拋物線中的面積問(wèn)題

拋物線中的面積問(wèn)題提出問(wèn)題: 1.中考試題

如圖1，拋物線y

=

ax2

+

bx

+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A〔－4，0〕、B〔2，0〕，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．E〔1，2〕為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．〔1〕求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△EFK的面積最大？并求出最大面積．2.參考答案〔1〕解析式為，D點(diǎn)坐標(biāo)為〔－1，〕．〔2〕探求得直線EF的解析式為y

=x

+．設(shè)K〔t，〕，xF＜t＜xE．過(guò)K作x軸的垂線交EF于N．那么

KN

=

yK－yN

=－〔t

+〕=．∴S△EFK

=

S△KFN

+

S△KNE

=KN〔t

+3〕+KN〔1－t〕=2KN

=

－t2－3t

+5=－〔t

+〕2

+．即當(dāng)t

=－時(shí)，△EFK的面積最大，最大面積為，此時(shí)K〔－，〕．面積問(wèn)題是近幾年中考的熱點(diǎn)之一，常結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)、四邊形、相似形等知識(shí)而命題，具有一定的綜合性.在歷屆中考試題的解答中，一般都通過(guò)分割，建立面積函數(shù)，用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題．這些分割方法通常比擬麻煩，有時(shí)還回避不了分類(lèi)討論．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，這些問(wèn)題通?？梢苑譃閮深?lèi)，都可以用簡(jiǎn)單的平移法來(lái)解決．解法來(lái)源：1.書(shū)本習(xí)題：如圖2，直線L1∥L2,△ABC和△DBC面積相等嗎？你還能畫(huà)出一些與△ABC面積相等的三角形嗎？2.習(xí)題解答：顯然，△ABC和△DBC面積相等，原因是這兩個(gè)三角形同底等高．直線l1上任意一點(diǎn)P與B、C兩點(diǎn)構(gòu)成的△PBC與△ABC面積總相等．3.習(xí)題啟示：可以通過(guò)平行線，把三角形等積變形為其他更有利于解決問(wèn)題的三角形．解法探究：一、動(dòng)點(diǎn)在直線上，利用平行線，通過(guò)等積變形建立函數(shù)模型．例1.〔2009?濟(jì)南〕：拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A〔﹣3，0〕，C〔0，﹣2〕〔1〕求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕在對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最?。?qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合〕．過(guò)點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E．連接PD、PE．設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說(shuō)明S是否存在最大值？假設(shè)存在，請(qǐng)求出最大值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1〕拋物線的解析式為〔2〕連接AD，∵

∴，∴即，∴

∴

∴==\∴當(dāng)=1時(shí)，評(píng)：此題的動(dòng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有采用分割的方法也沒(méi)有分類(lèi)討論，而是利用題目先天的∥條件，把等積變形為一邊在坐標(biāo)軸上的，便于表示的面積，建立函數(shù)模型解決問(wèn)題．解題策略：上面例題是動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，利用天然的平行條件，通過(guò)等積變形，把三角形轉(zhuǎn)化為有一邊在坐標(biāo)軸上的三角形，從而比擬簡(jiǎn)潔地建立函數(shù)模型，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題．不必分割，不必分類(lèi)．二、動(dòng)點(diǎn)在拋物線上動(dòng)，構(gòu)建平行線，通過(guò)等積變形建立方程模型．例2．〔2010恩施〕如圖5，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B〔3，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于C〔0，-3〕點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．〔1〕求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．〔2〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形

ABPC的面積最大并求出最大面積.解：〔1〕函數(shù)表達(dá)式為．〔2〕因S△ABC=6，∴當(dāng)△BPC的面積最大時(shí)，四邊形

ABPC的面積最大．作PQ∥BC交y軸于點(diǎn)Q，那么S△BPC=S△BQC

，△BQC高OB為定值，所以當(dāng)PQ平移到使得CQ取得最大值時(shí)，△BQC的面積最大，此時(shí)直線PQ和拋物線恰好一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線PQ：，得方程，當(dāng)△=時(shí)，，

m=，∴S△BQC=．評(píng)：本例是動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有天然的平行條件，采用構(gòu)造平行線的方法，等積變形為有一邊在坐標(biāo)軸上的圖形，建立方程模型解決問(wèn)題．再來(lái)看看課前四川綿陽(yáng)的那道中考題該怎樣完整地解決？解：圖7，探求得F點(diǎn)坐標(biāo)為〔-3,0〕，直線EF為y

=x

+．過(guò)K點(diǎn)作EF的平行線，交y軸于M點(diǎn)，設(shè)直線KM的解析式為y

=x

+b，△EFK的邊EF為定值，又CE=EB，平移直線KM可知，當(dāng)KM與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，△EFK的高取得最大值，從而面積最大．由方程得△=0，得，

，

K點(diǎn)坐標(biāo)〔，〕，S△EFK

=S△EFM=評(píng)：動(dòng)點(diǎn)K在拋物線上運(yùn)動(dòng)，構(gòu)建平行線后，雖然不能轉(zhuǎn)化為有一邊在坐標(biāo)軸上的三角形，但是依然可以通過(guò)平移直線的方法建立方程模型解決問(wèn)題．K點(diǎn)和M點(diǎn)雖然都是動(dòng)點(diǎn)，但卻有本質(zhì)的區(qū)別，M點(diǎn)只能在y軸上上下移動(dòng)，但一定在E、F之間，所以不必分類(lèi)，但K點(diǎn)卻是上下左右都移動(dòng)，完全可能不在E、F之間，那就必須分類(lèi)討論．以上解法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是利用平行線或構(gòu)造平行線，實(shí)際是平移思想的具體運(yùn)用．用平移的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，會(huì)使問(wèn)題顯得簡(jiǎn)單、易理解，許多問(wèn)題可以通過(guò)平移直線來(lái)解決。穩(wěn)固練習(xí)：1．〔2010宜賓〕如圖6，將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(–3，0)．(1)

求該拋物線的解析式；(2)

假設(shè)點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)△APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)

在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G，使△AGC的面積與〔2〕中△APE的最大面積相等?請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)y=–x2+x+6????4分(2)〔，0〕(3)〔，〕，〔，〕簡(jiǎn)析：此題的第〔2〕是動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，利用天然的PE∥AB條件，把S△APE轉(zhuǎn)化為一邊在x軸上的S△BPE，建立函數(shù)模型解決問(wèn)題．第〔3〕題是動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，直接求出直線HG的解析式，更顯此法的優(yōu)越性．2．〔2013?棗莊〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為〔3，0〕，與y軸交于C〔0，﹣3〕點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．〔1〕求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．〔2〕連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．解：〔1〕將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得ACBOPACBOPyxP′E第25題圖1所以二次函數(shù)的解析式為.…………………3分〔2〕如圖1，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形，連接交CO于點(diǎn)E．∵四邊形為菱形，ABO·Pyx第25題圖2(備用)CABO·Pyx第25題圖2(備用)CNM∴OE=EC=，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.……5分由=，得〔不合題意，舍去〕所以存在這樣的點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為〔，〕.…………7分〔3〕如圖2，連接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔x，〕，由=0，得點(diǎn)A坐標(biāo)為〔－1，0〕.∴AO=1，OC=3，O