微積分 第七版 課件 5.2 變上限定積分_第1頁
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文檔簡介

1第二節(jié)

變上限定積分本節(jié)學(xué)習(xí)目標010203掌握變上限定積分求導(dǎo)掌握變上限定積分的重要性質(zhì)掌握變上限定積分含義能熟練計算帶有變上限定積分的極限04一、變上限定積分

定積分的值取決于被積函數(shù)f(x)的對應(yīng)關(guān)系“f”及積分下限a、積分上限b.若被積函數(shù)f(x)的對應(yīng)關(guān)系“f”確定不變,積分下限a固定,只有積分上限b變化,則稱這樣的定積分為變上限定積分.3注意到函數(shù)Φ(x)為積分上限x的函數(shù),而不是積分變量x的函數(shù),為避免混淆,根據(jù)§5.1定理5.1,將積分變量記號x改寫為t,于是

不妨用變量記號x表示變上限定積分的積分上限,這時對于閉區(qū)間[a,b]上每一點x,恒有一個定積分值與之對應(yīng),因此變上限定積分為積分上限x的函數(shù),記作

4二、變上限定積分重要性質(zhì)的定理1.定理5.3

5下面給出反映變上限定積分重要性質(zhì)的定理證:對應(yīng)于自變量改變量Δx≠0,

函數(shù)Φ(x)取得改變量ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)

根據(jù)§5.1定理5.2,在點x與x+Δx之間至少存在一點η,使得

6即有

因而得到函數(shù)改變量ΔΦ=f(η)Δx即比值

注意到點η在點x與x+Δx之間,當Δx→0時,當然有η→x;又由于函數(shù)f(x)連續(xù),因而有f(η)→f(x).7

8

說明連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù),這正是§4.1關(guān)于原函數(shù)存在性的結(jié)論.當然,對于中間變量u=u(x),這個定理可以推廣為

92.定理說明:

在被積函數(shù)連續(xù)的條件下,變上限定積分對積分上限x的一階導(dǎo)數(shù)等于將被積函數(shù)表達式中的變量記號t改寫為積分上限x所得到的函數(shù),而與積分下限a(常數(shù))無關(guān).例1

sinex10例1

=cosex·(ex)'=excosex11例2

因此所求一階導(dǎo)數(shù)

=-sinex-sinex12例3

13根據(jù)§2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則與定理5.3的推廣,所以所求一階導(dǎo)數(shù)y'=y'uu'

14例4

解:應(yīng)用§5.1定積分基本運算法則4,當x→0時,變上限定積分

15

16例5

定理5.3,得到函數(shù)f(x)=15x2所以所求一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=30x17

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