吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春外校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20202021學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷(理)出題人：趙天審題人：王云峰本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)2.直線與圓的位置關(guān)系()A．相切B．相交，但直線不過(guò)圓心C．直線過(guò)圓心D．相離3.設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，則過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)是()A．B．C． D．4.將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝05.若x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y≤3，,x≥0，))則2x＋y的最大值為()A．0B．3C．4D．56．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b＞0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)x C．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x7.已知橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1的弦被點(diǎn)平分，那么這條弦所在的直線方程為()A．B．C．D．8.圓與圓的公切線，有（）A．1條B．2條C．3條D．4條9.設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]10.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，若，則的面積為()A．B．C． D．11.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，，則()A.4B．4C.4D．412.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，則E的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\f(3,2)C.eq\r(3)D．2第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分。13.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，eq\r(5))在圓C上，且圓心到直線的距離為eq\f(4\r(5),5)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________;14．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，eq\r(3))，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______________;15．已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則m＝________;16.已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線的距離為d2，求d1＋d2的最小值為_(kāi)__________．三、解答題：本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知拋物線y2＝2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4，－4eq\r(2))，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2，求拋物線與雙曲線的方程.18.（12分)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，1)，離心率為eq\f(\r(2),2)，過(guò)點(diǎn)B(0，－2)及左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)設(shè)為F2.（1）求橢圓的方程；（2）求△CDF2的面積．19.(12分)已知圓上上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，垂足為，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段中點(diǎn)為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線l的方程為y＝x－1，與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng).20．（12分）已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn).（1）若直線的傾斜角為，求線段的長(zhǎng)；（2）若，求的長(zhǎng).21.（12分）已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．（1）求x＋y的最大值和最小值；（2）求eq\f(y,x)的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值．22.（12分）已知橢圓C1的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1，雙曲線C2的左，右焦點(diǎn)分別是C1的左，右頂點(diǎn)，而C2的左，右頂點(diǎn)分別是C1的左，右焦點(diǎn)．（1）求雙曲線C2的方程；（2）若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與雙曲線C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍．長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20202021學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷(理)參考答案一、選擇題123456789101112DBDCCCABCBAA二、填空題13.14.15.16.三、解答題17、（1）(2)18.(1)(2)△CDF2的面積19.（1）M的軌跡方程為（2）.[來(lái)20.解：（1）;（2）.21.(1)設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距．由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值為eq\r(2)－1，最小值為－eq\r(2)－1.(2)eq\f(y,x)可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過(guò)原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率．設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3).∴eq\f(y,x)的最大值為－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值為－2－eq\f(2\r(3),3).(3)求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(0,0)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，－3)到定點(diǎn)(0,0)的距離與半徑的和或差．又圓心到定點(diǎn)(0,0)的距離為，∴的最大值為＋1，最小值為－1.22.(1)設(shè)雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故C2的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)將y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝－6\r(2)k2＋361－3k2＝361－k2>0，))∴k2≠eq\f(1,3)且k2<1.①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq\f(－9,1－3k2).∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq\r(2))(kx2＋eq\r(2))＝(k2＋1)x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq