第12章 塑性本構(gòu)關(guān)系

1本章主要內(nèi)容：§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系§12.2塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系特點§12.3增量理論§12.4塑性變形的全量理論（形變理論）§12.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線§12.6塑性本構(gòu)關(guān)系實例第十二章塑性本構(gòu)關(guān)系塑性變形時應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式稱為本構(gòu)方程，它和屈服準則都是求解塑性成形問題的基本方程。材料成形原理2§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系材料在簡單拉伸情況下，應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系滿足x方向：增長y方向：縮短z方向：縮短應(yīng)變關(guān)系滿足：

即當材料在某個方向受拉力時，在該方向出現(xiàn)拉伸變形，而與垂直的兩個方向則出現(xiàn)壓縮變形。xyz0其中：υ——泊松比P第十二章塑性本構(gòu)關(guān)系3xyzy方向正應(yīng)力產(chǎn)生：z方向正應(yīng)力產(chǎn)生：++多向受力時：x方向正應(yīng)力產(chǎn)生：§12.1

彈性本構(gòu)關(guān)系4式中E——彈性模數(shù)

υ——泊松比

G——剪切模數(shù)三者關(guān)系：G=E/2(1+υ)廣義虎克定律由上，得§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系5同理可得：§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系6結(jié)論：物體形狀改變只由應(yīng)力偏張量引起物體彈性變形時，單位體積變化率θ=3εm與平均應(yīng)力成正比。結(jié)論：應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生彈性體積改變應(yīng)變偏張量與應(yīng)力偏張量成正比§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系7廣義虎克定律的張量表達式：已知：應(yīng)變張量可以分解成偏張量和球張量§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系8廣義虎克定律其他形式1、比例形式：2、差比形式：上式兩邊平方后整理后得：§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系9+++等式左邊為：等效應(yīng)力為：等式右邊為：對等式右邊開方再乘以，得§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系10彈性應(yīng)變強度結(jié)論：材料彈性變形范圍內(nèi)，應(yīng)力強度與應(yīng)變強度成正比，比例系數(shù)為E等式左邊與右邊關(guān)系為：其中§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系11等效應(yīng)變表達式：彈性應(yīng)變強度表達式：則等效應(yīng)變與彈性應(yīng)變強度關(guān)系為：當

時§12.1彈性本構(gòu)關(guān)系12彈性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系關(guān)系特點:應(yīng)力應(yīng)變完全成線性關(guān)系，應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合。彈性變形可逆，應(yīng)力應(yīng)變之間為單值關(guān)系，加載與卸載規(guī)律相同。彈性變形時，應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比ν<0.5?！?2.1彈性本構(gòu)關(guān)系13§12.2塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系特點12.2.1塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系特點塑性變形不可恢復(fù)，是不可逆不可恢復(fù)oεσc14§12.2塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系特點coεσ△σ不可恢復(fù)對于硬化材料，卸載后在重新加載，其屈服應(yīng)力就是卸載后的屈服應(yīng)力，比初始屈服應(yīng)力要高。15§12.2塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系特點塑性變形時，認為體積不變，應(yīng)力球張量為零，泊松比ν=0.5。應(yīng)力應(yīng)變之間關(guān)系是非線性關(guān)系，全量應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸不一定重合。coεσ不可恢復(fù)△σ單拉時，材料進入塑性變形后，加載會有新的塑性變形產(chǎn)生；卸載關(guān)系為彈性關(guān)系。16§12.2塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系特點不同路徑下的變形

加載路徑可分成簡單加載和復(fù)雜加載二大類。

簡單加載是指單元體的應(yīng)力張量各分量之間的比值保持不變，按同一參量單調(diào)增長。不滿足上述條件的為復(fù)雜加載。簡單加載路徑在應(yīng)力空間中為一直線，如OFE12.2.2加載路徑與加載歷史17§12.2塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系特點圖2-5π平面上的加載準 加載：σedσe

＞0，應(yīng)力點保持在加載曲面上，此時有新的塑性變形發(fā)生，σ-ε關(guān)系為塑性關(guān)系。卸載：σedσe＜0，應(yīng)力點向加載曲面內(nèi)側(cè)變動，不會產(chǎn)生新的塑性變形，σ-ε關(guān)系為彈性關(guān)系。中性變載：若σedσe=0，應(yīng)力點在原有屈服曲面上變動，對于強化材料而言為沒有新的塑性變形，關(guān)系為彈性關(guān)系。

18§12.2塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系特點加載與卸載準則通用式表示彈性狀態(tài)：強化材料加載：強化材料變載，理想材料加載：強化材料卸載：19§12.3增量理論每一加載瞬間，應(yīng)力主軸與應(yīng)變增量主軸重合。應(yīng)變增量與應(yīng)力偏張量成正比，即：12.3.1列維-密席斯增量理論材料是理想剛塑性材料，即彈性應(yīng)變增量為零，塑性應(yīng)變增量就是總應(yīng)變增量。材料服從密席斯屈服準則，即：塑性變形時體積不變，即：因此：20(2)差比形式：上式兩邊平方后整理后得：上式稱為列維米塞斯方程(1)比例形式：§12.3增量理論21上面兩式相加令為塑性應(yīng)變增量強度，也稱等效應(yīng)變增量。則§12.3增量理論22（2）對于某些軸對稱的問題，若有某兩個應(yīng)變分量的增量相等，則對應(yīng)的應(yīng)力偏量的增量也相等，于是，對應(yīng)的應(yīng)力分量也相等?？傻脧V義胡克定律設(shè)則類似于彈性模量與剪切模量。因此可以證明前面已引用的結(jié)論。（1）平面塑性變形時，沒有應(yīng)變方向的應(yīng)力值等于球應(yīng)力的值?！?2.3增量理論23廣義胡克定律的形式為：12.3.2應(yīng)力應(yīng)變速率關(guān)系方程（Saint-Venant塑性流動理論）對兩邊除以dt，得：卸載時，式中稱為應(yīng)變速率強度或稱等效應(yīng)變速率。為應(yīng)力-應(yīng)變速率分量方程，也稱圣文南塑性流動方程。§12.3增量理論2412.3.3普朗特——路埃斯方程

當變形較小時，在塑性區(qū)考慮彈性變形，即總應(yīng)變增量分量由彈性、塑性增量分量構(gòu)成。即：普朗特——路埃斯方程由于因此，可推出或§12.3增量理論25增量理論給出了塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量之間關(guān)系。增量理論給出各瞬間應(yīng)力與應(yīng)變增量之間變化關(guān)系。增量理論反映了加載過程對變形的影響。增量理論沒有給出卸載規(guī)律?！?2.3增量理論26

§12.4塑性變形的全量理論

塑性變形時，全量應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸不一定重合，但在比例加載時，應(yīng)力主軸方向固定不變，應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸重合。對普朗特—路埃斯方程進行積分得到全量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系—全量理論。式中：分別為初始應(yīng)力和初始應(yīng)力偏張量；C變形過程單調(diào)函數(shù)。理想塑性材料，塑性變形階段為常數(shù)。由比例加載小變形時，積分即為小應(yīng)變張量27§12.4塑性變形的全量理論

其他全量理論伊留申全量理論——硬化材料假定條件：塑性變形微小，和彈性變形同一數(shù)量級；外載荷各分量按比例增加，不中途卸載；變形體不可壓縮，即加載過程中，應(yīng)力主軸方向與應(yīng)變主軸方向固定不變，且重合；σ-ε符合單一曲線假設(shè)，且呈冪指數(shù)關(guān)系；如果材料剛塑性，則1/2G=0，則漢基方程可寫為：或28設(shè)

為塑性模量，則塑性變形時，塑性模量與塑性切變模量之間為：上式其比例形式和差比形式如下：§12.4塑性變形的全量理論

29塑性變形全量廣義胡克公式§12.4塑性變形的全量理論

30§12.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線

流動應(yīng)力變化規(guī)律通常表達為真實應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，真實應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線一般由實驗確定。12.5.1基于拉伸試驗確定的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

標稱應(yīng)力-應(yīng)變曲線有三個特征點，將整個拉伸變形過程分為三個階段：彈性變形、塑性變形和局部塑性變形。（1）拉伸圖和條件應(yīng)力-應(yīng)變曲線

31（2）真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線

在解決實際塑性成形問題時，需要反映實際應(yīng)力與應(yīng)變的曲線，即真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線。真實應(yīng)力簡稱真應(yīng)力，是瞬時的流動應(yīng)力S。1）真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線分類真實應(yīng)力與相對線應(yīng)變

曲線真實應(yīng)力與相對斷面收縮率

曲線真實應(yīng)力與對數(shù)應(yīng)變（也叫真實應(yīng)變）

曲線對數(shù)應(yīng)變優(yōu)點：對數(shù)應(yīng)變有可加性將試樣拉伸一倍再壓縮至原長，則對數(shù)應(yīng)變值相同（只差一個符號）用對數(shù)應(yīng)變表示的拉伸和壓縮真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線在理論上完全重合，只是應(yīng)力有拉、壓之分，這和實驗結(jié)果比較吻合，因而兩者可以互相替代。§12.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線322）第三種類型的真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線的確定真實應(yīng)力相對伸長斷面收縮§12.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線33對數(shù)應(yīng)變（真實應(yīng)變）當試樣L0拉伸至L1時，總的真實應(yīng)變?yōu)椋涸诔霈F(xiàn)縮頸以前，試樣處于均勻拉伸狀態(tài)：當在小變形時，可以認為§12.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線34拉伸真實應(yīng)力——應(yīng)變曲線塑性失穩(wěn)點的特征軸向力P、斷面F、真實應(yīng)力S當在塑性失穩(wěn)點時，P有極大值dp=0在失穩(wěn)點S=Sb、∈=∈b，代入上式，則∈=1失穩(wěn)點特性§12.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線3512.5.2基于單向壓縮試驗確定的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

壓縮實驗的主要問題是試樣與工具的接觸面上不可避免地存在摩擦，這就改變了試樣的單向壓應(yīng)力狀態(tài)，并使試樣出現(xiàn)鼓形。所以，消除接觸表面間的摩擦是求得精確壓縮實際應(yīng)力-應(yīng)變曲線的關(guān)鍵。

測定單壓

曲線時，試樣的直徑/高度一般為1，每次壓縮量為試樣高度的10%。記錄載荷和測量高度，然后加潤滑劑再壓。若出現(xiàn)明顯鼓形，將試樣進行車削，消除側(cè)鼓，并使直徑/高度仍為1。這樣一直壓縮至要求的變形程度為止，利用數(shù)據(jù)繪制

曲線?！?2.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線36

用外推法可以得到消除摩擦影響的

曲線。用不同D/H試樣進行壓縮實驗，記錄

曲線，可得到不同D/H的

，如圖12-9a所示。然后根據(jù)圖12-9a可得到一定變形程度下的

曲線（圖12-9b）。將圖中各曲線延伸到與

軸相交，就可得到一定變形程度下D/H→0時的應(yīng)力，從而得到消除摩擦影響的

曲線?！?2.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線37

（2）線性強化模型（圖12-11）。該模型的彈塑性區(qū)域分開表示，即：

呈線性關(guān)系，只是彈性、塑性的斜率有所差異，適合于考慮彈性問題的冷加工，如彎曲。12.5.3真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線與數(shù)學(xué)模型

（1）冪函數(shù)強化模型（圖12-10）。該模型特點為彈塑性區(qū)域用統(tǒng)一方程表示，即：常應(yīng)用于室溫下的冷加工?！?2.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線38軟化與硬化相等，適合于熱加工分析。

（3）線性剛塑性強化模型（圖12-12）。與模型（2）相似，只是沒有考慮彈性變形，即：適合于忽略彈性的冷加工。

（4）理想彈塑性模型（圖12-13）。該模型的彈塑區(qū)域分開表示，即該模型的特點在于屈服后

與無關(guān)，即：§12.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線39

（5）理想剛塑性模型（圖12-14）。特點與（4）相似，只是忽略了彈性，即：適合于不考慮彈性的熱加工問題。

一般的

關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為：式中

n——加工與強化指數(shù)；

m——應(yīng)變速率敏感性系數(shù)；

A——材料常數(shù)；

T——絕對溫度；

b——溫度影響系數(shù)?！?2.5真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線40

§12.6塑性本構(gòu)關(guān)系實例

解之，得

即:【例1】邊長為200mm的立方金屬，在z方向作用有200MPa的壓應(yīng)力。為了阻止立方體在x-y方向的膨脹量不大于0.05mm，需在x-y方向上