求極限的常用方法課件

求極限的常用方法課件contents目錄極限概念及其性質(zhì)序列求極限方法函數(shù)求極限方法多元函數(shù)求極限技巧應(yīng)用實(shí)例分析與討論總結(jié)回顧與拓展延伸極限概念及其性質(zhì)01極限定義當(dāng)自變量趨近于某一點(diǎn)或無窮時(shí)，函數(shù)值趨近于某一常數(shù)，則稱該常數(shù)為函數(shù)在該點(diǎn)的極限。幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)處的極限，可以看作是該點(diǎn)附近函數(shù)圖像的變化趨勢。當(dāng)自變量趨近于該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值越來越接近極限值，函數(shù)圖像也越來越接近極限值對應(yīng)的水平直線。極限定義及幾何意義若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)被兩個函數(shù)夾逼，且這兩個函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在且相等，則該函數(shù)在該點(diǎn)的極限也存在且等于這兩個函數(shù)的極限值。若函數(shù)在某點(diǎn)的極限為不確定型，則可以通過求導(dǎo)數(shù)的極限來得到原函數(shù)的極限值。極限存在性定理洛必達(dá)法則夾逼定理當(dāng)自變量趨近于某一點(diǎn)或無窮時(shí)，函數(shù)值趨近于零的函數(shù)稱為無窮小。無窮小當(dāng)自變量趨近于某一點(diǎn)或無窮時(shí)，函數(shù)值趨于正無窮或負(fù)無窮的函數(shù)稱為無窮大。無窮大無窮小與無窮大概念極限的四則運(yùn)算法則若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則可以通過四則運(yùn)算法則求得該函數(shù)與其他函數(shù)在該點(diǎn)的極限值。復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算和復(fù)合得到的，則可以通過分解復(fù)合函數(shù)的方法，求得該函數(shù)在某點(diǎn)的極限值。極限運(yùn)算法則序列求極限方法02若存在兩個收斂序列，使得原序列始終位于這兩個收斂序列之間，則原序列收斂，且極限值等于這兩個收斂序列的極限值。夾逼定理通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，將原序列夾在兩個易于求極限的序列之間，從而求得原序列的極限。放大縮小法夾逼原理單調(diào)遞增（或遞減）且有上界（或下界）的序列必定收斂。單調(diào)有界定理通過構(gòu)造函數(shù)或不等式，將原序列轉(zhuǎn)化為單調(diào)有界序列，從而求得原序列的極限。構(gòu)造法單調(diào)有界原理定積分求和公式對于某些特殊形式的序列，可以通過定積分求和公式求得其極限值。積分估值法通過積分估值定理，將序列求和轉(zhuǎn)化為定積分求解，從而得到序列的極限值。定積分求和法VS對于具有遞推關(guān)系的序列，可以通過遞推關(guān)系式求得其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得極限值。特征根法對于線性遞推關(guān)系式，可以通過求解其特征根，得到通項(xiàng)公式，從而求得序列的極限值。遞推關(guān)系式遞推關(guān)系式求解法函數(shù)求極限方法03將函數(shù)中的自變量直接代入所求的極限值，計(jì)算函數(shù)值即為極限值。定義適用范圍注意事項(xiàng)適用于初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)處求極限。若代入后計(jì)算結(jié)果為無窮大或無法確定，則不能直接代入，應(yīng)考慮其他方法。030201直接代入法通過因式分解、約分等方法消去函數(shù)表達(dá)式中的零因子，再求極限。定義適用于函數(shù)表達(dá)式中存在零因子的情況，如“0/0”型或“∞/∞”型等。適用范圍消去零因子后，應(yīng)驗(yàn)證所得結(jié)果是否與原函數(shù)表達(dá)式等價(jià)，以避免出錯。注意事項(xiàng)消去零因子法適用范圍適用于“0/0”型或“∞/∞”型等不定式極限的計(jì)算。定義利用導(dǎo)數(shù)和極限的關(guān)系，通過求導(dǎo)計(jì)算極限值的方法。注意事項(xiàng)在使用洛必達(dá)法則之前，應(yīng)先驗(yàn)證函數(shù)是否滿足法則的使用條件；同時(shí)，洛必達(dá)法則并非萬能，有些情況下可能無法使用或得到錯誤結(jié)果。洛必達(dá)法則適用范圍適用于較復(fù)雜的函數(shù)求極限，尤其是當(dāng)函數(shù)不易直接代入或消去零因子時(shí)。注意事項(xiàng)在使用泰勒公式法時(shí)，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和所求極限的特點(diǎn)選擇合適的展開點(diǎn)和展開階數(shù)，以保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。定義利用泰勒公式將函數(shù)展開成多項(xiàng)式形式，再求極限的方法。泰勒公式法多元函數(shù)求極限技巧04當(dāng)多元函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，可直接代入該點(diǎn)的坐標(biāo)值求解極限。直接代入法當(dāng)多元函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)時(shí)，需選擇不同路徑趨近于該點(diǎn)，并分別求解極限，判斷其是否存在且相等。路徑選擇法利用夾逼定理求解多元函數(shù)的極限，需找到兩個一元函數(shù)，使得被求函數(shù)在這兩個函數(shù)之間，并證明這兩個函數(shù)的極限相等。夾逼定理法路徑選擇與判斷技巧通過消元將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，從而簡化計(jì)算過程。常用方法有拉格朗日乘數(shù)法和極坐標(biāo)變換法等。利用等價(jià)無窮小替換法將多元函數(shù)中的復(fù)雜項(xiàng)替換為簡單項(xiàng)，從而簡化計(jì)算過程。需注意替換的合法性和替換后的精度問題。消元法等價(jià)無窮小替換法轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)進(jìn)行處理向量的模長與方向利用向量的模長和方向的性質(zhì)，將多元函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為向量的極限問題，從而簡化計(jì)算過程。向量的點(diǎn)積與叉積利用向量的點(diǎn)積和叉積的性質(zhì)，將多元函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問題，降低計(jì)算難度。需注意運(yùn)算的合法性和運(yùn)算后的精度問題。利用向量運(yùn)算性質(zhì)簡化計(jì)算過程應(yīng)用實(shí)例分析與討論05物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度可以通過求極限得到，即物體在極短時(shí)間內(nèi)通過的位移與時(shí)間的比值。瞬時(shí)速度物體的密度可以通過求極限得到，即物體的質(zhì)量與其體積的比值在體積趨近于零時(shí)的極限。密度點(diǎn)電荷在某一點(diǎn)的電場強(qiáng)度可以通過求極限得到，即點(diǎn)電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場力與該點(diǎn)距離的比值在距離趨近于零時(shí)的極限。電場強(qiáng)度物理問題中遇到的各類極限求解實(shí)例應(yīng)力分析在工程中，構(gòu)件的應(yīng)力分析需要考慮極限狀態(tài)，如構(gòu)件的極限承載能力、極限變形等，這些都可以通過求極限得到。要點(diǎn)一要點(diǎn)二優(yōu)化設(shè)計(jì)在機(jī)械、土木等工程領(lǐng)域，經(jīng)常需要優(yōu)化設(shè)計(jì)，如最小成本、最大效益等問題，這些都可以通過求極限來解決。工程問題中涉及到的極限求解案例參數(shù)估計(jì)在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中，需要對模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，這些參數(shù)往往是某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的極限值，如市場需求、供給的極限等。優(yōu)化問題經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中經(jīng)常涉及到優(yōu)化問題，如最大化利潤、最小化成本等，這些都可以通過求極限來解決。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中相關(guān)參數(shù)估計(jì)和優(yōu)化問題總結(jié)回顧與拓展延伸06回顧極限的ε-δ定義、數(shù)列極限的定義等，加深對極限概念的理解。極限的定義總結(jié)極限的保號性、唯一性、有界性等性質(zhì)，及其在求極限過程中的應(yīng)用。極限的性質(zhì)回顧直接代入法、無窮小替換法、洛必達(dá)法則等求極限的方法，掌握其適用條件和步驟。求極限的常用方法關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧計(jì)算錯誤01分析在求極限過程中因計(jì)算失誤導(dǎo)致的錯誤，如加減乘除運(yùn)算錯誤、指數(shù)對數(shù)運(yùn)算錯誤等，提出避免策略。概念理解錯誤02辨析在理解極限概念時(shí)可能出現(xiàn)的誤區(qū)，如將無窮大與無界混淆、忽視極限存在的條件等，強(qiáng)調(diào)正確理解概念的重要性。方法選擇不當(dāng)03討論在選擇求極限方法時(shí)可能出現(xiàn)的偏差，如盲目使用洛必達(dá)法則、忽視等價(jià)無窮小替換的條件等，強(qiáng)調(diào)根據(jù)具體問題選擇合適的方法。常見錯誤類型辨析及避免策略探討導(dǎo)數(shù)與微分概念