延長，交正四棱錐前棱面?zhèn)让嫱队爸本€于m“，m”?即為點M的側(cè)面投影。利用點的投影規(guī)律可求出點M的水平投影m。

(4)可見性判斷。點M在正四棱錐前棱面上，該棱面的側(cè)面投影積聚成直線，所以點M的側(cè)面投影m"?可見；該棱面的水平投影可見，所以點M的水平投影m可見。

圖3.7四棱錐表面點的投影

【例3.1】正三棱錐投影作圖。

1)正三棱錐形體分析

正三棱錐由正三角形的底面和三個三角形的棱面組成。

2)正三棱錐投影分析

正三棱錐底面為水平面，其水平投影是正三角形，反映底面的實形。左、右側(cè)棱面為一般位置面，其三面投影都為三角形；后棱面為側(cè)垂面，其側(cè)面投影積聚成一直線。

3)作圖

(1)作出底面的水平投影為正三角形，及底面的正面投影和側(cè)面投影。

(2)求出錐頂?shù)乃酵队?，由正三棱錐高度作出錐頂?shù)恼嫱队?；在正面投影和水平投影上分別過錐頂與底面各頂點的投影連線，即得三條棱線的投影。

(3)由水平投影和正面投影畫出三棱錐的側(cè)面投影，如圖3.8所示。

圖3.8正三棱錐投影圖

4)正三棱錐表面點的投影

如圖3.9所示，已知正三棱錐表面上點M的正面投影m‘，求作另兩面投影m、m“。

求正三棱錐表面上點的投影的方法為：

(1)點的位置分析。根據(jù)正面投影m’

可以判斷出點M在正三棱錐右側(cè)棱面上。

(2)點的投影分析。正三棱錐右側(cè)棱面為一般位置面，其三面投影為三個三角形，沒有投影特性可以利用。

(3)作圖。采用輔助線方法，將m‘

與錐頂?shù)恼嫱队皊’

連接并延長，交底面的正面投影于h‘；過h’

作垂線并延長交底面水平投影于h點，連接h與錐頂水平投影s；過m‘

作垂線并延長交sh于m，m即為點M的水平投影。利用點的投影規(guī)律可求出點M的側(cè)面投影m“。

(4)可見性判斷。點M在正三棱錐右側(cè)棱面上，該棱面的水平投影可見，所以點M的水平投影m可見；該棱面的側(cè)面投影不可見，所以點M的側(cè)面投影m"?不可見。

3.9正三棱錐表面點的投影

二、曲面體的投影作圖

1．圓柱

圓柱體由圓柱面與上、下端面圍成。圓柱面可看做由一條母線繞平行于它的軸線回轉(zhuǎn)而成，圓柱面上任意一條平行于軸線的直母線稱為圓柱面的素線。

1)投影分析

圓柱頂面、底面均為水平面，它們的水平面投影為反映實形的一個圓，正面及側(cè)面投影積聚為一直線。圓柱面為鉛垂面，水平面投影積聚為圓。正面投影中，前、后兩半圓柱面的投影重合為一個矩形，矩形的兩條豎線分別為圓柱面最左、最右素線的投影，也是圓柱面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。側(cè)面投影中，左、右兩半圓柱面的投影重合為一個矩形，矩形的兩條豎線分別為圓柱面最前、最后素線的投影，也是圓柱面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影，如圖3.10所示。

圖3.10圓柱投影分析

2)作圖方法

(1)畫出圓柱體的各投影的中心線。

(2)畫出形狀為圓的水平投影。

(3)根據(jù)圓柱體的高度以及投影關(guān)系畫出形狀為矩形的正面和側(cè)面投影，如圖3.11所示。

圖3.11圓柱的投影圖

3)圓柱表面上點的投影

如圖3.12所示，已知圓柱表面上點M的正面投影m‘，求作另兩面投影m、m“。

(1)點的位置分析。根據(jù)正面投影m’

可以判斷出點M在圓柱的前、右半圓柱面上。

(2)點的投影分析。圓柱面為鉛垂面，水平投影積聚成一個圓，所以點M的水平投影必在圓上。

(3)作圖。過m‘

作垂線并延長，交圓柱面的水平投影圓于m點，由于點M在前半圓柱面上，所以其水平投影m必在圓柱面的水平投影圓的前半圓周上。利用點的投影規(guī)律可求出點M的側(cè)面投影m“。

(4)可見性判斷。點M在圓柱面上，圓柱面的水平投影積聚成一個圓，所以其水平投影m可見；又因為點M在右半圓柱面上，所以點M的側(cè)面投影m"?不可見。

圖3.12圓柱表面點的投影

2．圓錐

圓錐體由圓錐面和底面圍成。圓錐面可以看做由一條直母線繞與它斜交的軸線回轉(zhuǎn)而成。圓錐面上任意一條與軸線斜交的直母線，稱為圓錐面上的素線。

1)投影分析

圓錐底面為水平面，它的水平面投影為反映實形的一個圓，正面及側(cè)面投影積聚為一直線。圓錐面為一般位置面，水平面投影為圓，與底面的水平投影重合。正面投影由前、后兩個半圓錐面的投影重合為一個等腰三角形，三角形的兩邊分別為圓錐面最左、最右素線的投影，也是圓錐面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。圓錐面的側(cè)面投影由左、右兩個半圓錐面的投影重合為一個等腰三角形，三角形的兩邊分別為圓錐面最前、最后素線的投影，也是圓錐面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影，如圖3.13所示。

圖3.13圓錐投影分析

2)作圖步驟

(1)畫出圓錐體各投影的中心線。

(2)畫出形狀為圓的水平投影。

(3)根據(jù)圓錐高度以及投影關(guān)系畫出形狀為等腰三角形的正面和側(cè)面投影，如圖3.14所示。

圖3.14圓錐投影圖

3)圓錐面上點的投影

由于圓錐面的投影沒有積聚性，在圓錐面上的特殊點投影可利用點在輪廓線上的特性，直接作出其三面投影，如圖3.15所示的點M的三面投影。而圓錐面上一般位置點的投影須采用作包含該點輔助線的方法求得。通常采用輔助素線或輔助緯圓進行作圖。

輔助素線法圓錐表面的點必落在圓錐面上的某一條素線上，因此可在圓錐面上作一條包含該點的素線，從而確定該點的投影。

如圖3.15，已知圓錐表面上點N的正面投影n‘，用輔助素線法求作另兩面投影n、n“。

(1)點的位置分析。根據(jù)正面投影n'?可以判斷出點N在前、右半圓錐面上。

(2)點的投影分析。圓錐面的投影沒有積聚性可以利用。

(3)作圖。采用輔助素線法。將n‘

與錐頂?shù)恼嫱队皊’

連接并延長，交底面的正面投影于h‘；過h’

作垂線并延長交底面水平投影于h點，連接h與錐頂水平投影s；過n‘

作垂線并延長交sh于n，n即為點N的水平投影。利用點的投影規(guī)律可求出點N的側(cè)面投影n“。

(4)可見性判斷。點N在前、右半圓錐面上，圓錐面的水平投影可見，所以點N的水平投影n可見；右半圓錐面的側(cè)面投影不可見，所以點N的側(cè)面投影n"?不可見。

圖3.15輔助素線法求圓錐表面點的投影

輔助緯圓法圓錐面上的點必落在圓錐面上的某一緯圓(垂直于圓錐軸線的圓)上，因此可在圓錐面上作一包含該點的緯圓，從而確定該點的投影。

如圖3.16所示，已知圓錐表面上點K的正面投影k‘，用輔助緯圓法求作另兩面投影k、k“。

(1)點的位置分析。根據(jù)正面投影k’

可以判斷出點K在前、左半圓錐面上。

(2)點的投影分析。圓錐面為一般位置面，沒有投影特性可以利用。

(3)作圖。采用輔助緯圓法。過k‘

作圓錐面正面投影軸線的垂直線，交圓錐面最左、最右輪廓線正面投影于a’、b‘，a’b‘

即為輔助緯圓的正面投影；以錐頂水平投影s為圓心，a’b‘

為直徑，作緯圓的水平投影；過k’

作垂線并延長，交緯圓水平投影于k，k即為點K的水平投影。利用點的投影規(guī)律可求出點K的側(cè)面投影k“。

(4)可見性判斷。點K在前、左半圓錐面上，圓錐面的水平投影可見，所以點K的水平投影k可見；左半圓錐圓的側(cè)面投影可見，所以點K的側(cè)面投影k"?可見。

圖3.16輔助緯圓法求圓錐表面點的投影

3．圓球

球體是由球面圍成的。球面是以圓為母線以該圓上任一直徑為回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而形成的。

1)投影分析

圓球的三面投影都是等徑圓，并且是圓球表面平行于相應(yīng)投影面的三個不同位置上的最大輪廓圓，如圖3.17所示。

圖3.17圓球投影分析

2)作圖步驟

(1)先確定球心的三個投影，過球心分別畫出圓球軸線的三面投影。

(2)在三個投影面上畫出三個與圓球直徑相等的圓，如圖3.18所示。

圖3.18圓球投影圖

3)圓球表面上點的投影

由于球面的三個投影都沒有積聚性，必須用輔助緯圓法求點的三面投影。

如圖3.19所示，已知圓球表面點M的正面投影(m‘)，求作另兩面投影m、m“。

(1)點的位置分析。根據(jù)正面投影(m’)，可以判斷出點M在后、左、下半球面上。

(2)點的投影分析。球面的投影沒有積聚性可以利用。

(3)作圖。采用輔助緯圓法。過m‘

作水平線，交球面的正面投影于a’、b‘，a’b‘

即為輔助水平緯圓的正面投影；以球心水平投影o為圓心，a’b‘

為直徑，作緯圓的水平投影；過m’

作垂線并延長，交緯圓水平投影于m，m即為點M的水平投影。利用點的投影規(guī)律可求出點M的側(cè)面投影m“。

(4)可見性判斷。點M在后、左、下半球面上，下半圓球面的水平投影不可見，所以點M的水平投影m不可見；左半圓球面的側(cè)面投影可見，所以點M的側(cè)面投影m”

可見。

前面用水平輔助緯圓求球表面點的三面投影，當(dāng)然也可以用正平輔助緯圓或側(cè)平輔助緯圓來求球表面點的三面投影，作圖過程讀者可自行分析。

3.2形體表面交線

一、形體表面交線的形成任何建筑物形體都是由若干基本形體經(jīng)過切割、疊加或相交構(gòu)成的組合形體。在組合形體的表面上，經(jīng)常會出現(xiàn)一些交線，這些交線有些是平面與形體相交產(chǎn)生的，有些則是兩個形體相交而形成的。形體表面交線分兩種情況：截交線和相貫線。

1．截交線

平面與形體相交產(chǎn)生的表面交線稱為截交線，如圖3.20所示。

截平面：假想用來切割形體的平面稱為截平面；

截交線：截平面與形體表面產(chǎn)生的交線稱為截交線；

截斷面：截交線所圍成的平面圖形稱為截斷面(簡稱斷面)。

截交線是截平面與形體表面的交線，并且是封閉的平面折線或平面曲線。

圖3.20截交線的形成

2．相貫線

兩個形體相交形成的表面交線稱為相貫線，如圖3.21所示。

兩形體相交稱為相貫，按相貫體表面性質(zhì)不同，可分為三種情況：兩平面體相貫、平面體與曲面體相貫、曲面體相貫。

相貫線是兩形體表面共有線，一般情況下，相貫線是封閉的空間折線或空間曲線。

圖3.21相貫線的形成

二、切割型形體

1．平面體截交線

1)平面體截交線的形式

平面體截交線性質(zhì)：截交線的每條邊都是截平面與棱面的交線，即共有性。

平面體截交線形狀：平面立體的截交線是一個由直線組成的平面封閉多邊形，其形狀取決于平面立體的形狀及截平面在平面立體上的截切位置，如圖3.22所示。

圖3.22平面體截交線

2)平面體截交線的畫法

求截交線有兩種方法：

棱線法：求各棱線與截平面的交點，將截斷面上的各點依次連接。

棱面法：求各棱面與截平面的交線。

常用棱線法。

求截交線的步驟如下：

(1)空間分析。分析截平面與立體的相對位置，以確定截交線的形狀。截交線多邊形的邊數(shù)等于截平面截到的棱面數(shù)。

(2)投影分析。分析截平面與投影面的相對位置，以確定截交線的投影特性(積聚性、類似性等)。

(3)畫出截交線的投影。棱線與截平面的交點，即為截交線的頂點的投影。將同一投影面上相鄰兩頂點的投影依次連線，即為截交線的投影。

(4)判斷可見性。可見表面上的交線可見，否則不可見。不可見的交線用虛線表示。

(5)完善輪廓線。將物體表面上可見的輪廓線描深，不可見的輪廓線用虛線表示。

3)平面切割四棱錐

如圖3.23和圖3.24所示，已知四棱錐的正面投影和水平投影，用正垂面截切四棱錐，求作切割體的三面投影。

(1)空間分析。截平面切割四棱錐，截交線為四邊形。四邊形的四條邊分別是截平面與四棱錐各棱面的交線。四邊形的四個頂點分別是四棱錐各棱線與截平面的交點。

(2)投影分析。因截平面是正垂面，所以截交線的正面投影積聚成直線，水平投影和側(cè)面投影都是四邊形，只要求得四棱錐的四條棱線與截平面的交點的投影，依次連接即可完成作圖。

(3)作圖。作出四棱錐被截切前的側(cè)面投影。

確定截平面與四棱錐最左棱線交點的正面投影為a′；過a′作垂線并延長，交最左棱線水平投影于a；過a″作水平線并延長，交最左棱線側(cè)面投影于a“。

確定截平面與四棱錐最前棱線的交點的正面投影b′；過b′?作水平線并延長，交最前棱線的側(cè)面投影于b″，由b′和b″求出水平投影b。

同理可求得截平面與四棱錐最右棱線、最后棱線交點的三面投影c′、d′、c、d、c″、d″。

將截交線頂點的同面投影依次連接起來，即可求得截交線的三面投影。

(4)可見性判斷。截交線的正面投影積聚成一條直線，其它兩面投影為類似的四邊形，并且都可見。

(5)完善輪廓線，完成切割體的投影作圖。

圖3.23平面截切四棱錐圖3.24平面截切四棱錐截交線畫法

【例3.2】畫四棱柱截切后的三面投影圖，如圖3.25所示。

圖3.25平面截切四棱柱

(1)空間分析。四棱柱被正垂面截切，截平面與四棱柱的四個棱面及頂面相交，截交線是五邊形。五邊形的五個頂點分別是截平面與四棱柱的三條棱線以及頂面的兩條邊線的交點。

(2)投影分析。截平面是正垂面，則截交線的正面投影積聚成直線。四棱柱的四個棱面為鉛垂面，截交線的水平投影與四棱柱的各棱面的水平投影重合。截平面與四棱柱頂面的交線為正垂線，其正面投影積聚為一點，水平投影反映實長。

(3)作圖。首先作出完整四棱柱的側(cè)面投影。因截平面為正垂面，所以截交線的正面投影積聚成直線?？芍苯诱页鑫暹呅谓亟痪€各頂點的正面投影a'、b'、c'、d'、e'。

接著確定截平面與最左棱線交點的正面投影a'，其水平投影與最左棱線的水平投影重合即為a，由a'?作水平線并延長，交最左棱線側(cè)面投影于a"。

同理可求得截平面與最前、最后棱線交點的三面投影b'、e'、b、e、b"、e"。

截平面與四棱柱頂面的交線為正垂線，確定其正面投影積聚為c'

(d')，過c'

(d'?)作垂線并延長，交頂面水平投影于c、d，再按寬相等求其側(cè)面投影c"d

"。連接cd，依次連接a"、b"、c"、d"、e'?即可得截交線的水平投影和側(cè)面投影。

(4)可見性判斷。截交線的正面投影積聚成一條直線，其它兩面投影為類似的五邊形，并且都可見。

(5)完善輪廓線，完成切割體的投影作圖。

2．曲面體截交線畫法

1)曲面體截交線的形式

曲面體截交線性質(zhì)：截交線是截平面與曲面體表面的交線，即共有性。

曲面體截交線形狀：曲面體截交線一般為封閉的平面曲線，特殊情況下是直線。其形狀取決于曲面體表面的形狀以及截平面與曲面體軸線的相對位置，如圖3.26所示。

圖3.26曲面體截交線

2)曲面體截交線的畫法

(1)空間分析。明確曲面體的形狀，分析截平面與曲面體軸線的相對位置，以確定截交線的形狀。

(2)投影分析。分析截平面與投影面的相對位置，明確截交線的投影特性(積聚性、類似性等)。

(3)畫截交線的投影。畫曲面體截交線的基本方法是連點成線法，即求出曲面體表面上若干條素線與截平面的交點的投影，然后光滑連接而成。

當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，具體作圖步驟為：

①先取特殊點，后取中間點。截交線上的一些能夠確定其形狀和范圍的點，如最高點、最低點、最左點、最右點、最前點、最后點，轉(zhuǎn)向點(即截平面與轉(zhuǎn)向輪廓線的交點，也就是可見與不可見的分界點)等，都為特殊點。

②順次光滑地連接各點。

(4)判斷可見性。

(5)完善輪廓線。

3)平面截切圓柱體

平面截切圓柱，根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對位置不同，圓柱上的截交線的形狀分為圓、兩平行直線、橢圓三種形狀，如圖3.27所示。

圖3.27圓柱截交線

以圓柱被正垂面斜切為例，分析其截交線求法，如圖3.28所示。

(1)空間分析。圓柱被正垂面斜切時，截交線形狀為橢圓。

(2)投影分析。由于截平面為正垂面，所以橢圓的正面投影積聚成一條直線，水平投影與圓柱面的水平投影重合為圓，側(cè)面投影為類似橢圓。

(3)作圖。圓柱被正垂面斜切時，其正面投影為直線，水平投影為圓，此兩投影可不必求，主要是求其側(cè)面投影橢圓。

圖3.28截平面斜切圓柱體

(4)分析輪廓線的可見性。截交線的三面投影均可見。

(5)完善輪廓線，完成切割體的投影作圖。

4)平面截切圓錐體

平面截切圓錐體，其截交線的形狀取決于截平面與圓錐體軸線的相對位置，如圖3.29所示。

圖3.29圓錐截交線

如圖3.30所示，圓錐被側(cè)平面截切，求其三面投影。

圖3.30側(cè)平面切圓錐

(1)空間分析。圓錐體被側(cè)平面截切時，截平面與圓錐軸線平行，截交線形狀為半雙曲線。

(2)投影分析。由于截平面為側(cè)平面，所以截交線半雙曲線的正面投影積聚成直線，水平投影積聚成直線，側(cè)面投影為半雙曲線。

(3)作圖。

首先找出特殊點：確定最前點、最后點的水平投影a、b，求出其正面投影a'、b'?和側(cè)面投影a"、b"；確定最高點的正面投影c'，求出其水平投影c和側(cè)面投影c"。

接著補充一般點，在截交線水平投影上補充對稱的兩點d、e，用緯圓法求出其正面投影d'、e'，再求出其側(cè)面投影d

"、e"。

最后依次光滑連接a"、d

"、c"、e"、b"?各點，截交線側(cè)面投影成一半雙曲線。

(4)判斷可見性。截交線的三面投影均可見。

(5)完善輪廓線，完成切割體的投影作圖。

5)平面截切球

平面截切圓球時，其截交線均為圓。當(dāng)截平面平行于投影面時，截交線在該投影面上的投影為反映其真實大小的圓，另外兩個投影分別積聚成直線。

如圖3.31所示，圓球被水平面截切，求截交線的三面投影。

圖3.31水平面截切球

(1)空間分析。圓球被水平面截切，其截交線為圓。

(2)投影分析。球面被水平面截切，水平投影為圓，其它兩投影積聚為直線。

(3)作圖。圓球被水平面截切，正面投影積聚為一直線a'b'，以球心水平投影o為圓心，a'b'

為直徑作截交線水平投影圓；過a'b'

作水平線并延長，交球的側(cè)面投影，畫出截交線的側(cè)面投影。

(4)判斷可見性。截交線的三面投影均可見。

(5)完善輪廓線，完成切割體的投影作圖。

三、相交型形體

兩立體相交稱為相貫，其表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。

相貫線是兩形體表面的共有線，相貫線上的點是兩形體表面的共有點。

一般情況下，相貫線是封閉的空間折線或空間曲線。

相貫的形式有：平面體和平面體相貫、平面體和曲面體相貫、曲面體和曲面體相貫，如圖3.32所示。

圖3.32相貫線

1．兩平面體的表面交線

兩平面體的交線在一般情況下為封閉的空間折線，折線上的每一段分別屬于兩立體表面的交線，折線上的每個頂點都是一形體上的棱線與另一形體側(cè)面的交點。

求作兩平面體的相貫線，實際上是求兩平面的交線和直線與平面的交點。

【例3.3】求高低房屋相交的表面交線。

高低房屋相交，可看成是兩個五棱柱相交，如圖3.33所示。

圖3.33高低房屋的表面交線

(1)空間分析。由于兩個五棱柱的底面(即地面)在同一平面上，所以相貫線是不封閉的空間折線。

(2)投影分析。兩個五棱柱中的一個五棱柱的棱面都垂直于側(cè)面，另一個五棱柱的棱面都垂直于正面，所示相貫線的側(cè)面投影、正面投影與兩個五棱柱的側(cè)面投影、正面投影重合，不必求作。只需求作其水平投影。

(3)作圖。確定小五棱柱五條棱與大五棱柱棱面的交點的正面投影與側(cè)面投影分別為a'?與a"、b'?與b"、d'?與d

"、f?'與f?"、g'?與g"。

再確定大棱柱一條棱與小棱柱棱面的交點的側(cè)面投影與正面投影為c"?與c'、e"?與e'。

由截交線頂點的兩面投影作出對應(yīng)的水平投影，并依次連接。

(4)完善輪廓線，完成相貫體的投影作圖。

2．兩曲面體的表面交線

兩曲面體表面的相貫線，一般是封閉的空間曲線，特殊情況下可能是平面曲線或直線，如圖3.34所示。相貫線上的每個點都是兩形體表面的共有點，因此，求作兩曲面體的相貫線時，通常是先求出一系列共有點，然后依次光滑連接相鄰各點。

圖3.34兩曲面體的相貫線

1)兩曲面體相貫線性質(zhì)

(1)相貫線是兩曲面體表面的共有線，也是兩立體表面的分界線，相貫線上的點是兩曲面體表面的共有點，同時存在于兩形體的表面上。

(2)相貫線是曲面與曲面之間的交線，通常情況下，相貫線是一條封閉的空間曲線，特殊情況下，相貫線也可能是平面曲線或直線。

2)兩曲面體相貫線的作圖

在視圖中畫出相貫線的投影，這是一種近似的作圖法，首先求出相貫線上一系列點的投影，然后將這些點按照位置順序依次平滑地連接起來。

具體分為以下幾步：

(1)分析形體的相交特性。

(2)求出相貫線上特殊點的投影。

(3)求出相貫線上一定數(shù)量的一般點的投影。

(4)將各點按照位置順序依次平滑地連接起來，可見的圖線畫實線，不可見的圖線畫虛線。

(5)完成其它相關(guān)圖線的繪制。

3)圓柱和圓柱垂直正交

(1)形體相交特性分析。直徑不同的兩圓柱軸線垂直相交，相貫線為前后左右對稱的空間曲線，如圖3.35所示。

圖3.35兩圓柱垂直正交相貫線

(2)投影分析。直立小圓柱軸線垂直于水平面，所以水平投影有積聚性，是一個圓；水平大圓柱軸線垂直于側(cè)面，所以側(cè)面投影有積聚性，是一個圓。由于相貫線是兩圓柱表面的共有線，所以相貫線的水平投影與小圓柱水平投影重合，側(cè)面投影與大圓柱側(cè)面投影(部分)重合。因此，需求作的僅是相貫線的正面投影。

(3)作圖。方法是表面取點法，如圖3.36所示。

圖3.36兩圓柱垂直正交相貫線畫法

①求特殊點。由投影關(guān)系確定相貫線的最左點的水平投影a、側(cè)面投影a"，最右點的水平投影b、側(cè)面投影b"，最前點的水平投影c、側(cè)面投影c"，最后點的水平投影d、側(cè)面投影d

"。由上述點的兩面投影求出其正面投影a'、b'、c'、d'。

②求一般點。在相貫線的水平投影上確定兩個一般位置的水平投影e、f，過ef作水平線并延長與45°輔助線交于一點，再過輔助線的交點作垂線交相貫線的側(cè)面投影于e"

(f

")；由e和e"?求得其正面投影e'，由f和f?

"?求得其正面投影f?'

③因相貫線前后對稱，前半相貫線的正面投影可見，后半相貫線的正面投影與前半相貫線的正面投影重合，所以依次光滑連接各點的正面投影，即可得相貫線的正面投影。

④完善輪廓線，完成相貫體的投影。

(4)相貫情況討論。

①兩圓柱正交直徑相對變化對相貫線的影響。兩圓柱正交直徑相對變化對相貫線的影響如圖3.37所示。

圖3.37兩圓柱正交直徑相對變化對相貫線的影響

②內(nèi)、外圓柱相貫。圓柱面相貫有外表面與外表面相貫、外表面與內(nèi)表面相貫和兩內(nèi)表面相貫三種形式。這三種情況的相貫線的形狀和作圖方法相同，如圖3.38所示。

圖3.38內(nèi)外圓柱相貫

3.3組合體的構(gòu)成和投影作圖

一、組合體的構(gòu)成和形體分析

1．組合體概念由一些基本形體經(jīng)過疊加或切割等形式構(gòu)成的整體稱為組合形體，簡稱組合體。

2．組合體的構(gòu)成方式

組合體的構(gòu)成方式有疊加和切割兩種方式。

1)疊加

疊加是指基本形體之間的疊合、相交、相切等組合方式，如圖3.39所示。

圖3.39疊加式組合體

2)切割

切割是指基本形體的開槽、控割等除料方式，如圖3.40所示。

圖3.40切割式組合體

3．基本形體之間的表面連接關(guān)系及畫法

分析各基本形體之間表面連接關(guān)系，是正確繪制組合體投影圖的重要環(huán)節(jié)。

形成組合體的基本形體之間的表面連接關(guān)系可歸納為四種基本情況：表面相接平齊、表面相接不平齊、表面相切、表面相交。

1)表面相接平齊

當(dāng)疊加后兩形體的相鄰表面處于同一平面，即兩表面相接平齊時，在疊合處不應(yīng)再畫出輪廓線投影，如圖3.41所示。

圖3.41形體表面相接平齊

2)表面相接不平齊

當(dāng)疊加后兩形體的相鄰表面不處于同一平面，即兩表面相接不平齊時，在疊合處應(yīng)畫出輪廓線投影，如圖3.42所示。

圖3.42形體表面相接不平齊

3)表面相切

當(dāng)平面體與曲面體或兩曲面體疊加時，平面與曲面或曲面與曲面表面相切處也不應(yīng)畫出輪廓線投影，如圖3.43所示。

圖3.43形體表面相切

4)表面相交

當(dāng)平面體與曲面體或兩曲面體疊加時，平面與曲面或曲面與曲面相交處應(yīng)畫出輪廓線投影，如圖3.44所示。

圖3.44形體表面相交

二、組合體的投影作圖

1．形體分析

形體分析即分析組合體的組合形式，分析各部分的形狀、大小和相對位置關(guān)系，為畫圖打下基礎(chǔ)。

【例3.4】畫出如圖3.45所示的組合體投影圖。

圖3.45所示的組合體—支架，可分解成底板、豎板、凸臺三部分，然后又分別進行了挖切。

圖3.45組合體的分解

2．主視圖選擇

選擇主視圖的原則是：

(1)形體特征原則。選擇最能反映組合體的形狀特征，即反映最大的信息量的視圖。

(2)視圖中的虛線要少原則。應(yīng)使各視圖中的虛線盡量少。

(3)擺平放穩(wěn)原則。能夠使組合體處于一種能擺正，并平穩(wěn)放置在水平方向上的位置。

按照上述原則，對圖3.45所示的支架組合體進行主視圖選擇，通過對三個投射方向的視圖進行比較，A投射方向的視圖作為主視圖最佳，如圖3.45所示。

3．畫圖步驟

(1)選畫圖比例和圖幅大小，并畫出邊框和標(biāo)題欄。

(2)畫出形體長、寬、高三個方向的作圖定位基準(zhǔn)線。

(3)畫出各組成部分的外部形狀。

(4)畫出各組成部分的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及細節(jié)形狀。

(5)檢查、清理及描深。

具體如圖3.46所示。

圖3.46組合體三視圖的畫法

三、組合體的尺寸標(biāo)注

1．標(biāo)注尺寸的基本要求

正確：尺寸標(biāo)注要符合國家標(biāo)準(zhǔn)；

完整：尺寸標(biāo)注不重復(fù)、不遺漏，能夠完全確定出物體各部分的形狀、大小和位置；

清晰：尺寸標(biāo)注有條理、易看。

2．基本形體、切割形體及相交形體的尺寸標(biāo)注

1)基本形體尺寸標(biāo)注

常見的基本形體有棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和球等。圖3.47所示為一些常見的基本形體尺寸標(biāo)注的示例。

基本形體的尺寸一般只需標(biāo)注長、寬、高三個方向的定形尺寸。

圖3.47基本形體的尺寸標(biāo)注示例圖3.47基本形體的尺寸標(biāo)注示例

2)切割形體的尺寸標(biāo)注

圖3.48所示為一些切割形體尺寸標(biāo)注的示例。

當(dāng)標(biāo)注被截切立體的尺寸時，應(yīng)標(biāo)注基本形體的定形尺寸，并標(biāo)注確定截平面位置的定位尺寸，而不標(biāo)注截交線的尺寸。

圖3.48切割形體的尺寸標(biāo)注示例

3)相交形體的尺寸標(biāo)注

圖3.49所示為一些相交形體尺寸標(biāo)注的示例。

當(dāng)標(biāo)注相交形體的尺寸時，只標(biāo)注各個參與相交的基本形體的定形尺寸以及確定參與相交的基本形體之間的定位尺寸，而不標(biāo)注相貫線的尺寸。

圖3.49相交形體的尺寸標(biāo)注示例

3．標(biāo)注尺寸步驟

1)形體分析

形體分析即分析組成組合體的各基本形體的形狀、大小和相對位置關(guān)系，以便根據(jù)各基本形體的特點標(biāo)注尺寸。

2)選定尺寸基準(zhǔn)

為了確定組合體各部分之間的相對位置的定位尺寸，必須確定尺寸基準(zhǔn)。通常選用組合體的對稱面、底面、端面、軸線或某個點等幾何元素作為尺寸基準(zhǔn)，如圖3.50所示。

圖3.50組合體的尺寸基準(zhǔn)

3)分別標(biāo)注出各部分的定形、定位尺寸

標(biāo)注組合體各部分的定形尺寸及定位尺寸，如圖3.51所示。

4)標(biāo)注總體尺寸

標(biāo)注組合體的總長、總寬和總高尺寸。如圖3.51所示，標(biāo)注總寬尺寸36，總長尺寸72，總高尺寸不必標(biāo)注。

5)檢查標(biāo)注是否完整

檢查一遍標(biāo)注尺寸是否完整、清晰。

圖3.51組合體的尺寸標(biāo)注

4．標(biāo)注尺寸的注意點

(1)尺寸應(yīng)盡量標(biāo)注在形體特征最明顯的視圖上。如圖3.51中R10、R5標(biāo)注在俯視圖上。

(2)同一基本體的定形和定位尺寸應(yīng)盡量集中在一個視圖上。如圖3.51中凸臺的定形尺寸和定位尺寸都集中標(biāo)注在俯視圖上。

(3)平行并列尺寸應(yīng)小