河南省三門峽市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次大練習(xí)（期末）數(shù)學(xué)（文科）試題

20222023學(xué)年度上學(xué)期高三第一次大練習(xí)數(shù)學(xué)（文科）第I卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，，因此，.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.4 C.17 D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式運算求解.【詳解】∵，則，∴故選：A.3.若，都是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可得正確選項.【詳解】若，則，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，滿足，但，無意義得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.4.已知與之間的線性回歸方程為，其樣本點的中心為，樣本數(shù)據(jù)中的取值依次為2.5，，3.4，4.2，5.4，則（）A.2 B.2.8 C.3 D.3.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點求出，再根據(jù)平均數(shù)的算法可求m.【詳解】因為線性回歸方程過樣本中心點，所以，所以.故選：C.5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2022這2022個數(shù)中，能被3除余1且被4除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為（）A.167 B.168 C.169 D.170【答案】C【解析】【分析】由題意可得，令，運算分析即可得答案.【詳解】由題意可得：能被3除余1且被4除余1的數(shù)即為被12除余1的數(shù)，故，令，解得，故此數(shù)列的項數(shù)為169.故選：C.6.若滿足，則的最大值為（）A.1 B.3 C.5 D.9【答案】B【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找出目標(biāo)函數(shù)取得最大值時的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計算即可．【詳解】出不等式組所表示的可行域如下圖所示，令，聯(lián)立，得，則點，平移直線，由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在y軸上的截距最大，此時取得最大值，即．故選：B．7.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則（）A. B. C.4 D.4【答案】A【解析】【分析】作出圖形，取單位向量，從而可用分別表示出向量,再由根據(jù)平面向量基本定理即可建立關(guān)于的二元一次方程組，解出，從而得出的值．【詳解】設(shè)網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，在網(wǎng)格線上取互相垂直的單位向量，如圖所示，則有，，，由，得，則，解得，∴.故選：A8.函數(shù)在的圖像大致是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷奇偶性，然后通過計算導(dǎo)函數(shù)在特殊點的導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)來判斷相應(yīng)結(jié)果.【詳解】因為定義域關(guān)于原點對稱且，所以是偶函數(shù)，排除A、C；又因為，所以，所以時對應(yīng)的切線斜率大于零，所以排除D，故選B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的辨別，難度一般.辨別函數(shù)圖象一般可通過奇偶性、單調(diào)性、特殊點位置、導(dǎo)數(shù)值正負(fù)對應(yīng)的切線斜率變化等來判斷.9.某市1路、9路公交車的站點均包括育才學(xué)校站和舒馨嘉園小區(qū)站，1路公交車每10分鐘一趟，9路公交車每20分鐘一趟，若育才學(xué)校的學(xué)生小明坐這2趟公交車回居住的舒馨嘉園小區(qū)，則他等車不超過5分鐘的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)1路車到達(dá)時間為，9路到達(dá)時間為，則可以看作平面中的點，求出全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的面積，及滿足條件等車時間不超過5分鐘的基本事件對應(yīng)平面區(qū)域的面積，代入幾何概型公式，即可得到答案.【詳解】設(shè)1路車到達(dá)時間為，9路到達(dá)時間為，則可以看作平面中的點，如圖所示，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為且，這是一個長方形區(qū)域，面積為，事件表示小明等車時間不超過5分鐘，所構(gòu)成的區(qū)域為或，即圖中的陰影部分，面積為，代入幾何概型概率公式，可得.故選：C．10.已知函數(shù)的最小正周期為，且滿足，則要得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】依題意可得，且是的一條對稱軸，即可求出的值，然后利用誘導(dǎo)公式將的解析式化為與同名同號的三角函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移規(guī)則“左加右減”得到結(jié)論.【詳解】解：由已知得，由可知直線是函數(shù)的一條對稱軸，∴，又∵，∴，，所以要得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，故選：.11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，直線與的一個交點為，與軸交于點，若，且直線的斜率滿足，則點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，，由得，由得，聯(lián)立方程組可求m，從而可得G點坐標(biāo)．【詳解】如圖，由已知有，設(shè)，，，則有，因為，所以，即又因為，所以，則有，所以，解得：，所以．故選：C．12.已知直線分別與函數(shù)和交于、兩點，則、之間的最短距離是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：求出兩點的橫坐標(biāo)，作差后用導(dǎo)數(shù)可求得最小值．詳解：由得，由得，其中，設(shè)，，在時，由得，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴時，取極小值也是最小值．故選D．點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求最值，解題時，需把兩點的橫坐標(biāo)用表示出來，然后求出，再由導(dǎo)數(shù)求最小值．本題難度一般，應(yīng)該是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)題．第II卷（非選擇題）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)數(shù)列中，若等比數(shù)列滿足，且，則____________.【答案】16【解析】【分析】根據(jù)題意利用累積法結(jié)合等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)運算求解.【詳解】∵，則，∴.故答案為：16.14.某公司一年購買某種貨物噸，每次購買噸，運費為萬元/次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是__________．【答案】【解析】【詳解】總費用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故答案為30.點睛:在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．15.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，線段與另一條漸近線交于點，且的面積是面積的2倍，則該雙曲線的漸近線方程為_____________.【答案】【解析】【分析】找出圖中的幾何關(guān)系，證明Q點是的中點，再利用雙曲線的幾何性質(zhì)和條件求解.【詳解】是直徑，，過一三象限的漸近線方程為，設(shè)，，則有，解得：，，又，是的中點，即，并且Q點在雙曲線二四象限的漸近線上，，解得，漸近線方程為；故答案為：.16.若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】參變分離后令，則根據(jù)已知可得，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可得出答案.【詳解】，，，，令，則若關(guān)于的不等式有解，則，，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則，則，故實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，第22、23題為選考題.必考題：60分.17.已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前和為，，.（1）求及；（2）求的值，使得.【答案】（1）2，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，再求出數(shù)列的通項公式，用等差數(shù)列的求和公式求；（2）由（1）的結(jié)論，把表示為與的等式，結(jié)合分析運算.【小問1詳解】由，可得，把代入得，解得或，因為，所以，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，由，得，且，所以，解得.18.的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).（1）求A；（2）若，且成等差數(shù)列，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用正弦定理和余弦定理求解；（2）根據(jù)條件由正弦定理和余弦定理求出，再用三角形面積公式計算.【小問1詳解】由題意，，由正弦定理得：∴，即，∴，在中，，∴；【小問2詳解】∵，且成等差數(shù)列，，由正弦定理得：，又由（1）知，∴，∴的面積；綜上，，的面積為.19.某果園新采摘了一批蘋果，從中隨機(jī)抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），將重量按照進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）.（1）估計這批蘋果的重量的平均數(shù)；（2）該果園準(zhǔn)備把這批蘋果銷售給一家超市，據(jù)市場行情，有兩種銷售方案；方案一：所有蘋果混在一起，價格為2.5元/千克；方案二：將不同重量的蘋果分開，重量不小于160克的蘋果的價格為3元/千克，重量小于160克的蘋果的價格為2元/千克，但果園需支付每1000個蘋果5元的分揀費.分別估計并比較兩種方案下果園銷售10000個蘋果的收入.【答案】（1）平均數(shù)約為159.6克（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1列出方程，求出，進(jìn)而求出平均數(shù)；（2）計算出兩種方案的銷售收入，比較后得到結(jié)論.【小問1詳解】由題意，得，解得，50個蘋果重量的平均數(shù)為，故估計這批蘋果的重量的平均數(shù)約為159.6克；【小問2詳解】若采用方案一，估計銷售收入約為（元）若采用方案二，重量小于160克的蘋果的總重量約為（千克），重量不小于160克的蘋果的總重量約為（千克）,估計銷售收入約為（元）,因為，因此，方案二的銷售收入更高.20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，正實數(shù)a?b滿足，求證：.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：（2）證明見解析【解析】【分析】(1)先求出，然后求出，通過討論的正負(fù)，進(jìn)而得到的單調(diào)區(qū)間；(2)由題意，化簡得，然后，設(shè)，，進(jìn)而通過討論的最小值，得到的最小值，進(jìn)而證明成立.【小問1詳解】由已知得，，，其中，，令，可得，，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：.【小問2詳解】，，所以，，，整理得，，令，則可設(shè)得，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，，進(jìn)而得到，得到或，又因為由題意得，所以，，題目得證.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵在于，化簡得到后，通過設(shè)，，通過討論的最值情況，利用等量代換，得到的最值情況，進(jìn)而證明成立，等量代換時該題解題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)換，屬于難題.21.已知橢圓右頂點為A，上頂點為，為坐標(biāo)原點，點到直線的距離為，的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓交于兩點，若直線直線，設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）用表示出直線AB的方程，根據(jù)點O到直線AB的距離及的面積，求得，即可得解；（2）設(shè)直線l的方程為，，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得,利用斜率公式得，化簡可得定值.【小問1詳解】直線的方程為，即，則，因為的面積為，所以，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）可得：直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，得，依題意得：，，所以所以為定值.【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線與曲線兩交點所在直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線過點且與直線:平行，直線與曲線相交于A，B兩點，求的值.【答案】（1）()；（2）.【解析】【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，兩個方程相減即可得兩曲線交點所在直線的方程，化為極坐標(biāo)方程即可；（2）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求出斜率，即可得直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線的普通方程得關(guān)于的一元二次方程，設(shè)A，B兩點的參數(shù)為，，即可求解.【詳解】（1）由(為參數(shù))，消去參數(shù)，得曲線的普通方程為：，由，得，得曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即.所以兩方程相減可得交線，所以直線的極坐標(biāo)方程為.（2）由:，得，∴直線l的直角坐標(biāo)方程：，直線l的斜率為，所以直線的斜率為，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))將直線的參數(shù)方程代入曲線，中，得.設(shè)A，B兩點的參數(shù)為，，∴，，則，異號.∴.【點睛】方法點睛：將參數(shù)方程化為普通方程消參的3種方法（1）利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入消參；（2）利用三角恒等式消去參數(shù)；（3）根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活選用一些方法從整體上消去參數(shù).【選修4