《5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本節(jié)內(nèi)容通對(duì)復(fù)合函數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步提高導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算能力，同時(shí)提升學(xué)生為運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題，打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法的滲透。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.了解復(fù)合函數(shù)的概念．B．理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)合函數(shù)2.邏輯推理：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【教學(xué)過(guò)程】【教學(xué)反思】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、新知探究探究1.如何求y=解析：方法一：y=y'=若求y=(1+x)探究2.如何求y=ln?(2x-1)

分析：函數(shù)y=ln?(2x-1)不是由基本所以無(wú)法用現(xiàn)有的方法求它的導(dǎo)數(shù)，下面，我們分析這個(gè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)若設(shè)從而經(jīng)過(guò)如果把那么這個(gè)“若設(shè)1．復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作__________．y＝f(g(x))思考：函數(shù)y＝log2(x＋1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？[提示]函數(shù)y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的．探究3：求函數(shù)y=sin2x分析：令u=2x,得y=sinu以yx'表示y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，yu'表示yx'=(sin2x

=

2cosx?cosx+sinx?(-sinx)=2(cos2x-sin另一方面yu'=(sinu

)’=可以發(fā)現(xiàn)yx'=cosu?2=

yu2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝______，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于________________________________．y′u·u′x;y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的;乘積1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝sin(πx)的復(fù)合過(guò)程是y＝sinu，u＝πx．()(2)f(x)＝ln(3x－1)則f′(x)＝eq\f(1,3x－1)．()(3)f(x)＝x2cos2x，則f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．()[提示](2)中f′(x)＝eq\f(3,3x－1).(3)中，f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x.[答案](1)√(2)×(3)×2．函數(shù)y＝eq\f(1,3x－12)的導(dǎo)數(shù)是()A．eq\f(6,3x－13)B．eq\f(6,3x－12)C．－eq\f(6,3x－13)D．－eq\f(6,3x－12)C[∵y＝eq\f(1,3x－12)，∴y′＝－2×eq\f(1,3x－13)×(3x－1)′＝－eq\f(6,3x－13).]3．下列對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)正確的是()A．y＝(1－2x)3，則y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，則y′＝eq\f(1,2x＋1ln2)C．y＝coseq\f(x,3)，則y′＝eq\f(1,3)sineq\f(x,3)D．y＝22x－1，則y′＝22xln2D[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A錯(cuò)誤；B中，y′＝eq\f(2,2x＋1ln2)，∴B錯(cuò)誤；C中，y′＝－eq\f(1,3)sineq\f(x,3)，∴C錯(cuò)誤；D中y′＝22x－1ln2×(2x－1)′＝22xln2.故D正確．]典例解析例6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y=（2）y=(3)y=ln?(2x-1)解：（1）函數(shù)y=yx'=yu'?ux'=（2）函數(shù)y=yx'=yu'?ux（3）函數(shù)y=yx'=yu'?ux1．解答此類問(wèn)題常犯兩個(gè)錯(cuò)誤(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)；(2)若是復(fù)合函數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成．2．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝e2x＋1；(2)y＝eq\f(1,2x－13)；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝eq\f(ln3x,ex).[解](1)函數(shù)y＝e2x＋1可看作函數(shù)y＝eu和u＝2x＋1的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y(tǒng)′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函數(shù)y＝eq\f(1,2x－13)可看作函數(shù)y＝u－3和u＝2x－1的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y(tǒng)′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－eq\f(6,2x－14).(3)函數(shù)y＝5log2(1－x)可看作函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝eq\f(－5,uln2)＝eq\f(5,x－1ln2).(4)∵(ln3x)′＝eq\f(1,3x)×(3x)′＝eq\f(1,x).∴y′＝eq\f(ln3x′ex－ln3xex′,ex2)＝eq\f(\f(1,x)－ln3x,ex)＝eq\f(1－xln3x,xex).例7某個(gè)彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中的位移y(單位:mm),關(guān)于時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)滿足關(guān)系式y(tǒng)=18sin?(2π求函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義。解：函數(shù)y=18sin?(2π3yt'=yu'=18cosu×2π3當(dāng)t=3時(shí)，y它表示當(dāng)t=3s時(shí)，彈簧振子振動(dòng)的瞬時(shí)速度為0mm/s跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝coseq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)－cos\f(x,2)))；(2)y＝x2＋tanx.[思路探究]先將給出的解析式化簡(jiǎn)整理，再求導(dǎo)．[解](1)∵y＝coseq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)－cos\f(x,2)))＝coseq\f(x,2)sineq\f(x,2)－cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)sinx－eq\f(1,2)(1＋cosx)＝eq\f(1,2)(sinx－cosx)－eq\f(1,2)，∴y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx－cosx－\f(1,2)))eq\s\up24(′)＝eq\f(1,2)(sinx－cosx)′＝eq\f(1,2)(cosx＋sinx)．(2)因?yàn)閥＝x2＋eq\f(sinx,cosx)，所以y′＝(x2)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))eq\s\up24(′)＝2x＋eq\f(cos2x－sinx－sinx,cos2x)＝2x＋eq\f(1,cos2x).三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)要求對(duì)三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)，往往需要利用三角恒等變換公式，對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求導(dǎo).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則熟悉后，中間步驟可以省略，即不必再寫(xiě)出函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，直接運(yùn)用公式，從外層開(kāi)始由外到內(nèi)逐層求導(dǎo).提出問(wèn)題，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，引導(dǎo)學(xué)生探究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)對(duì)復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則的推導(dǎo)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．函數(shù)y＝(x2－1)n的復(fù)合過(guò)程正確的是()A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1[答案]A2．函數(shù)y＝x2cos2x的導(dǎo)數(shù)為()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2xB[y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.]3．已知f(x)＝ln(3x－1)，則f′(1)＝________.eq\f(3,2)[f′(x)＝eq\f(1,3x－1)×(3x－1)′＝eq\f(3,3x－1)，∴f′(1)＝eq\f(3,3×1－1)＝eq\f(3,2).]4．已知f(x)＝xe－x，則f(x)在x＝2處的切線斜率是________．－eq\f(1,e2)[∵f(x)＝xe－x，∴f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，∴f′(2)＝－eq\f(1,e2).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(x)在x＝2處的切線斜率為k＝f′(2)＝－eq\f(1,e2).]5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝xeq\r(1＋x2).[解](1)令u＝3x－2，則y＝10u.所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝10uln10·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.2)令u＝ex＋x2，則y＝lnu.∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝eq\f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq\f(ex＋2x,ex＋x2).(3)y′＝(xeq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋x(eq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋eq\f(x2,\r(1＋x2))＝eq\f(1＋2x2\r(1＋x2),1＋x2).6.曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是?解：設(shè)曲線y＝ln(2x－1)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行．∵y′＝eq\f(2,2x－1)，∴y′|eq\s\do16(x＝x0)＝eq\f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．∴切點(diǎn)(1，0)到直線2x－y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，即曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是eq\r(5).通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)潔．2．和與差的運(yùn)算法則可以推廣[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】從問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，并通過(guò)思考、討論、練習(xí)進(jìn)一步提升學(xué)生的求導(dǎo)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)?！?.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解復(fù)合函數(shù)的概念．2．理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識(shí)梳理】1．復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作__________．y＝f(g(x))思考：函數(shù)y＝log2(x＋1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？[提示]函數(shù)y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的．2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝______，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于________________________________．y′u·u′x;y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的;乘積1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝sin(πx)的復(fù)合過(guò)程是y＝sinu，u＝πx．()(2)f(x)＝ln(3x－1)則f′(x)＝eq\f(1,3x－1)．()(3)f(x)＝x2cos2x，則f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．()2．函數(shù)y＝eq\f(1,3x－12)的導(dǎo)數(shù)是()A．eq\f(6,3x－13)B．eq\f(6,3x－12)C．－eq\f(6,3x－13)D．－eq\f(6,3x－12)3．下列對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)正確的是()A．y＝(1－2x)3，則y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，則y′＝eq\f(1,2x＋1ln2)C．y＝coseq\f(x,3)，則y′＝eq\f(1,3)sineq\f(x,3)D．y＝22x－1，則y′＝22xln2【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、新知探究探究1.如何求y=若求y=(1+x)探究2.如何求y=ln?(2x-1)

探究3：求函數(shù)y=sin2x三、典例解析例6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y=（2）y=(3)y=ln?(2x-1)1．解答此類問(wèn)題常犯兩個(gè)錯(cuò)誤(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)；(2)若是復(fù)合函數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成．2．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝e2x＋1；(2)y＝eq\f(1,2x－13)；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝eq\f(ln3x,ex).例7某個(gè)彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中的位移y(單位:mm),關(guān)于時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)滿足關(guān)系式y(tǒng)=18sin?(2π求函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義。跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝coseq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)－cos\f(x,2)))；(2)y＝x2＋tanx.三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)要求對(duì)三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)，往往需要利用三角恒等變換公式，對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求導(dǎo).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則熟悉后，中間步驟可以省略，即不必再寫(xiě)出函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，直接運(yùn)用公式，從外層開(kāi)始由外到內(nèi)逐層求導(dǎo).【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．函數(shù)y＝(x2－1)n的復(fù)合過(guò)程正確的是()A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－12．函數(shù)y＝x2cos2x的導(dǎo)數(shù)為()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x3．已知f(x)＝ln(3x－1)，則f′(1)＝________.4．已知f(x)＝xe－x，則f(x)在x＝2處的切線斜率是________．5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝xeq\r(1＋x2).6.曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是?【課堂小結(jié)】1．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)潔．2．和與差的運(yùn)算法則可以推廣[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．【參考答案】知識(shí)梳理1．[提示](2)中f′(x)＝eq\f(3,3x－1).(3)中，f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x.[答案](1)√(2)×(3)×2．C[∵y＝eq\f(1,3x－12)，∴y′＝－2×eq\f(1,3x－13)×(3x－1)′＝－eq\f(6,3x－13).]3．D[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A錯(cuò)誤；B中，y′＝eq\f(2,2x＋1ln2)，∴B錯(cuò)誤；C中，y′＝－eq\f(1,3)sineq\f(x,3)，∴C錯(cuò)誤；D中y′＝22x－1ln2×(2x－1)′＝22xln2.故D正確．]學(xué)習(xí)過(guò)程一、新知探究探究1.解析：方法一：y=y'=探究2.分析：函數(shù)y=ln?(2x-1)不是由基本所以無(wú)法用現(xiàn)有的方法求它的導(dǎo)數(shù)，下面，我們分析這個(gè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)若設(shè)從而經(jīng)過(guò)如果把那么這個(gè)“若設(shè)探究3：分析：令u=2x,得y=sinu以yx'表示y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，yu'表示yx'=(sin2x

=

2cosx?cosx+sinx?(-sinx)=2(cos2x-sin另一方面yu'=(sinu

)’=可以發(fā)現(xiàn)yx'=cosu?2=

yu二、典例解析例6.解：（1）函數(shù)y=yx'=yu'?ux'=（2）函數(shù)y=yx'=yu'?ux（3）函數(shù)y=yx'=yu'?ux跟蹤訓(xùn)練1[解](1)函數(shù)y＝e2x＋1可看作函數(shù)y＝eu和u＝2x＋1的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y(tǒng)′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函數(shù)y＝eq\f(1,2x－13)可看作函數(shù)y＝u－3和u＝2x－1的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y(tǒng)′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－eq\f(6,2x－14).(3)函數(shù)y＝5log2(1－x)可看作函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝eq\f(－5,uln2)＝eq\f(5,x－1ln2).(4)∵(ln3x)′＝eq\f(1,3x)×(3x)′＝eq\f(1,x).∴y′＝eq\f(ln3x′ex－ln3xex′,ex2)＝eq\f(\f(1,x)－ln3x,ex)＝eq\f(1－xln3x,xex).例7解：函數(shù)y=18sin?(2π3yt'=yu'=18cosu×2π3當(dāng)t=3時(shí)，y它表示當(dāng)t=3s時(shí)，彈簧振子振動(dòng)的瞬時(shí)速度為0mm/s跟蹤訓(xùn)練2[思路探究]先將給出的解析式化簡(jiǎn)整理，再求導(dǎo)．[解](1)∵y＝coseq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)－cos\f(x,2)))＝coseq\f(x,2)sineq\f(x,2)－cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)sinx－eq\f(1,2)(1＋cosx)＝eq\f(1,2)(sinx－cosx)－eq\f(1,2)，∴y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx－cosx－\f(1,2)))eq\s\up24(′)＝eq\f(1,2)(sinx－cosx)′＝eq\f(1,2)(cosx＋sinx)．(2)因?yàn)閥＝x2＋eq\f(sinx,cosx)，所以y′＝(x2)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))eq\s\up24(′)＝2x＋eq\f(cos2x－sinx－sinx,cos2x)＝2x＋eq\f(1,cos2x).達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．[答案]A2．B[y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.]3．eq\f(3,2)[f′(x)＝eq\f(1,3x－1)×(3x－1)′＝eq\f(3,3x－1)，∴f′(1)＝eq\f(3,3×1－1)＝eq\f(3,2).]4．－eq\f(1,e2)[∵f(x)＝xe－x，∴f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，∴f′(2)＝－eq\f(1,e2).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(x)在x＝2處的切線斜率為k＝f′(2)＝－eq\f(1,e2).]5．[解](1)令u＝3x－2，則y＝10u.所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝10uln10·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.2)令u＝ex＋x2，則y＝lnu.∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝eq\f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq\f(ex＋2x,ex＋x2).(3)y′＝(xeq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋x(eq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋eq\f(x2,\r(1＋x2))＝eq\f(1＋2x2\r(1＋x2),1＋x2).6.解：設(shè)曲線y＝ln(2x－1)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行．∵y′＝eq\f(2,2x－1)，∴y′|eq\s\do16(x＝x0)＝eq\f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．∴切點(diǎn)(1，0)到直線2x－y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，即曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是eq\r(5).《5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》基礎(chǔ)同步練習(xí)一、選擇題1．已知，則其導(dǎo)函數(shù)（）A．B．C．D．2．已知函數(shù)，那么（）A．B．2C．D．3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）A．B．C．D．4．原子有穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種．不穩(wěn)定的原子除天然元素外，主要由核裂變或核聚變過(guò)程中產(chǎn)生碎片形成，這些不穩(wěn)定的元素在放出α、β、γ等射線后，會(huì)轉(zhuǎn)變成穩(wěn)定的原子，這種過(guò)程稱之為“衰變”．這種不穩(wěn)定的元素就稱為放射性同位素．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益．假設(shè)在放射性同位素釷234的衰變過(guò)程中，其含量N（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中N0為時(shí)釷234的含量．已知時(shí)，釷234含量的瞬時(shí)變化率為，則（）A．12貝克B．12ln2貝克C．6貝克D．6ln2貝克5．（多選題）下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算不正確的是（）A．B．C．D．6．（多選題）下列結(jié)論中不正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則二、填空題7．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______．8．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)_________．9．已知函數(shù)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），則______.10．函數(shù)在處的切線方程為_(kāi)_____三、解答題11．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：（1）；（2）．12．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.《5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》答案解析一、選擇題1．已知，則其導(dǎo)函數(shù)（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】,故選：D.2．已知函數(shù)，那么（）A．B．2C．D．【答案】A【詳解】由題意，，所以.故選：A.3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】.4．原子有穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種．不穩(wěn)定的原子除天然元素外，主要由核裂變或核聚變過(guò)程中產(chǎn)生碎片形成，這些不穩(wěn)定的元素在放出α、β、γ等射線后，會(huì)轉(zhuǎn)變成穩(wěn)定的原子，這種過(guò)程稱之為“衰變”．這種不穩(wěn)定的元素就稱為放射性同位素．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益．假設(shè)在放射性同位素釷234的衰變過(guò)程中，其含量N（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中N0為時(shí)釷234的含量．已知時(shí)，釷234含量的瞬時(shí)變化率為，則（）A．12貝克B．12ln2貝克C．6貝克D．6ln2貝克【答案】A【詳解】解：，所以，，(貝克)，故選：A.5．（多選題）下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算不正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，正確.6．（多選題）下列結(jié)論中不正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，故正確；對(duì)于C，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，故錯(cuò)誤．故選：ACD二、填空題7．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______．【答案】【詳解】函數(shù)是函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，則.8．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)_________．【答案】【詳解】由，得.9．已知函數(shù)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），則______.【答案】0【詳解】，，，，.10．函數(shù)在處的切線方程為_(kāi)_____【答案】【詳解】求導(dǎo)得，所以，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.三、解答題11．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：（1）；（2）．【詳解】（1）；（2）．12．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】解：（1）由題知：，所以，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.《5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》提高同步練習(xí)一、選擇題1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A．B．C．D．2．已知函數(shù)，則（）A．1B．－1C．2D．33．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益.假設(shè)某放射性同位素的衰變過(guò)程中，其含量（單位：貝克）與時(shí)間（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中為時(shí)該放射性同位素的含量.已知時(shí)，該放射性同位素的瞬時(shí)變化率為，則該放射性同位素含量為貝克時(shí)衰變所需時(shí)間為（）A．20天B．30天C．45天D．60天4．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為()A．1B．2C．－1D．－25．（多選題）以下函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．（多選題）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，若存在，使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列函數(shù)中，有“巧值點(diǎn)”的是（）A．B．C．D．二、填空題7．已知y＝，則y′＝________．8．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為_(kāi)________.9．若函數(shù)，，則__________.10．在許多實(shí)際問(wèn)題中，一個(gè)因變量往往與幾個(gè)自變量有關(guān)，即因變量的值依賴于幾個(gè)自變量，這樣的函數(shù)稱為多元函數(shù).例如，某種商品的市場(chǎng)需求量不僅僅與其市場(chǎng)價(jià)格有關(guān)，而且與消費(fèi)者的收入以及這種商品的其他代用品的價(jià)格等因素有關(guān)，即決定該商品需求量的因素不止一個(gè)而是多個(gè).我們常常用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)研究多元函數(shù).以下是計(jì)算二元函數(shù)在處偏導(dǎo)數(shù)的全過(guò)程：，，所以，，由上述過(guò)程，二元函數(shù)，則______.三、解答題11．設(shè)函數(shù)f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x).(1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(2)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．12．已知函數(shù)，記為的導(dǎo)數(shù)，.（1）求；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的猜想.《5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》答案解析一、選擇題1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有.故選：B.2．已知函數(shù)，則（）A．1B．－1C．2D．3【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，令，可得，解?故選：B.3．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益.假設(shè)某放射性同位素的衰變過(guò)程中，其含量（單位：貝克）與時(shí)間（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中為時(shí)該放射性同位素的含量.已知時(shí)，該放射性同位素的瞬時(shí)變化率為，則該放射性同位素含量為貝克時(shí)衰變所需時(shí)間為（）A．20天B．30天C．45天D．60天【答案】D【詳解】由得，因?yàn)闀r(shí)，該放射性同位素的瞬時(shí)變化率為，即，解得，則，當(dāng)該放射性同位素含量為貝克時(shí)，即，所以，即，所以，解得.故選：D.4．已知直線y＝x＋1與曲線y＝l