高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)

二次函數(shù)〔一〕1.二次函數(shù)的定義與解析式①一般式：__________________.②頂點式：__________________,頂點為______.③零點式：____________________,其中_______是方程ax2+bx+c=0的兩根.y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(m,n)憶一憶知識要點(1)二次函數(shù)的定義

形如:f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).(2)二次函數(shù)解析式的三種形式x1,x2①對稱軸:______②頂點:_________2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象函數(shù)性質(zhì)定義域x∈R(個別題目有限制的,由解析式確定)值域a>0a<0奇偶性b＝0時為偶函數(shù)，b≠0時既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)單調(diào)性a>0a<0圖象特點上遞減上遞增上遞增上遞減憶一憶知識要點3.與坐標(biāo)軸的交點①與y軸的交點是________;②當(dāng)Δ>0時，與x軸兩交點的橫坐標(biāo)x1、x2分別是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根．且|x1-x2|=______;

③當(dāng)Δ＝0時,與x軸切于一點________;

④當(dāng)Δ<0時，與x軸_______．不相交(0,c)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)憶一憶知識要點4.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值(2)假設(shè)[m,n],那么①當(dāng)

x0<m

時,f(x)min=f(m);②當(dāng)

x0>n

時,f(x)min=f(n).(1)假設(shè)∈[m,n],那么f(x)min=f(x0)=③當(dāng)

x0<時,f(x)max=f(n);④當(dāng)

x0>時,f(x)max=f(m);求二次函數(shù)的解析式【例1】二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)．二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)；(3)兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．函數(shù)的類型(模型),求其解析式,用待定系數(shù)法,根據(jù)題設(shè)恰中選用二次函數(shù)解析式的形式,可使解法簡捷．題型二二次函數(shù)單調(diào)性問題題型三二次函數(shù)最值問題小結(jié)：一般分以下四種情況討論：二次函數(shù)〔二〕Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有兩不等實根x1,x2{x|x<x1,x>x2}有兩相等實根x1=x2無實根{x|x≠x1}R1.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系{x|x1<x<x2}??2.不等式

ax2+bx+c>0

恒成立問題①

ax2+bx+c>0在R上恒成立

③

f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)min>0(x∈[m,n])②

ax2+bx+c<0在R上恒成立

④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)max<0(x∈[m,n])要點梳理那么問題轉(zhuǎn)化為m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在區(qū)間［2，3］上恒成立，〔1〕參變別離法例1.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,那么實數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問題【評注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)⒉坏仁街械淖兞亢蛥?shù)進行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題．問題等價于f(x)max≤0,解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo〔2〕轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值例1.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,那么實數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問題那么解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo例1.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,那么實數(shù)m的取值范圍是_______.〔３〕數(shù)形結(jié)合思想不等式恒成立問題練習(xí)二：與直線y=k有交點,xy-11Y=k例2.假設(shè)方程x2-2x=k在區(qū)間[-1,1]上有解,那么實數(shù)k的取值范圍為_____________.-1≤k≤3由圖象，得例4.設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切值都恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.解：設(shè)f(m)=mx2-2x-m+1,【點評】解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù).一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).那么f(m)是一個以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象是直線，由題意知該直線當(dāng)-2≤m≤2時，線段在x軸下方,所以實數(shù)x的取值范圍是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例2】函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)當(dāng)a＝－2時，求f(x)的最值；(2)求實數(shù)a的取值范圍,使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a＝1時,求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間．應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在區(qū)間[0,1]內(nèi)有一個最大值－5，求a的值．①方程

f(x)=0

有兩正根

②方程

f(x)=0

有兩負(fù)根

③方程

f(x)=0

有一正根一負(fù)根

記

f(x)=ax2+bx+c(a>0)1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)實根分布問題二次方程的根的分布問題根的分布圖象等價條件根的分布圖象等價條件根的分布圖象等價條件兩個實根有且僅有一根在區(qū)間內(nèi)二次方程的根的分布問題的解題過程如下：1、作與二次方程對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象2、根據(jù)圖象列不等式組，主要包括以下三個方面：①判別式；②對稱軸；③區(qū)間端點函數(shù)值的正負(fù)〔這三方面是否全寫視具體題目而定〕3、根據(jù)所列不等式組再畫圖，與前一次所作圖象