湖南省株洲市重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第三次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(A卷)（含解析）

株洲市重點(diǎn)學(xué)校2023年下學(xué)期高一年級(jí)第三次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(A卷)時(shí)量：120分鐘滿分：150分試卷共4頁(yè)注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自已的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3.考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．1．設(shè)集合，則（

）A．B．C．D．2．“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖所示，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）(第3題圖)A．B．C． D．4．已知，，則（

）A． B． C．或 D．5．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.下面的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）(第6題圖)A． B．C． D．6．質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，的角速度大小為，起點(diǎn)為角的終邊與圓的交點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，的坐標(biāo)不可以為（

）A．B．C．D．7．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．8．設(shè)，，且，則（

）A． B．1 C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的、不選得0分．9．已知，若，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為1C．的最小值為8 D．的最小值為10．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．函數(shù)的最小值為C．函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是D．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增.11．主動(dòng)降噪耳機(jī)讓我們?cè)卩须s的環(huán)境中享受一絲寧?kù)o，它的工作原理是：先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與振幅相同的反相位聲波來抵消噪聲，已知某噪聲的聲波曲線，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．，使得D．，存在常數(shù)使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．下列命題中：①若集合中只有一個(gè)元素，則；②已知命題p：，，如果命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；③已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?；④函?shù)在上單調(diào)遞增；⑤方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是2.所有正確命題的序號(hào)是.13．已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則.14．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(本小題共13分)已知函數(shù)．（1）化簡(jiǎn)；（2）若，且，求的值．16．(本小題共15分)已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2），求的值．17．(本小題共15分)已知函數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù).（1）若函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，且.18．(本小題共17分)如圖，某圓形小區(qū)有兩塊空余綠化扇形草地（圓心角為）和（圓心角為），為圓的直徑.現(xiàn)分別要設(shè)計(jì)出兩塊社區(qū)活動(dòng)區(qū)域，其中一塊為矩形區(qū)域，一塊為平行四邊形區(qū)域，已知圓的直徑百米，且點(diǎn)在劣弧上（不含端點(diǎn)），點(diǎn)在上?點(diǎn)在上?點(diǎn)和在上?點(diǎn)在上，記.(第18題圖)（1）經(jīng)設(shè)計(jì)，當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，取得最佳觀賞效果，求取何值時(shí)，最大，最大值是多少？（2）設(shè)矩形和平行四邊形面積和為，求的最大值及此時(shí)的值.19．(本小題共17分)已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意的都存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”．（1）試判斷是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請(qǐng)說明理由；（2）求證：是的“4重覆蓋函數(shù)”；（3）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．1．D【分析】先求出集合，，再結(jié)合交集的定義，即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，所以，，故．故選：D．2．C【分析】根據(jù)“”和“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的互相推出關(guān)系判斷出屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)的定義域?yàn)?，則不是定義域的子集，所以無法推出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且定義域?yàn)?，因?yàn)槎魏瘮?shù)只可能在上單調(diào)遞增，不可能在上單調(diào)遞減，故只需滿足，解得，此時(shí)可以推出，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的必要不充分條件，故選：C.3．D【分析】由平面向量的線性運(yùn)算逐步轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】=.故選：D．4．B【分析】根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)求出，利用，并結(jié)合，求出結(jié)果即可.【詳解】解：，解得.因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，，所?故選：B.5．B【分析】首先由函數(shù)的定義域排除CD，再由時(shí)，排除A，即可得答案.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以排除C，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以排除D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以排除A，故選：B6．B【分析】根據(jù)角速度列方程，求得兩點(diǎn)重合的時(shí)刻的表達(dá)式，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的周期性求得正確答案.【詳解】點(diǎn)的初始位置，銳角，設(shè)時(shí)刻兩點(diǎn)重合，則，即，此時(shí)點(diǎn)，即，，當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，即，故C正確；當(dāng)時(shí)，，即，故D正確；由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合，故B錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：追及問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于時(shí)間，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，由此可建立等量關(guān)系式，從而可對(duì)問題進(jìn)行求解.三角函數(shù)具有周期性，誘導(dǎo)公式可以將較大角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為較小的角的三角函數(shù)值.7．C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小可得答案.【詳解】，，，∴．故選：C.8．A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的有界性及條件求得，然后利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，由于，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足條件等式，所以，，即，所以.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的、不選得0分．9．ACD【分析】AD選項(xiàng)，由基本不等式求出最值；B選項(xiàng)，化為，求出最小值；C選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】對(duì)于，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以A正確；對(duì)于，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以C正確；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以正確.故選：ACD.10．ACD【分析】A選項(xiàng)利用差比較法判斷；B選項(xiàng)利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)利用判別式進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，令，則，函數(shù)在區(qū)間上遞增，沒有最小值.所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，值域?yàn)?，符合題意.當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋项}意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，函數(shù)，定義域是，，是偶函數(shù)，在上遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確.故選：ACD11．ABD【分析】由經(jīng)過可求出的解析式，利用奇偶性定義可判斷A；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；求的值可判斷D，利用，分、、，三種情況求的化簡(jiǎn)式可判斷C．【詳解】因?yàn)榻?jīng)過，所以，即，，解得，，又，所以，則，對(duì)于A，，時(shí)，令，可得，故為奇函數(shù)，所以A正確；對(duì)于B，時(shí)，，對(duì)于在上單調(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞減，所以B正確；對(duì)于D，，所以恒為，即存在常數(shù)m=0，所以D正確；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以C錯(cuò)誤．故答案為：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．②③⑤【分析】利用判別式可判斷①；利用特稱命題的否定為全稱命題可判斷②；求出的定義域可判斷③；分離常量后根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性可判斷④；在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象可判斷⑤.【詳解】對(duì)于①：時(shí)，；時(shí)，，則，故或1，故錯(cuò)誤；對(duì)于②：p：，為假命題，則，為真命題，故即，故正確；對(duì)于③：，則，即的定義域?yàn)?，故正確；對(duì)于④：，其在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)于⑤：在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，觀察兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，則方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是2，故正確.故答案為：②③⑤.13．或【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性、最值求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則，則，可得，解得，且，解得，可知：或1，或.故答案為：或.14．【分析】將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，不妨設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞減，再結(jié)合利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍．【詳解】，由，得，所以，所以，因?yàn)閷?duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，，不妨設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化成在單調(diào)遞減，所以，其中，解得，所以的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論；三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(1)(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)表達(dá)式即可求解.（2）由誘導(dǎo)公式、平方關(guān)系結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】（1）.（2）由，可得，所以，又，所以，因?yàn)?，，，所以，所以的值為?6．(1)，增區(qū)間為(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦和余弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，由最小正周期公式求出的最小正周期；令，即可求出單調(diào)增區(qū)間；（2）由題意可得，由，求出的范圍，再由三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，則，由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】（1）故周期為，令，，所以的增區(qū)間為.（2），故.17．(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由反函數(shù)定義可得，從而結(jié)合的值域?yàn)?，討論m的取值，結(jié)合解不等式，求得答案；（2）利用零點(diǎn)存在定理，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證明函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，從而得到，進(jìn)而將要證明的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以.因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以能取遍?nèi)的所有值，當(dāng)時(shí)，能取遍內(nèi)的所有值，符合題意；當(dāng)時(shí)，則只需，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）由（1）可得，定義域?yàn)?，因?yàn)?，，（）由零點(diǎn)存在定理有，存在零點(diǎn)，使得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以僅有1個(gè)零點(diǎn)，且.等價(jià)于，令，顯然函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，則.所以，故，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于函數(shù)不等式的證明，解答時(shí)要結(jié)合函數(shù)存在零點(diǎn)，得到關(guān)于零點(diǎn)的等式，進(jìn)而結(jié)合該等式化簡(jiǎn)，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證明結(jié)論.18．(1)時(shí)，最大值為百米(2)百米，【分析】對(duì)于小問1，分別用變量來表達(dá)，，代入，得關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)行三角恒等變換整理成型函數(shù)求最大值；對(duì)于小問2，分別用變量來表達(dá)矩形和平行四邊形面積相加，得關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)行三角恒等變換整理成型函數(shù)求最大值.【詳解】（1）在矩形OEFG中，，，所以.因?yàn)镸N∥PQ，，所以，在△OQP中，，，由正弦定理可知：，即，得.所以因?yàn)?，所以，?dāng)，時(shí)，最大值為百米.（2）設(shè)平行四邊形MNPQ邊MN上的高為h，所以有，所以平行四邊形MNPQ的面積為，在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面積為，所以.其中，，，因?yàn)椋?，?dāng)，時(shí)，百米2，此時(shí).19．(1)不是的“2重覆蓋函數(shù)”理由見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）：根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即；（2）：可根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性進(jìn)行判斷即可；（3）：將題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，有2個(gè)實(shí)根，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由可知：，函數(shù)的圖像如圖所示：當(dāng)時(shí)，