北京市海淀區(qū)2021年中考二模數(shù)學(xué)試題

海淀區(qū)九年級第二學(xué)期期末練習(xí)（二模）

數(shù)學(xué)

2021.4

1.本試卷共6頁，共五道大題，25道小題，滿分120分?？荚嚂r間120分鐘。

考

2.在試卷和答題卡上準確填寫學(xué)校名稱、姓名和準考證號。

生

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。

須

4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。

知

5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。

一、選擇題（本題共32分，每小題4分）

下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.

1.-6的相反數(shù)是

A-4B-IC.-6D.6

2.2013年12月2日凌晨，承載了國人登月夢想的“嫦娥三號”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功

發(fā)射.在此次發(fā)射任務(wù)中，火箭把“嫦娥三號”送入近地點高度約210千米、遠地點高

度約368000千米的地月轉(zhuǎn)移軌道.數(shù)字368000用科學(xué)記數(shù)法表示為

A.36.8X104B.3.68X106

C.3.68x105D.0.368X106□□

3.如圖是某個幾何體的三視圖，該幾何體是

主視圖左視圖

A.長方體B.圓錐

C.圓柱D.三棱柱O

俯視圖

4.如圖，AB〃CD,點E在CA的延長線上.若NBAE=40。，則/AC。

的大小為

A.150°B.140°

C.130°D.120°

5.擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，擲一次骰子,

在骰子向上的一面上出現(xiàn)點數(shù)大于4的概率為

1112

A.-B.-c.一D.-

6323

6.如圖，四邊形ABC。是。O的內(nèi)接正方形，點？是分上不同于點C的任意一點，則/

BPC的大小是

A.45°B.60°

C.75°D.90°

7.某次數(shù)學(xué)趣味競賽共有10道題目，每道題答對得10分，答錯或不答得0分，全班40

名同學(xué)參加了此次競賽，他們的得分情況如下表所示：

成績（分）5060708090100

人數(shù)25131073

則全班40名同學(xué)的成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是

A.75,70B.70,70

C.80,80D.75,80

8.如圖1,AB是半圓。的直徑，正方形OPNM的對角線ON與A8垂直且相等，。是OP

的中點.一只機器甲蟲從點A出發(fā)勻速爬行，它先沿直徑爬到點B,再沿半圓爬回到點A,

一臺微型記錄儀記錄了甲蟲的爬行過程.設(shè)甲蟲爬行的時間為f,甲蟲與微型記錄儀之間的

距離為》表示y與f的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，那么微型記錄儀可能位于圖1中的

A.點MB.點、NC.點、PD.點。

二、填空題（本題共16分，每小題4分）

9.分解因式：Z?3-6Z?2+9Z?=

10.請寫出一個y隨x增大而增大的正比例函數(shù)表達式，y=

11.在矩形ABC。中，由9個邊長均為1的正方形組

成的“L型”模板如圖放置，此時量得CF=3,則D

BC邊的長度為.F

BC

E

12.平面直角坐標系中有一點A（l,1）,對點A進行如下操作：

第一步，作點A關(guān)于％軸的對稱點A,延長線段A4到點兒,使得2A4=AA；

第二步，作點4關(guān)于y軸的對稱點A，延長線段&$到點4,使得2A4=劣4；

第三步，作點4關(guān)于％軸的對稱點A，延長線段4A到點A，使得2AAi=AA；

則點4的坐標為，點A0I4的坐標為.

三'解答題（本題共30分，每小題5分）

13.計算：|-V3|-（71+1）°-（-）-I-2COS30。

2

x+y=3,

14.解方程組:

2x—3y=1.

15.如圖，在△ABC與△BA。中，與8c相交于點E,

ZC=Z￡>,EA=EB.

求證：BC=AD.

16.已知4—4。。+4〃2=0，ab^O,求1+2?,(a-b)的值.

a-b

17.列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題：

每年的5月20日是中國學(xué)生營養(yǎng)日，某校社會實踐小組在這天開展活動，調(diào)查快餐

營養(yǎng)情況.他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息（如圖）.若這份快餐中所含的

蛋白質(zhì)與碳水化合物的質(zhì)量之和不高于這份快餐總質(zhì)量的70%,求這份快餐最多含有多

少克的蛋白質(zhì)？Z、

信息

1.快餐成分：蛋白質(zhì)、脂肪、碳水化合物和其它.

2.快餐總質(zhì)量為400克.

3.碳水化合物質(zhì)量是蛋白質(zhì)質(zhì)量的4倍.

4

18.如圖，一次函數(shù)y=Lc+2的圖象與反比例函數(shù)y

X

的圖象交于點A(l,m),與x軸交于點B.

(1)求一次函數(shù)的解析式和點B的坐標；

(2)點C在x軸上，連接4c交反比例函數(shù)y=2的圖

x

象于點P,且點P恰為線段AC的中點.請直接寫出點

P和點C的坐標.

四、解答題(本題共20分，每小題5分)

19.如圖，在△ABC中，點。、E分別是邊2C、AC的中點，

過點A作A/〃BC交OE的延長線于F點，連接CF.

(1)求證：四邊形ABOB是平行四邊形；

(2)若NCAF=45°,BC=4,CF=J15,求△CAF的面積.

20.為了滿足廣大手機用戶的需求，某移動通信公司推出了三種套餐，資費標準如下表所示:

套餐資費標準

套餐包含內(nèi)容超出套餐后的費用

月套餐套餐

國內(nèi)移動本地主國內(nèi)移動

類型費用本地主叫市話短信短信

數(shù)據(jù)流量叫市話數(shù)據(jù)流量

套餐一18元30分鐘100條50兆

0.1元/0.1元/

套餐二28元50分鐘150條100兆0.5元/兆

分鐘條

套餐三38元80分鐘200條200兆

小瑩選擇了該移動公司的一種套餐，下面兩個統(tǒng)計圖都反映了她的手機消費情況.

(填“一”、“二”或“三”)；

(2)補全條形統(tǒng)計圖，并在圖中標明相應(yīng)的數(shù)據(jù)；

(3)根據(jù)2013年后半年每月的消費情況，小瑩估計自己每月本地主叫市話通話大約

430分鐘，發(fā)短信大約240條，國內(nèi)移動數(shù)據(jù)流量使用量大約為120兆，除此之

外不再產(chǎn)生其他費用，則小瑩應(yīng)該選擇套餐最劃算(填“一”、“二”或“三”)；

選擇該套餐后，她每月的手機消費總額約為元.

21.如圖，A8為。。直徑，C、。為。。上不同于A、8的兩點，NABD=2NBAC,連接

CD過點C作CELOB,垂足為E,直線AB與CE相交于產(chǎn)點.

（1）求證：CF為。。的切線；

3

（2）當BF=5,sinP=一時，求的長.

22.在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們研究圖形的拼接問題.

比如：兩個全等的等腰直角三角形紙片既能拼成一個大的等腰直角三角形（如圖1）,

也能拼成一個正方形（如圖2）.

（1）現(xiàn)有兩個相似的直角三角形紙片，各有一個角為30。，恰好可以拼成另一個含有30°

角的直角三角形，那么在原來的兩個三角形紙片中，較大的與較小的紙片的相似比

為，請畫出拼接的示意圖；

（2）現(xiàn)有一個矩形恰好由三個各有一個角為30°的直角三角形紙片拼成，請你畫出兩種

不同拼法的示意圖.在拼成這個矩形的三角形中，若每種拼法中最小的三角形的斜

邊長為a,請直接寫出每種拼法中最大三角形的斜邊長.

五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）

23.已知關(guān)于X的方程：f一（加一1?一加=。①和

幺一（9-〃z）x+2（/n+l）=3②，其中機＞0.

（1）求證：方程①總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)二次函數(shù)=X2一（帆一1）》一"2的圖象與X軸交于

A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），將A、8兩點按

照相同的方式平移后，點A落在點A'（1,3）處，點B落

在點*處，若點B'的橫坐標恰好是方程②的一個根,

求W1的值：

（3）設(shè)二次函數(shù)%=/—（9—m）x+2（m+l）,在（2）的條件下，函數(shù)y,%的圖象

位于直線x=3左側(cè)的部分與直線y=（&〉0）交于兩點，當向上平移直線

y=丘時.，交點位置隨之變化，若交點間的距離始終不變，則左的值是

24.在△ABC中，NABC=9(T,。為平面內(nèi)一動點，A￡>=a,AC=b,其中小6為常數(shù),

且。<人將△4或)沿射線BC方向平移，得到△尸CE,點A、B、。的對應(yīng)點分別為點F、

C、E.連接5E.

(1)如圖1,若。在△ABC內(nèi)部，請在圖1中畫出△FCE；

(2)在(1)的條件下，若求8E的長(用含6的式子表示)；

(3)若NBAC=a,當線段BE的長度最大時，則NB4。的大小為；當線段

8E的長度最小時，則NS4D的大小為(用含a的式子表示).

圖1備用圖

25.對于半徑為r的。P及一個正方形給出如下定義：若。P上存在到此正方形四條邊距離都

相等的點，則稱0P是該正方形的“等距圓如圖1,在平面直角坐標系xOy中，正方

形ABC。的頂點A的坐標為(2,4),頂點C、。在x軸上，且點C在點。的左側(cè).

(1)當44五時，

①在Pi(0,-3),Pi(4,6),尸3(4應(yīng)，2)中可以成為正方形A8C。的“等距

圓”的圓心的是；

②若點P在直線y=-X+2上，且。尸是正方形ABCQ的“等距圓”，則點P的坐

標為；

(2)如圖2,在正方形ABCD所在平面直角坐標系xOy中，正方形EFGH的頂點F的

坐標為(6,2),頂點E、”在y軸上，且點”在點E的上方.

①若。P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求。P在y

軸上截得的弦長；

②將正方形488繞著點。旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段上沒有一個點能

成為它的''等距圓”的圓心，則，?的取值范圍是.

圖1圖2

海淀區(qū)九年級第二學(xué)期期末測評

數(shù)學(xué)試卷答案及評分參考

2021.6

三、解答題(本題共30分，每小題5分)

13.解：|一百|(zhì)-(7i+l)°+(g)T—2cos30°

=yfi—1+2—2x............................................4分

2

=1....................................................................5分

x+y=3,①

14,

2x-3y=l.②

解：由①x3+②得，5x=l().

解得，x=2.........................................................2分

把x=2代入①得，y=l.................................................4分

x=2,

.,?原方程組的解為《.....................................5分

[y=L

15.

證明：在△C4E和△O8E中，

CD

ZC=ZD,

<NCEA=NDEB,

EA=EB,AB

：.^\CAE^/\DBE......................................................3分

：.CE=DE..............................................................4分

?：EA=EB,

CE+EB=DE+EA.即BC=AD.5分

16.解：,：a2-4ab+4b2=0,

：.(a-2b)2=0..........................................................1分

?a=2b.2分

v而w0,

a+2b.,.a+2b

-z------7(a-b)=------------------

2-h2(a-h)(a+h)

_a+2b

...........................................3分

a+b

2b+2b

...........................................4分

~2b+b

4

...............................................5分

3

17.解：設(shè)這份快餐含有x克的蛋白質(zhì).........................................1分

根據(jù)題意可得：x+4x<400x70%.....................................3分

解不等式，得xV56...................................................4分

答：這份快餐最多含有56克的蛋白質(zhì)....................................5分

4

18.解：（1）4（1,〃?）在>=一的圖象上,

...A點的坐標為（1,4）.

VA點在一次函數(shù)y^kx+2的圖象上,

,4=4+2.

：.k=2.

，一次函數(shù)的解析式為y=2x+2.,?…

令y=0,即2x+2=0,解得x=-l.

.,.點B的坐標為（-1,0）..................................................3分

（2）點尸的坐標為（2,2）；點C的坐標為（3,0）...........................5分

四、解答題（本題共20分，每小題5分）

19.（1）證明：；點。、E分別是邊8CAC的中點，

J.DE//AB..........................................1分

\'AF//BC,

二四邊形ABDF是平行四邊形......................................2分

（2）解：過點F作/G,AC于G點.?r

,/BC=4,點。是邊BC的中點，/\/7\

：.BD=2./GV\

由（1）可知四邊形ABDF是平行四邊形，//W

BDC

：.AF=BD=2,

VZCAF=45°,

:?AG=GF=4i.3分

在RtZ\FGC中，NFGC=90；GF=6,CF=M,

：.GC=ylFC2-FG2=2A/2.........................................................................4分

：.AC=AG+GC=3s/2.

SCAF=-AC-FG=-x3y/2x^2=3.......................................................5分

22

20.解：(1)二；..........................................................1分

(2)

超ll+

7月8月9月10月11月12月月份

(3)三；77.......................................................................................................5分

21.證明：(1)連接OC.

9：OA=OC,

：.Z1=Z2..

又?：N3=N1+N2,

??.Z3=2Z1.

又???Z4=2Z1,

???N4=N3.................................I分

/.OC//DB.

?；CE_LDB,

???OC1CF.

又丁OC為。。的半徑，

???C/為(DO的切線............................................2分

(2)連結(jié)AO.

3

在產(chǎn)中，ZBEF=90°,BF=5,sinF=-,

???BE=3.................................................................................................3分

■:OC//BE,

：.4FBEsAFOC.

.FBBE

**OC,

設(shè)。。的半徑為r,

?53

'5+rr

15八

r=——...................................................4分

2

:AB為。0直徑，

A3=15.

ZADZ?=90°.

N4=NEBF,

：.ZF=NBAD.

..BD「3

..sinNBAD=---=sinT7=—.

AB5

,BD_3

：.BD=9...................................................5分

(2)

最大三角形的斜邊長分別是2a,2a.........................................5分

五、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)

23.解：(1)A=(m—I)2+4m=zn2+2m+l=(m+1)2......................1分

由機>0知必有機+l>0,故△〉().

二方程①總有兩個不相等的實數(shù)根......................................2分

(2)令y=0,依題意可解得A(—1,0),

；平移后，點A落在點4(1,3)處，

...平移方式是將點A向右平移2個單位，再向上平移3個單位得至U.

點B(m,0)按相同的方式平移后，點B'為(加+2,3)..................3分

則依題意有(m+2)2-(9-m)(m+2)+2(w+l)=3...................4分

解得町=3,加2=一；(舍負).

機的值為3....................................................5分

3

(3)k=-.....................................................7分

2

24.解：

(1)

...................................2分

(2)連接BF.

???將△4BD沿射線BC方向平移，得到△尸CE,

S.AD//EF,AD=EF-,AB//FC,AB=FC.

:NABC=90。，

四邊形A8CF為矩形.

：.AC=BF............................3分

?:ADA.BE,

/.EFYBE..........................4分

*/AD=a,AC=b,

/.EF=a,BF=b.

BE=&2-a2................................................5分

(3)180°-a；a..............................................7分

25.解：

(1)①P2,尸3；.................................................2分

②尸(-4,6)或P(4,-2)......................................4分

(2)①解：

；QP同時為正方形ABCD與正方形EFGH的“等距圓”，

QP同時過正方形ABCD的對稱中心E和正方形EFGH的對稱中心/.

點尸在線段E/的中垂線上.

(2,4),正方形48C。的邊CD在x軸上；F(6,2),正方形EFGH的邊

4E在y軸上，

：.E(0,2),/(3,5)

：.ZIEH=45°,

設(shè)線段E/的中垂線與)，軸交于點L與x軸交于點M,

...△L/E為等腰直角三角形，U_Ly軸，

：.L(0,5),

...△LOM為等腰直角三角形，LO=OM

：.M(5,0),

二戶在直線y=r:+5上，

.,.設(shè)P(p,-p+5)

過戶作PQ1.直線BC于Q,連結(jié)PE,

?.?。尸與BC所在直線相切，

：.PE=PQ,

??p~+(~p+5—2)=(p+2),

解得：0=5+2石，化=5-26,

《(5+26,-26)，2(5-26,2石)................................5分

???。尸過點E,且E點在y軸上，

OP在y軸上截得的弦長為2卜2石-2卜4厲+4或2F石-2卜4萬-4....6分

②0＜廠＜&或r＞2折+2式.........................................8分

注：其他解法請參照給分.

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，

是否符合實際，檢驗后寫出答案.

2.和差倍分問題：增長量=原有量X增長率現(xiàn)在量

=原有量+增長量

3.等積變形問題：常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積義高=S?h=；rr2h

②長方體的體積V=長義寬X高=2n

4.數(shù)字問題

一般可設(shè)個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場經(jīng)濟問題

（1）商品利潤=商品售價一商品成本價（2）商品利潤率=

商品利潤X100%

商品成本價

（3）商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

（4）商品的銷售利潤=（銷售價一成本價）X銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標價的80%出售.

6.行程問題：路程=速度X時間時間=路程+速度速度=路

程小時間

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）

速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考

慮相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率義工作時間

完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲蓄問題

利潤=每個期的利息義100%利息=本金X利率X期數(shù)

本金

實際問題與二元一次方程組題型歸納(練習(xí)題答案)

類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，

那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出

發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時，依題意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時，乙的速度是3.6千米/每小時。

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用

20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時，則水流速度y千米/小時，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得:x=17,y=3

答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時、水流速度3千米/小時，

類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題

【變式】小明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2

萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若

只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說

明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的X和y,則

J+/=10

（6得，故1+工=10（周）11—工=15周

“c,11015

[4K+9,=1y=—

即甲、乙完成這項工程分別需10周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢分別為3元，b萬元則

'_3

（6a+6&=5.2[10a=6（萬元）

|得，此時，__

14a+98=4.8_4=4②兀）

比莪知，從節(jié)約開支角度考慮，選乙公司劃算

類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題

【變式1]（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2】某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價

如下表：

AB

進價（元/件）12001000

售價（元/件）13801200

（注：獲利=售價一進價）求該商場購進A、B兩種商品各多少件;

解：設(shè)購進A的數(shù)量為x件、購進B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲蓄問題

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共

存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相

同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行

年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元（不計利息稅），問小敏的爸

爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)x為第一種存款的方式，丫第二種方式存款，則

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500o

答：略。

類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問題

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與

兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個，盒底22y個

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110張做盒身，80張做盒底

【變式2］某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品,

每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺

母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人,生產(chǎn)螺母的工人為v人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做

桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少張方桌？

解：設(shè)用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5.........................⑴

50X：300Y=1：4.......................⑵

解得：丫=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

類型六：列二元一次方程組解決一一增長率問題

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口增加1%,求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解這個方程組，得：x=14,y=28

答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬人，農(nóng)村人口有28萬人。

類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題

【變式1】略

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。

如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽

比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設(shè)：男有X人，女有丫人，則

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

類型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問題

【變式1］一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以

它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)是X,個位數(shù)是y,則這個數(shù)是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1⑵

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：這個兩位數(shù)是56

【變式2]一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個

位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個兩位數(shù)？

解：設(shè)個位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+丫=13

解得：X=9?Y=4

這個數(shù)就是49

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位

數(shù)字減1,個位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，

求原三位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)百位是x,個位是y那么

x+y=9

x-y=1

兩式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原數(shù)是504

類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題

【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水

各需多少？

解：設(shè)10%的X克，85%的Y克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【變式2]一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%

的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：800千克1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800x1.75%=14千克

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14+35%=40千克

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克

答：用40千克濃度為35%的農(nóng)藥添加760千克的水，才能配成濃度為1.75%的農(nóng)藥

800千克。

類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長

邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形

的面積比矩形面積大多少？

解：設(shè)長方形的長寬分別為x和y厘米，則

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得:x=15,y=9

正方形的面積比矩形面積大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答:略

【變式2]一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m,它的周長是132m,則長和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長為遼，寬為ym，則

142

_132

x-v------X一-3

2解得V

_56

、2y+10=xV

3

所以寬和長分別為苧m、142

類型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問題

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后,

他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

解：設(shè)小李X歲，爺爺Y歲，則

5X=Y

3(X+12)=Y+12

兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60

所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。

類型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問題:

【變式】某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機，已知廠家生產(chǎn)三種不同

型號的電視機，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。

(1)若商場同時購進其中兩種不同型號的電視機50臺，用去9萬元，請你研究一下商

場的進貨方案；

(2)若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機分別可獲利150元、200元、250元，在以上的

方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進貨方案？

解：Q)分情況計算：設(shè)購進甲種電視機*臺，乙種電視機y臺，丙種電視機Z臺.

X+J=50,r=25,

15OOx+2100y=90000懈得‘y=25.

（I）購進甲、乙兩種電視機

Jx+z=50,r=35,

15OOx+25OOy=90000.解得“

（H）購進甲、丙兩種電視機y=15.

Jy+z=50,X=87J5,

【2100"2500z=90000.解得=-375（不合實際，舍去）

（m）購進乙、丙兩種電視機

故商場進貨方案為購進甲種25臺和乙種25臺；或購進甲種35臺和丙種15臺.

（2）按方案（I），獲利150x25+200x25=8750（元）;

按方案（U），獲利150x35+250xl5=9000（元）.

二選擇購進甲種35臺和丙種15臺.

三、列方程解應(yīng)用題

1.將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先

做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?

3.將一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的

水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到

0.1毫米,14）.

4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋

需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長.

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5,這種三色冰淇淋

中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個.在這16名工人中,

一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.己知每加工一個甲種零件可獲利16元,

每加工一個乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，