2024年浙江省杭州市重點(diǎn)中學(xué)八年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析）

學(xué)年杭州市重點(diǎn)中學(xué)八年級(jí)（下）（3月份）月考數(shù)學(xué)試卷測(cè)試范圍：第1章二次根式+第2章一元二次方程；滿分120分一、選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題目要求。1．下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．2．一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（

）A．3，1， B．3，2，1 C．3，， D．3，2，3．若是正整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)值為（

）．A．0 B．2 C．4 D．64．若是方程的一個(gè)根，則的值是（）A． B．3 C． D．5．根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：判斷方程一個(gè)解的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．“讀萬卷書，行萬里路．”某校為了豐富學(xué)生的閱歷知識(shí)，堅(jiān)持開展課外閱讀活動(dòng)，學(xué)生人均閱讀量從七年級(jí)的每年萬字增加到九年級(jí)的每年萬字．設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為，則可列方程為()A．B．C．D．7．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．且 B．且 C． D．8．用長(zhǎng)的鐵絲，折成一個(gè)面積為的矩形，則矩形的寬為（

）A． B． C． D．9．新定義：《，，》為一元二次方程(其中為實(shí)數(shù))的“共同體數(shù)”，如：的“共同體數(shù)”為《1，2，》，以下“共同體數(shù)”中能讓一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是(

)A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D．10．若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，，且．下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①； ②，；③； ④關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，．A． B． C． D．二、填空題：本大題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分。11．若二次根式有意義，則x的最小值的算術(shù)平方根是．12．已知是一元二次方程的一個(gè)根，則．13．如圖，在用配方法解一元二次方程時(shí)，配方的過程可以用拼圖直觀地表示，即看成將一個(gè)長(zhǎng)是、寬是x、面積是的矩形割補(bǔ)成一個(gè)正方形，則m的值是．14．若a是正整數(shù)，是最簡(jiǎn)二次根式，則a的最小值為.15．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則16．將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為．三、解答題：本題有7小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（6分）計(jì)算：(1)； (2)．18．（8分）解方程：(1)； (2)．19．（8分）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．20．（10分）年龍年春晚吉祥物形象“龍辰辰”正式發(fā)布亮相，作為中華民族重要的精神象征和文化符號(hào)，千百年來，龍的形象貫穿文學(xué)、藝術(shù)、民俗、服飾、繪畫等各個(gè)領(lǐng)域，也呈現(xiàn)了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．現(xiàn)某商店推出銷售吉祥物活動(dòng)，已知吉祥物每件的進(jìn)貨價(jià)為元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該吉祥物的銷售單價(jià)為元時(shí)，每天可銷售件；當(dāng)銷售單價(jià)每增加元，每天的銷售數(shù)量將減少件．（銷售利潤(rùn)銷售總額進(jìn)貨成本）(1)若“龍辰辰”吉祥物的銷售單價(jià)為元，則當(dāng)天銷售量為件；(2)該吉祥物的當(dāng)天利潤(rùn)有可能達(dá)到元嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)的銷售單價(jià)；若不能，請(qǐng)說明理由．21．（10分）閱讀理解：由得，；如果兩個(gè)正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為4．請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)當(dāng)，式子的最小值為；(2)如圖1，用籬笆圍一個(gè)面積為50平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻（墻長(zhǎng)20米，籬笆周長(zhǎng)指不靠墻的三邊），這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？

22．（12分）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足，若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．23．（12分）閱讀材料，并解決問題．【學(xué)習(xí)研究】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程變形為，然后畫四個(gè)長(zhǎng)為，寬為x的矩形，按如圖①所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即．因此，可得新方程．因?yàn)閤表示邊長(zhǎng)，所以，即．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．【類比遷移】小穎根據(jù)以上解法解方程，請(qǐng)將其解答過程補(bǔ)充完整：第一步：將原方程變形為，即x（______）；第二步：利用四個(gè)全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；（在畫圖區(qū)畫出示意圖，標(biāo)明各邊長(zhǎng)）第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程______，解得原方程的一個(gè)根為______；【拓展應(yīng)用】一般地，對(duì)于形如的一元二次方程可以構(gòu)造圖②來解．已知圖②是由四個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，那么此方程的系數(shù)______，______，求得方程的一個(gè)正根為______．

2024學(xué)年杭州市重點(diǎn)中學(xué)八年級(jí)（下）（3月份）月考數(shù)學(xué)試卷答案解析一、選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題目要求。1．下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的加減乘除運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，計(jì)算錯(cuò)誤；B.，計(jì)算錯(cuò)誤；C.不能合并，計(jì)算錯(cuò)誤；D.，計(jì)算正確；故選D．2．一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（

）A．3，1， B．3，2，1 C．3，， D．3，2，【答案】C【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數(shù)且）特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．根據(jù)一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數(shù)且），其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)可得答案．【詳解】解：變形為：，則，的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是3，，，故選：C．3．若是正整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)值為（

）．A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)，然后依據(jù)是正整數(shù)可得到問題的答案．【詳解】解：，∵是正整數(shù)，∴為完全平方數(shù)，∴的最小值是．故選：D.4．若是方程的一個(gè)根，則的值是（）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．根據(jù)一元二次方程的解，把代入方程得到關(guān)于的一次方程，然后解此一次方程即可．【詳解】解：把代入得：，解得．故選：A5．根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：判斷方程一個(gè)解的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得：在和之間有一個(gè)值能使的值為0，于是可判斷方程一個(gè)解x的取值范圍為．【詳解】解：由題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴方程一個(gè)解x的取值范圍為．故選：C．6．“讀萬卷書，行萬里路．”某校為了豐富學(xué)生的閱歷知識(shí)，堅(jiān)持開展課外閱讀活動(dòng)，學(xué)生人均閱讀量從七年級(jí)的每年萬字增加到九年級(jí)的每年萬字．設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為，則可列方程為()A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握為增長(zhǎng)率問題的一般形式為，a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得．故選：A．7．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．且 B．且 C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式．根據(jù)題意得出且，求出a的取值范圍即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴且，解得且，故選：B．8．用長(zhǎng)的鐵絲，折成一個(gè)面積為的矩形，則矩形的寬為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)矩形的寬為，則矩形的長(zhǎng)為，根據(jù)“折成一個(gè)面積為的矩形”，列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解題意，正確列出方程是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)矩形的寬為，則矩形的長(zhǎng)為，由題意得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)為，不滿足題意；矩形的寬為，故選：D．9．新定義：《，，》為一元二次方程(其中為實(shí)數(shù))的“共同體數(shù)”，如：的“共同體數(shù)”為《1，2，》，以下“共同體數(shù)”中能讓一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是(

)A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義，根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【詳解】解：A.當(dāng)“共同體數(shù)”為《3，2，1》時(shí)，一元二次方程為∵，∴沒有實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)不符合題意；B.當(dāng)“共同體數(shù)”為《3，4，5》時(shí)，一元二次方程為∵，∴沒有實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)不符合題意；C.當(dāng)“共同體數(shù)”為《，，》時(shí)，一元二次方程為∵，∴有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)符合題意；D.當(dāng)“共同體數(shù)”為時(shí)，一元二次方程為∵，∴沒有實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．10．若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，，且．下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①；②，；③；④關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，利用消去得到，從而即可對(duì)①進(jìn)行判斷；由于，，利用有理數(shù)的性質(zhì)可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式的意義得到，即，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用把方程化為，由于方程可變形為，所以或，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，∵，∴，∴，所以①正確；∵，，∴，，所以②正確；∵，∴，即，∴，所以③錯(cuò)誤；∵，∴方程化為，即，∵方程可變形為，∴或，解得，，所以④正確．故選：．二、填空題：本大題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分。11．若二次根式有意義，則x的最小值的算術(shù)平方根是．【答案】2【分析】此題考查了二次根式有意義的條件、算術(shù)平方根、解一元一次不等式等知識(shí)，根據(jù)二次根式有意義的條件得到，求出不等式的解集，找到x的最小值求出其算術(shù)平方根即可．【詳解】解：若二次根式有意義，則，解得，∴x的最小值為4，4的算術(shù)平方根是2，故答案為：212．已知是一元二次方程的一個(gè)根，則．【答案】3【分析】本題考查一元二次方程的解的定義，掌握方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．將代入該一元二次方程即可求解．【詳解】解：將代入一元二次方程，得：，∴．故答案為：3．13．如圖，在用配方法解一元二次方程時(shí)，配方的過程可以用拼圖直觀地表示，即看成將一個(gè)長(zhǎng)是、寬是x、面積是的矩形割補(bǔ)成一個(gè)正方形，則m的值是．【答案】3【分析】本題考查的是解一元二次方程，用配方法求解即可．【詳解】解：，，，∴．故答案為：3．14．若a是正整數(shù)，是最簡(jiǎn)二次根式，則a的最小值為.【答案】3【分析】直接利用最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行分析即可得.【詳解】∵a是正整數(shù)，是最簡(jiǎn)二次根式，∴=，∵a為1時(shí)，=3，a為2時(shí)，=2，均不是最簡(jiǎn)二次根式，a為3時(shí)，=，此時(shí)是最簡(jiǎn)二次根式，∴a最小為3，故答案為：3.15．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則【答案】【分析】本題考查根與系數(shù)關(guān)系，一元二次方程的解等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．由，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，推出，，，推出，再利用整體代入的思想解決問題．【詳解】解：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，．故答案為：16．將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為．【答案】【分析】先利用得到，代入得到化為，然后解方程得，從而得到的值．【詳解】解：，,解得，，故答案為：．三、解答題：本題有7小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（6分）計(jì)算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合計(jì)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘法和除法法則、乘法公式是解決問題的關(guān)鍵．（1）直接利用二次根式的加減乘除運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算；（2）先計(jì)算完全平方式及平方差公式，最后再合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．18．（8分）解方程：(1)； (2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元二次方程的方法．（1）利用配方法解答此方程；（2）先移項(xiàng)，然后提公因式，即可解答此方程．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，解得，；（2），，，∴或，解得，．19．（8分）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）1【分析】（1）先計(jì)算，，，再根據(jù)，即可求出答案；（2）利用完全平方公式得，把的值代入即可．【詳解】解：（1），，，，，；（2）原式．20．（10分）年龍年春晚吉祥物形象“龍辰辰”正式發(fā)布亮相，作為中華民族重要的精神象征和文化符號(hào)，千百年來，龍的形象貫穿文學(xué)、藝術(shù)、民俗、服飾、繪畫等各個(gè)領(lǐng)域，也呈現(xiàn)了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．現(xiàn)某商店推出銷售吉祥物活動(dòng)，已知吉祥物每件的進(jìn)貨價(jià)為元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該吉祥物的銷售單價(jià)為元時(shí)，每天可銷售件；當(dāng)銷售單價(jià)每增加元，每天的銷售數(shù)量將減少件．（銷售利潤(rùn)銷售總額進(jìn)貨成本）(1)若“龍辰辰”吉祥物的銷售單價(jià)為元，則當(dāng)天銷售量為件；(2)該吉祥物的當(dāng)天利潤(rùn)有可能達(dá)到元嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)的銷售單價(jià)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)不能，理由見解析．【分析】（）根據(jù)題意列出算式即可求解；（）假設(shè)該吉祥物的當(dāng)天利潤(rùn)能達(dá)到元，設(shè)銷售單價(jià)增加元，由題意可得一元二次方程，由得到方程沒有實(shí)數(shù)根，即可判斷當(dāng)天利潤(rùn)不能達(dá)到元；本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根的判別式，有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：（）根據(jù)題意得，當(dāng)天銷售量為：，，（件），∴若“龍辰辰”吉祥物的銷售單價(jià)為元，則當(dāng)天銷售量為件，故答案為：；（2）解：該吉祥物的當(dāng)天利潤(rùn)不能達(dá)到元，理由如下：假設(shè)該吉祥物的當(dāng)天利潤(rùn)能達(dá)到元，設(shè)銷售單價(jià)增加元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，每天可銷售件，根據(jù)題意得：，整理得：，∵，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根，∴假設(shè)不成立，即該吉祥物的當(dāng)天利潤(rùn)不能達(dá)到元．21．（10分）閱讀理解：由得，；如果兩個(gè)正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為4．請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)當(dāng)，式子的最小值為；(2)如圖1，用籬笆圍一個(gè)面積為50平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻（墻長(zhǎng)20米，籬笆周長(zhǎng)指不靠墻的三邊），這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？

【答案】(1)6(2)20米【分析】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式的應(yīng)用，閱讀材料，材料閱讀題是中學(xué)階段所學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，體會(huì)材料中的數(shù)學(xué)思想與方法，學(xué)會(huì)用新方法去解決數(shù)學(xué)中的問題，對(duì)學(xué)生的要求較高，是一道拔高型的綜合題目．（1）根據(jù)材料提供的信息解答即可．（2）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊為米，則，，所以所用籬笆的長(zhǎng)為米，再根據(jù)材料提供的信息求出的最小值即可．【詳解】（1）解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為6．（2）解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊為米，則，∴，∴所用籬笆的長(zhǎng)為米，∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為20，∴或（舍去）．∴這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為10米，5米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是20米．22．（12分）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足，若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)且(2)存在實(shí)數(shù)，使該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足【分析】此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于的方程是一種經(jīng)常使用的解題方法．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，∴，解得：且；（2）存在實(shí)數(shù)，使該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足，理由如下：若、是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，∵，∴，解得，∵，∴時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴存在實(shí)數(shù)，使該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足．23．（12分）閱讀材料，并解決問題．【