山東省濟(jì)省實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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山東省濟(jì)省實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),.若存在,且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.2.小王因上班繁忙,來(lái)不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.3.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.5.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)在線段上,且,平面經(jīng)過點(diǎn),則正方體被平面截得的截面面積為()A. B. C. D.6.已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)相等,,則直線與平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.7.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.8.過橢圓的左焦點(diǎn)的直線過的上頂點(diǎn),且與橢圓相交于另一點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為,若,是坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.已知拋物線:,點(diǎn)為上一點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),又知點(diǎn),則的最小值為()A. B. C.3 D.510.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為,,其中焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且橢圓與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)連線正好過點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.11.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項(xiàng)相等,則項(xiàng)系數(shù)為()A.10 B.32 C.40 D.8012.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸出的時(shí),則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)函數(shù),則不等式的解集為____.14.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:甲說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;丁說(shuō):“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”,若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是___.15.已知平面向量,,滿足||=1,||=2,,的夾角等于,且()?()=0,則||的取值范圍是_____.16.已知盒中有2個(gè)紅球,2個(gè)黃球,且每種顏色的兩個(gè)球均按,編號(hào),現(xiàn)從中摸出2個(gè)球(除顏色與編號(hào)外球沒有區(qū)別),則恰好同時(shí)包含字母,的概率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,求的最大值.18.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持,在我國(guó)有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名,還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān),合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí);(ii)若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí);(iii)若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷,且利潤(rùn)分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級(jí)不能外銷,利潤(rùn)記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元,求X的分布列與期望.19.(12分)在平面四邊形中,已知,.(1)若,求的面積;(2)若求的長(zhǎng).20.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.21.(12分)已知函數(shù),.(1)若不等式的解集為,求的值.(2)若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.22.(10分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分別是AB,A1C的中點(diǎn).(1)求證:直線MN⊥平面ACB1;(2)求點(diǎn)C1到平面B1MC的距離.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù),由題意判斷出函數(shù)的奇偶性,再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?,所以,所以為奇函?shù),當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?,所以,所以,化?jiǎn)得,所以,即令,因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn),所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,由選項(xiàng)知,,又因?yàn)椋砸乖跁r(shí)有一個(gè)零點(diǎn),只需使,解得,所以a的取值范圍為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題,難度較大.2、C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為,以12:00點(diǎn)為開始算起,則有,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、B【解析】

對(duì)分類討論,當(dāng),函數(shù)在單調(diào)遞減,當(dāng),根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),求出單調(diào)遞增區(qū)間,即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,的遞增區(qū)間是,所以,即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性,熟練掌握簡(jiǎn)單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

過作于,連接,易知,,從而可證平面,進(jìn)而可知,當(dāng)最大時(shí),取得最大值,取的中點(diǎn),可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因?yàn)?,所以平面,所以,?dāng)最大時(shí),取得最大值,取的中點(diǎn),則,所以,因?yàn)?,所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上(不在左右頂點(diǎn)),其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,焦距長(zhǎng)為8,所以的最大值為橢圓的短軸長(zhǎng)的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力,屬于中檔題.5、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面,然后利用面面平行的性質(zhì)定理,得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示:確定一個(gè)平面,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以,同理,所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四邊形故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì),面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.6、D【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.求解平面的法向量,利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱,,取中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,.設(shè)平面的法向量為,則取,得.設(shè)直線與平面所成角為,則,,∴直線與平面所成角的正切值等于故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量法求解線面角,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7、D【解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,則=2,化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率,動(dòng)點(diǎn)軌跡,屬于中檔題.8、D【解析】

求得點(diǎn)的坐標(biāo),由,得出,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件,圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.9、C【解析】

由,再運(yùn)用三點(diǎn)共線時(shí)和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.10、B【解析】

根據(jù)題意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【詳解】易知,且故有,則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì),考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題11、D【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng),然后二項(xiàng)式系數(shù)和,可得,最后依據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:當(dāng)時(shí),常數(shù)項(xiàng)為又展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為由所以當(dāng)時(shí),所以項(xiàng)系數(shù)為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式,熟悉公式,細(xì)心計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,符合題意;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】,,所以,所以的解集為。點(diǎn)睛:本題考查絕對(duì)值不等式。本題先對(duì)絕對(duì)值函數(shù)進(jìn)行分段處理,再得到的解析式,求得的分段函數(shù)解析式,再解不等式即可。絕對(duì)值函數(shù)一般都去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。14、C【解析】

假設(shè)獲得一等獎(jiǎng)的作品,判斷四位同學(xué)說(shuō)對(duì)的人數(shù).【詳解】分別獲獎(jiǎng)的說(shuō)對(duì)人數(shù)如下表:獲獎(jiǎng)作品ABCD甲對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)乙錯(cuò)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)丙對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)丁對(duì)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)說(shuō)對(duì)人數(shù)3021故獲得一等獎(jiǎng)的作品是C.【點(diǎn)睛】本題考查邏輯推理,常用方法有:1、直接推理結(jié)果,2、假設(shè)結(jié)果檢驗(yàn)條件.15、【解析】

計(jì)算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.【詳解】由()?()=0可得()?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1,α為與的夾角.再由2?1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的范圍,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù),讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.【詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況,其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同;故其概率是故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率,解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)和組合數(shù)計(jì)算公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于,采用參變分離的方法分離出,并將的部分構(gòu)造成新函數(shù),分析與最值之間的關(guān)系;(2)通過對(duì)的導(dǎo)函數(shù)分析,確定有唯一零點(diǎn),則就是的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),計(jì)算的值并利用進(jìn)行化簡(jiǎn),從而確定.【詳解】(1)由題意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以.(2)當(dāng)時(shí),.則,令,則,所以在上單調(diào)遞減.由于,,所以存在滿足,即.當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,因?yàn)椋?,所以,所?【點(diǎn)睛】(1)求函數(shù)中字母的范圍時(shí),常用的方法有兩種:參變分離法、分類討論法;(2)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點(diǎn)時(shí),需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨(dú)分析,以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,再分析整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,最后確定出函數(shù)的最值.18、(1);(2)①可能是2件;②詳見解析【解析】

(1)由一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的情形,并結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式,列式計(jì)算即可;(2)①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,可知,分別令、、,可求出使得最大的整數(shù),進(jìn)而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù);②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級(jí)的概率,進(jìn)而可列出X的分布列,求出期望即可.【詳解】(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為.(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,則,則,其中,.由得,整數(shù)不存在,由得,所以當(dāng)時(shí),,即,由得,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知,一件手工藝品質(zhì)量為A級(jí)的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為,所以X的分布列為:X900600300100P則期望為.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算,考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】

(1)在三角形中,利用余弦定理列方程,解方程求得的長(zhǎng),進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.(2)利用誘導(dǎo)公式求得,進(jìn)而求得,利用兩角差的正弦公式,求得,在三角形中利用正弦定理求得,在三角形中利用余弦定理求得的長(zhǎng).【詳解】(1)在中,,解得,.(2)在中,,..【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于中檔題.20、(1)證明見解析;(2)最小值為1【解析】

(1)利用基本不等式可得,再根據(jù)0<xy<1時(shí),即可證明|x+z|?|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】(1)證明:∵x,y,z均為正數(shù),∴|x+z|?|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí)取等號(hào).又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時(shí)取等號(hào),∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy?2yz?2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy?2yz?2xz的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬中檔題.21、(1);(2)【解析】試題分析:(1)求得的解集,根據(jù)集合相等,

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