第13章非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜(魏)

01三月20241第十三章非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖非正弦周期信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù)非正弦周期信號(hào)穩(wěn)態(tài)電路的分析瞬時(shí)值、有效值、平均功率分析計(jì)算(諧波分析法)對(duì)稱(chēng)三相電路的高次諧波對(duì)稱(chēng)分量分析法01三月20242

重點(diǎn)1.非正弦周期電流和電壓的有效值、平均值;2.非正弦周期電流電路的平均功率；3.非正弦周期電流電路的計(jì)算(諧波分析法)。

難點(diǎn)1.響應(yīng)的疊加；2.電路中LC對(duì)不同次諧波的諧振。01三月20243

與其它章節(jié)的聯(lián)系

本章主要討論在非正弦周期電流、電壓信號(hào)的作用下，線(xiàn)性電路的穩(wěn)態(tài)分析和計(jì)算方法。

非正弦周期信號(hào)可以分解為直流分量和一系列不同頻率的正弦量之和，對(duì)每一信號(hào)單獨(dú)作用下的響應(yīng)，與直流電路及交流電路的求解方法相同，應(yīng)用疊加定理將各分量的響應(yīng)疊加得最后結(jié)果，是前面內(nèi)容的綜合。01三月20244§13-1非正弦周期信號(hào)

生產(chǎn)實(shí)際中，會(huì)碰到許多非正弦信號(hào)，原因有：①激勵(lì)本身是非正弦信號(hào)；

在電氣工程、電子信息、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)等技術(shù)領(lǐng)域中經(jīng)常用到非正弦信號(hào)，例如交流發(fā)電機(jī)的輸出電壓嚴(yán)格地說(shuō)是非正弦量。②電路中含有非線(xiàn)性元件。例如整流電路等。①不是正弦波；②按周期規(guī)律變化。

非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)f(t)=f(t+nT)01三月20245實(shí)踐中常見(jiàn)的非正弦周期信號(hào)T2T鋸齒波T尖頂脈沖T整流波數(shù)字電路、計(jì)算機(jī)的CP等通過(guò)顯像管偏轉(zhuǎn)線(xiàn)圈的掃描電流晶閘管的觸發(fā)脈沖等橋式或全波整流電路的輸出波形otiotuT方波otuoti01三月20246實(shí)踐中常見(jiàn)的非正弦周期信號(hào)（續(xù)）正弦電壓在鐵心線(xiàn)圈中產(chǎn)生的電流波形三角波PWM調(diào)制器的時(shí)間基準(zhǔn)信號(hào)波形半波otuT階梯波由數(shù)字電路或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的正弦信號(hào)整流波T尖頂波otiT2otuTT2otiTT2控制電壓01三月20247§13-2周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)1.非正弦周期函數(shù)的分解

根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)：若非正弦周期信號(hào)

f(t)滿(mǎn)足“狄里赫利條件”，就能展開(kāi)成一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。系數(shù)a0、ak、

bk分別為：f(t)=

a0

+∑[akcos(k

1t)+bksin(k

1t)]k=1∞a0=T1∫0Tf(t)dtak=T2∫0Tf(t)cos(k

1t)dtbk=T2∫0Tf(t)sin(k

1t)dt01三月20248根據(jù)給定f(t)的形式，積分區(qū)間也可以改為：積分區(qū)間也可以是[0～2p]或[-p～p]，例如：=p1∫f(t)cos(k

1t)d(

1t)-pp02pak=p1∫f(t)cos(k

1t)d(

1t)a0=T∫f(t)dt-T/21T/2ak=T2∫f(t)cos(k

1t)dt-T/2T/2bk=T2∫f(t)sin(k

1t)dt-T/2T/2=p1∫f(t)sin(k

1t)d(

1t)-pp02pbk=p1∫f(t)sin(k

1t)d(

1t)a0=∫f(t)d(

1t)12p02p01三月20249

展開(kāi)式同時(shí)存在正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)，在進(jìn)行不同信號(hào)的對(duì)比時(shí)不方便，而且數(shù)ak、bk的意義也不明確。將展開(kāi)式合并成電工技術(shù)中更為適用的形式

—余弦級(jí)數(shù)：則f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(k

1t+

k)式中：A0=

a0Akm=ak2+bk2

k=arctgak

-bkf(t)=

a0+∑[akcos(k

1t)+bksin(k

1t)]k=1∞令

ak=

Akmcos

kbk=-Akmsin

k01三月202410①

A0

是f(t)的恒定分量，或稱(chēng)為直流分量。②k=1的項(xiàng)Amcos(

1t+

1)

具有與f(t)相同的頻率，稱(chēng)基波分量。基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。③

k≥2的各項(xiàng)，分別稱(chēng)為二次諧波，三次諧波等。統(tǒng)稱(chēng)高次諧波。Akm=ak2+bk2

k=arctgak

-bkf(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(k

1t+

k)01三月2024112.非正弦周期信號(hào)的頻譜

f(t)中各次諧波的幅值和初相不同，對(duì)不同的f(t)，正弦波的頻率成份也不一定相同。為形象地反映各次諧波的頻率成份，以及各次諧波幅值和初相與頻率的關(guān)系，引入振幅頻譜和相位頻譜的概念。

振幅頻譜：

f(t)展開(kāi)式中Akm與

(=k

1)的關(guān)系。反映了各頻率成份的振幅所占的“比重”，因k是正整數(shù)，故頻譜圖是離散的，也稱(chēng)線(xiàn)頻譜。

相位頻譜：指

k與

的關(guān)系。f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(k

1t+fk)01三月202412鋸齒波的振幅頻譜圖

今后若無(wú)說(shuō)明，均指振幅頻譜。iotI-IT/2-T/2Ti(t)=p2Icos(

1t-90o)+21cos(2

1t+90o)+31cos(3

1t-90o)+41cos(4

1t+90o)+

鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為o

12

13

14

15

1Ikm2IpI2pI3pI4p01三月202413(1)若f(t)是偶函數(shù)即滿(mǎn)足

f(t)=f(-t)(2)若f(t)是奇函數(shù)outT/2-T/2則ak=0，只求bk即可：A0=T2∫0f(t)dtT/2ak

=T4∫0f(t)cos(k

1t)dtbk

=T4∫0f(t)sin(k

1t)dtiotT-T/2T/2T/2T/2即滿(mǎn)足

f(-t)=-

f(t)則bk=0。3.波形特征及其與級(jí)數(shù)分解的關(guān)系01三月202414(3)若f(t)為“鏡”對(duì)稱(chēng)

滿(mǎn)足

f(t)=-

f(t±T/2)則a2k=

b2k

=0,

otf(t)T/2T移動(dòng)半個(gè)周期，得另半個(gè)周期的鏡像知A0是f(t)在一個(gè)周期內(nèi)與橫軸圍成的面積。t1A由A0=T1∫0Tf(t)dt

所以即使f(t)不是“鏡”對(duì)稱(chēng)，只要它的正、負(fù)半周與橫軸圍成的面積相等，就有A0=0。另外，對(duì)某些f(t)，求A0時(shí)也可以不用積分。①無(wú)直流分量；展開(kāi)式中②不含偶次諧波。又稱(chēng)奇諧函數(shù)。01三月202415(4)若f(t)為半波對(duì)稱(chēng)即滿(mǎn)足f(t)=

f(t±T/2)

對(duì)某些f(t)，適當(dāng)移動(dòng)縱坐標(biāo)(另選一個(gè)計(jì)時(shí)起點(diǎn))，就變?yōu)榕己瘮?shù)或奇函數(shù)。

Akm與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)，由于ak、bk與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，所以

k與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，但各次諧波的相對(duì)位置不變。也可以先移坐標(biāo)軸，待求得系數(shù)后，再找到原函數(shù)的系數(shù)。otuT/2-T/2TT是整流電源周期即展開(kāi)式中不含奇次諧波。則a2k+1

=

b2k+1

=001三月202416例：求右圖方波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式及頻譜。矩形波電流在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為:解：i(t)=Im

，0＜t＜T/20

，T/2＜t＜Toti(t)T/2ImT

t2ppI0=T∫0i(t)dtT1=T∫0ImdtT/21=2Im直流分量:基波、諧波分量:bk

=p∫0i(t)sin(kwt)d(wt)2p1

=p∫0Imsin(kwt)d(wt)p1=0k

為偶數(shù)kp2Imk

為奇數(shù)=Imkp[1-cos(kp)]01三月202417ak

=p∫0Imcos(kwt)d(wt)p1oti(t)T/2ImT

t2pp=Imkpsin(kwt)0p=0i(t)=2Im(sin

t+31+2Impsin3

t+51sin5

t+…)f(t)=

a0+∑[akcos(k

1t)+bksin(k

1t)]k=1∞代入得i(t)的展開(kāi)式為(k為奇數(shù))Ikm=ak2+bk2=bk=kp2Im諧波振幅01三月202418owti(t)i(t)

=2Im(sin

t+31+2Impsin3

t+51sin5

t+…)基波分量三次諧波五次諧波直流分量owti(t)取到5次諧波的情況

實(shí)用中，根據(jù)展開(kāi)式的收斂速度和誤差要求取前幾項(xiàng)，高次諧波可以忽略。01三月202419矩形波的幅度頻譜矩形波的相位頻譜132Impokww3w5w7w11517fkokww3w5w7w-90o

k=arctgak

-bk=-90oAkm=bk=kp2Im01三月202420§13-3有效值、平均值和平均功率①sin、cos在一個(gè)周期內(nèi)的積分為0；回憶三角函數(shù)的性質(zhì)∫02pcoskwtd(wt)=0∫02pcos2kwtd(wt)=p例如(k為整數(shù),下同)③正交性質(zhì)(k≠q)∫02pcoskwtsinqwtd(wt)=0∫02pcoskwtcosqwtd(wt)=0∫02psinkwtsinqwtd(wt)=0②sin2、cos2

在一個(gè)周期內(nèi)的積分為p；01三月2024211.有效值則I=T∫0Ti2(t)dt若i(t)

=I0+Sk=1∞Ikmcos(kw1t+fk)i(t)2=I02+2I0Sk=1∞Ikmcos(kw1t+fk)+[k=1S∞Ikmcos(kw1t+fk)]2

T1∫0TI0

dt=I0

22第一項(xiàng)第二項(xiàng)T1∫0T2I0Ikmcos(kw1t+fk)dt=01三角函數(shù)的性質(zhì)01三月202422k=1S∞[Ikmcos(kw1t+fk)]2Sk=1∞2Ikmcos(kw1t+fk)

Iqmcos(qw1t+fq)+T1∫0TSk=1∞Ikmcos2(kw1t+fk)

dt

2T1∫0TSk=1∞2Ikmcos(kw1t+fk)(k

q)

整理上述結(jié)果得到：Sk=1∞Ikmcos2(kw1t+fk)

2=Sk=1∞Ik

2=Iqmcos(qw1t+fq)dt=0正交性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)01三月202423

結(jié)論

同理，非正弦周期電壓u(t)的有效值為

當(dāng)給出的電流或電壓是展開(kāi)的級(jí)數(shù)形式時(shí)，可分別用以上兩式計(jì)算有效值。U0

+2Sk=1∞Uk

2U=周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。I0

+2Sk=1∞Ik

2I=

非正弦周期電流的有效值與各分量的關(guān)系為01三月2024242.平均值IavT1∫0T|

i(t)

|dt

相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值。def直流量的平均值：Iav=T1∫0TI0

dt=I0正弦量的平均值：Iav=T1∫0T|

Imcos

t

|dt0.637Im

0.898I

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)非正弦周期電流或電壓的平均值也同樣定義為絕對(duì)值的平均值?！襏av=T10T|u(t)|dtIavot|i|TT20.637Im01三月202425

對(duì)同一非正弦量,不同類(lèi)型的儀表測(cè)量結(jié)果不同:直流儀表(磁電系儀表)表針的偏轉(zhuǎn)角測(cè)量結(jié)果是直流量。T1∫0Tidta

交流儀表(電磁系儀表)表針的偏轉(zhuǎn)角測(cè)量結(jié)果是有效值。全波整流(磁電系儀表)表針的偏轉(zhuǎn)角測(cè)量結(jié)果是平均值。T1∫0Ti2dta

T1∫0T|

i

|

dta

01三月2024263.平均功率任意一端口+-uiP=T1∫0TuidtP=U0I0+∑k=1∞Uk

Ikcosjk設(shè)i

=I0+Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fik)u

=U0+Sk=1∞Ukm

cos(kw1t+fuk)利用三角函數(shù)的正交性得

u與i參考方向關(guān)聯(lián),一端口吸收的平均功率為平均功率=直流分量的功率+各次諧波的平均功率。

結(jié)論式中：jk=fuk-fik式中，Uk

、Ik

是第k次諧波的有效值；

k

是第k次諧波電流與電壓的相位差。01三月202427§13-4非正弦電流電路的計(jì)算①分解；②計(jì)算；③疊加。把給定電源的非正弦周期電流或電壓作傅里葉級(jí)數(shù)分解。利用直流和正弦交流電路的計(jì)算方法，對(duì)直流和各次諧波激勵(lì)分別計(jì)算其響應(yīng)。將以上計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時(shí)值迭加。

注意交流各次諧波電路計(jì)算可應(yīng)用相量法，迭加時(shí)必須用瞬時(shí)值；L、C對(duì)直流分量、各次諧波分量的“態(tài)度”是不同的：XkL=kwLXkC=-kwC1將通過(guò)例題說(shuō)明。01三月202428例1uS=[10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t)

+28.28cos(5w1t)+20.20cos(7w1t)

+15.71cos(9w1t)+

]V,試求i和P。k=

0，C有隔直作用k=

1，基波作用.Im(1)=3

-

j9.45141.40o解：分析步驟①分解；已是級(jí)數(shù)形式。②分別求各分量單獨(dú)作用的結(jié)果；

注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系！

=14.2672.39oAP(1)=

I(1)2R=21Im(1)2R=

305.02WRC+-uSi3W-j9.45W所以I0=

0，P0=

001三月202429同理可求得：和P(5)、P(7)、P(9)。③用疊加原理，按時(shí)域形式疊加k=

3，XC(3)=31XC(1)=-39.45=-3.15W.Im(3)

=3

-

j3.1547.130o

=10.8346.4oAP(3)=

I(3)2R=21Im(3)2R=

175.93W.Im(5)、.Im(7)、.Im(9)i=14.26cos(w1t+72.39o)P=

P0+P(1)+P(3)+

+P(9)

注意：同頻率的電壓電流構(gòu)成有功功率。72.39oA,.Im(1)

=14.26P(1)

=

305.02W+10.83cos(3w1t+46.4o)+

=669.8WRC+-uSi3W-j9.45W01三月202430例2：已知u(t)是周期函數(shù)(波形如圖),求理想變壓器原邊電流i1(t)及輸出電壓u2的有效值。L=1/2mH,C=125/F2410.5u/Vt/ms012解：

=2/T=2×103rad/su(t)=12+12cost當(dāng)u=12V作用時(shí)，電容開(kāi)路、電感短路，有：i1=12/8=1.5A,2

:18

-+uL-+u2Ci1i2u2=0。當(dāng)u=12cost作用時(shí)：XC

=-1/

C=-4

2×103×125

×10-6-

=01三月202431XL=

L=2×103×

210-3=1

XC

=-4

2

:18

-+L-+C.I1.I2-j4

j1

.U212V.I1m

=j4

.U1m=120oj4=-j3A

.U1m=

.Um0oV

.U2m=n1

.U1m=60oVU2==1226=4.243V,i1=1.5+3cos(t-90o)A8

-+C.I1-j4

12V-+

.U1j4

L'副邊阻抗j1

折算到原邊為j4

。(Zeq=n2ZL)發(fā)生并聯(lián)諧振01三月202432例3：已知求Uab、i及功率表的讀數(shù)。2u1=220costVu2=220cost+100cos(3t+30o)V22解：三次諧波作用：4402+1002=Uab=451.22V一次諧波作用：.Uab(1)=4400oV.I(1)

=60+j20440=6.96-18.4oA.Uab(3)=10030oV.I(3)

=60+j60=1.18-15oA10030oi

=6.9622cos(3t-15o)A+1.18P=220×6.96cos18.4測(cè)量的是u1的功率=1452.92W-+.I

.U1j20

-+

.U2W**60

abcos(t-18.4o)01三月202433例4：已知L=0.1H，C3=1

F，電容C1中只有基波電流，電容C3中只有三次諧波電流，求C1、C2和各支路電流。給定iS=5+20cos1000t+10cos3000tA。LC2C1C3iSi1i2i3200W100W解：

C1、C3“有隔直通交”的作用，所以i2、i3中不含直流分量。I1(0)=5AC1中只有基波電流，說(shuō)明L和C2對(duì)三次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振：

I2(0)=I3(0)=0，C2=9w2L1=910mFC3中只有三次諧波電流，說(shuō)明L、C1、C2對(duì)基波發(fā)生串聯(lián)諧振：jwC11+j(wL-1/wC2)L/C2=0C1=980mF01三月202434基波作用時(shí)發(fā)生串聯(lián)諧振i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0

三次諧波作用時(shí)發(fā)生并聯(lián)諧振.I3m(3)

=100+200-j103/3100×10=9-j1030=2.2348oA.I1m(3)=.IS(3)-.I3m(3)-11oALC2C1C3iSi1i2i3200W100WiS=5+20cos1000t+10cos3000tALC2C1C3iSi1i2i3200W100W并聯(lián)諧振i2(3)=0。Z1(3)=100

Z3(3)=200

-j3103

=8.6701三月202435iS=5+20cos1000t+10cos3000tA直流作用時(shí)I1(0)=5A，I2(0)=I3(0)=0基波作用時(shí)i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0

三次諧波作用時(shí)的瞬時(shí)值i3(3)=2.23cos(3000t+48o)A

i1(3)=8.67cos(3000t-11o)A

按時(shí)域形式疊加：i1=5+8.67cos(3000t-11o)Ai2=20cos1000tAi3=2.23cos(3000t+48o)A

.I3m(3)

三次諧波作用時(shí)=2.2348oA.I1m(3)=8.67-11oAi2(3)=0。LC2C1C3iSi1i2i3200W100W01三月202436*§13-5對(duì)稱(chēng)三相電路的高次諧波設(shè)三相電源滿(mǎn)足uB=u(wt-120o)uC=u(wt+120o)

三相發(fā)電機(jī)、變壓器、電動(dòng)機(jī)等都帶有鐵心，所以由它們組成的對(duì)稱(chēng)三相電路，其電壓、電流都含有高次諧波分量。uA=u(wt)uowt由于電網(wǎng)中的電壓是鏡對(duì)稱(chēng)的，為奇諧函數(shù)。所以三相電壓的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中僅含有奇次諧波，不含直流和偶次諧波。則稱(chēng)uA、uB、uC為對(duì)稱(chēng)非正弦三相電源。iowt平頂波尖頂波01三月2024371.分析以u(píng)A、

uB、uC為例的展開(kāi)式(k為奇數(shù))：注意到三角函數(shù)的周期性，展開(kāi)式可以整理為uA

=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)+

+Um(k)cos(kw1t+fk)

uB

=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t-360o+f3)+Um5cos(5w1t-600o+f5)+Um7cos(7w1t-840o+f7

)uC

=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+360o+f3)+Um5cos(5w1t+600o+f5)+Um7cos(7w1t+840o+f7

)+

+

Um(k)cos[k(w1t-120o)+fk)]+

+

Um(k)cos[k(w1t+120o)+fk)]01三月202438uA

=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)

+

uB

=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)

+Um5cos(5w1t+120o+f5)+Um7cos(7w1t-120o+f7

)

+

uC

=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)

+Um5cos(5w1t-120o+f5)+Um7cos(7w1t+120o+f7

)

+

討論(n=0,1,2,3,

)：①基波、7次、、(k=6n+1)次諧波分別是正序?qū)ΨQ(chēng)的三相電壓，構(gòu)成正序組；②5次、11次、、(k=6n+5)次諧波分別構(gòu)成負(fù)序組；③3次、9次、、(k=6n+3)次諧波分別構(gòu)成零序組。01三月202439

結(jié)論三相對(duì)稱(chēng)的非正弦周期量(奇諧波)可以分解為3類(lèi)對(duì)稱(chēng)組，即正序?qū)ΨQ(chēng)組、負(fù)序?qū)ΨQ(chēng)組和零序?qū)ΨQ(chēng)組。分析計(jì)算時(shí)，按3類(lèi)對(duì)稱(chēng)組分別進(jìn)行。對(duì)于正序和負(fù)序?qū)ΨQ(chēng)組，可直接引用第12章的方法和有關(guān)結(jié)論。

下面僅分析零序組分量的響應(yīng)。01三月202440(1)對(duì)稱(chēng)的△電源零序組電壓源等幅同相k=3,9,15,

k=6n+3.UA(k)=.UB(k)=.UC(k)=.US(k)在三角形電源的回路中將產(chǎn)生零序環(huán)流3Zk3=.I0(k)=.US(k).US(k)Zk.UAB(k)=.UBC(k)=.UCA(k)=.US(k)-.I0(k)Zk=0

整個(gè)系統(tǒng)中除電源中有零序組環(huán)流外，其余部分的電壓、電流中將不含零序組分量。如在環(huán)流的作用下零序線(xiàn)電壓為零；