微積分 第7版 課件 第一章 函數(shù)與極限

1微積分（經(jīng)濟(jì)類與管理類）第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)的類別與基本性質(zhì)第二節(jié)幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式第三節(jié)極限的概念與基本運(yùn)算法則第四節(jié)無(wú)窮大量與無(wú)窮小量第五節(jié)未定式極限第六節(jié)兩個(gè)重要極限第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性2本章思維導(dǎo)圖第一節(jié)

函數(shù)的類別與基本性質(zhì)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203理解函數(shù)的性質(zhì)、極值與最值概念了解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念掌握函數(shù)的類別能熟練分解復(fù)合函數(shù)04本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握函數(shù)的類別了解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念理解函數(shù)的性質(zhì)、極值與最值概念能熟練分解復(fù)合函數(shù)引導(dǎo)案例---個(gè)人所得稅問題2019年1月1日起施行新修改的《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》，對(duì)于工資薪金所得計(jì)稅時(shí)適用新的基本減除費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)（5,000元/月）。個(gè)人所得稅稅率表（綜合所得適用）如下：1.若工資薪金個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額為x元，請(qǐng)寫出個(gè)人所得稅金額y與x之間的關(guān)系。2.以北京地區(qū)為例，某公司小王每月工資中應(yīng)納稅額10,000.00元，計(jì)算他應(yīng)繳納個(gè)稅為多少？一、基本初等函數(shù)首先討論基本初等函數(shù),它共有六大類.1.常量函數(shù)y=c(c為常數(shù))屬于這一類的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè),它們的定義域D=(-∞,+∞)2.冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))屬于這一類的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè),它們的定義域D與指數(shù)α的值有關(guān),但無(wú)論指數(shù)α的值等于多少,恒有D?(0,+∞).83.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)屬于這一類的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè),它們的定義域D=(-∞,+∞).4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)屬于這一類的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè),它們的定義域D=(0,+∞)95.三角函數(shù)屬于這一類的函數(shù)有六個(gè),主要是四個(gè):正弦函數(shù)y=sinx,定義域D=(-∞,+∞);余弦函數(shù)y=cosx,定義域D=(-∞,+∞);余切函數(shù)y=cotx,定義域D=(0,π).此外尚有正割函數(shù)y=secx與余割函數(shù)y=cscx.在本門課程中,一律以弧度作為度量角的單位.10

6.反三角函數(shù)屬于這一類的函數(shù)也有六個(gè),主要是四個(gè):

反余弦函數(shù)y=arccosx,定義域D=[-1,1],值域G=[0,π];

反余切函數(shù)y=arccotx,定義域D=(-∞,+∞),值域G=(0,π).基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算得到的函數(shù)稱為簡(jiǎn)單函數(shù).11二、函數(shù)改變量考慮函數(shù)y=f(x),自變量取值皆屬于定義域,在屬于定義域的點(diǎn)x0處,當(dāng)自變量有了改變量Δx≠0,即自變量取值從x0變化到x0+Δx,這時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值從f(x0)變化到f(x0+Δx),因而函數(shù)也有了改變量,函數(shù)改變量記作Δy=f(x0+Δx)-f(x0)一般地,對(duì)于函數(shù)y=f(x),在屬于定義域的任意點(diǎn)x處,若自變量有了改變量Δx≠0,則函數(shù)改變量為Δy=f(x+Δx)-f(x)特別對(duì)于常量函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù)),函數(shù)改變量為f(x+Δx)-f(x)=c-c=012三、分解復(fù)合函數(shù)在進(jìn)行微積分運(yùn)算時(shí),有時(shí)需要分解復(fù)合函數(shù)分解自變量為x的復(fù)合函數(shù)y是指:令中間變量u等于復(fù)合函數(shù)y中作最后數(shù)學(xué)運(yùn)算的表達(dá)式,將復(fù)合函數(shù)y分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x).若函數(shù)u(x)為基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù),則分解終止;若函數(shù)u(x)仍為復(fù)合函數(shù),則繼續(xù)分解復(fù)合函數(shù)u(x).13例1

14例2分解復(fù)合函數(shù)y=lglgx解:這個(gè)復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運(yùn)算是表達(dá)式lgx作為真數(shù)取對(duì)數(shù)運(yùn)算,因而令中間變量u=lgx,所以復(fù)合函數(shù)y=lglgx分解為y=lgu與u=lgx15例3分解復(fù)合函數(shù)y=cos45x解:這個(gè)復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運(yùn)算是表達(dá)式cos5x作為底求冪運(yùn)算,因而令中間變量u=cos5x,所以復(fù)合函數(shù)y=cos45x分解為y=u4與u=cos5x但函數(shù)u=cos5x仍為復(fù)合函數(shù)這個(gè)復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運(yùn)算是表達(dá)式5x作為角度求正弦運(yùn)算再令中間變量v=5x,繼續(xù)將復(fù)合函數(shù)u=cos5x分解為u=cosv與v=5x16為了微積分運(yùn)算的需要,有的簡(jiǎn)單函數(shù)可以看作是復(fù)合函數(shù)而進(jìn)行分解如簡(jiǎn)單函數(shù)y=(1+x3)10是30次多項(xiàng)式,

分解為y=u10與u=1+x3

17四、初等函數(shù)的定義定義1.1若函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算與有限次的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的,且用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示,則稱這樣的函數(shù)為初等函數(shù).除初等函數(shù)外,還有分段函數(shù).18分段函數(shù)定義定義1.2已知函數(shù)定義域被分成有限個(gè)區(qū)間,若在各個(gè)區(qū)間上表示對(duì)應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,但單獨(dú)定義各個(gè)區(qū)間公共端點(diǎn)處的函數(shù)值;或者在各個(gè)區(qū)間上表示對(duì)應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式不完全一樣,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).其中定義域所分成的有限個(gè)區(qū)間稱為分段區(qū)間,分段區(qū)間的公共端點(diǎn)稱為分界點(diǎn),同時(shí)假定分段函數(shù)在各個(gè)分段區(qū)間上的對(duì)應(yīng)規(guī)則都是初等函數(shù)表達(dá)式.19如何計(jì)算分段函數(shù)？如何計(jì)算分段函數(shù)的函數(shù)值?觀察分段函數(shù)在各分段區(qū)間上的對(duì)應(yīng)規(guī)則與在各分界點(diǎn)處的取值,明確所給自變量取值屬于哪個(gè)分段區(qū)間或分界點(diǎn)再用該分段區(qū)間上的數(shù)學(xué)表達(dá)式計(jì)算函數(shù)值或等于該分界點(diǎn)處的函數(shù)取值20如分段函數(shù)

在點(diǎn)x=0處的函數(shù)值f(0)=3×0-1=-1,在點(diǎn)x=1處的函數(shù)值f(1)=12+1=2。21五、函數(shù)的基本性質(zhì)1.奇偶性定義1.3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)于任意點(diǎn)x∈D若恒有f(-x)=-f(x),則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)若恒有f(-x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù).奇函數(shù)的圖形對(duì)稱于原點(diǎn),偶函數(shù)的圖形對(duì)稱于縱軸.當(dāng)然,許多函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù).22例4判斷函數(shù)f(x)=x2sinx的奇偶性解:由于關(guān)系式f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-f(x)所以函數(shù)f(x)=x2sinx為奇函數(shù)23例5判斷函數(shù)f(x)=x4-3x2的奇偶性解:由于關(guān)系式所以函數(shù)f(x)=x4-3x2為偶函數(shù).f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x)242.有界性定義1.4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,若存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得對(duì)于所有點(diǎn)x∈I,恒有|f(x)|≤M,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界否則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無(wú)界.25例6判斷函數(shù)f(x)=sinx在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)的有界性.解:在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi),無(wú)論自變量即角度x取值等于多少恒有|f(x)|=|sinx|≤1所以函數(shù)f(x)=sinx在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)有界.26例7

解:在區(qū)間(0,1)內(nèi),自變量即分母x取值可以無(wú)限接近于零

說明對(duì)于任意正的常數(shù),都存在充分接近于原點(diǎn)的點(diǎn)x,使得函數(shù)絕對(duì)值大于它

273.單調(diào)性定義1.5已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)有定義,對(duì)于開區(qū)間J內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x2>x1時(shí)若恒有f(x2)>f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào)增加,開區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間;若恒有f(x2)<f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào)減少,開區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間.28函數(shù)單調(diào)增加與函數(shù)單調(diào)減少統(tǒng)稱為函數(shù)單調(diào),單調(diào)增加區(qū)間與單調(diào)減少區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.函數(shù)單調(diào)說明因變量與自變量一一對(duì)應(yīng),它存在反函數(shù),反函數(shù)也單調(diào).函數(shù)單調(diào)增加,說明函數(shù)值隨自變量取值增大而增大,函數(shù)曲線上升函數(shù)單調(diào)減少,說明函數(shù)值隨自變量取值增大而減小,函數(shù)曲線下降294.極值定義1.6已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其左右有定義,對(duì)于點(diǎn)x0左右很小范圍內(nèi)任意點(diǎn)x≠x0,若恒有f(x0)>f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn);若恒有f(x0)<f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).30極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).極值是局部性的概念,它只是與極值點(diǎn)左右很小范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比較而得到的.極值點(diǎn)只能是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn),不能是給定區(qū)間的端點(diǎn).顯然,單調(diào)函數(shù)無(wú)極值.315.最值定義1.7已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,且點(diǎn)x0∈I.對(duì)于任意點(diǎn)x∈I,若恒有f(x0)≥f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值點(diǎn)若恒有f(x0)≤f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值點(diǎn).32最大值與最小值統(tǒng)稱為最值,最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn).最值是整體性的概念,它是與給定區(qū)間上的所有函數(shù)值比較而得到的.最值點(diǎn)可以是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn),也可以是給定區(qū)間的端點(diǎn).3334本次課程結(jié)束第二節(jié)

幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練建立幾何與經(jīng)濟(jì)方面的函數(shù)關(guān)系式并計(jì)算出其定義域了解經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式掌握幾何方面常見函數(shù)關(guān)系式一、幾何方面函數(shù)關(guān)系式矩形面積S等于長(zhǎng)x與寬u的積,即S=xu特別地,正方形面積S等于邊長(zhǎng)x的平方,即S=x2矩形面積長(zhǎng)方體體積V等于底面積(矩形面積)S與高h(yuǎn)的積,即V=Sh長(zhǎng)方體體積37圓柱體體積V等于底面積(圓面積)πr2(r為底半徑)與高h(yuǎn)的積,即圓柱體體積側(cè)面積(相當(dāng)于矩形面積)S等于底周長(zhǎng)2πr與高h(yuǎn)的積,即V=πr2hS=2πrh38例1

欲圍一塊面積為216m2的矩形場(chǎng)地,矩形場(chǎng)地東西方向長(zhǎng)xm、南北方向?qū)抲m,沿矩形場(chǎng)地四周建造高度相同的圍墻,并在正中間南北方向建造同樣高度的一堵墻,把矩形場(chǎng)地隔成兩塊,試將墻的總長(zhǎng)度Lm表示為矩形場(chǎng)地長(zhǎng)xm的函數(shù).39例1解:已設(shè)矩形場(chǎng)地長(zhǎng)為xm、寬為um,如圖由于矩形場(chǎng)地面積為216m2,因而有關(guān)系式xu=216,即

所以墻的總長(zhǎng)度

40例2

欲做一個(gè)底為正方形、表面積為108m2的長(zhǎng)方體開口容器,試將長(zhǎng)方體開口容器的容積Vm3表示為底邊長(zhǎng)xm的函數(shù).解:已設(shè)長(zhǎng)方體開口容器底邊長(zhǎng)為xm,再設(shè)高為hm,如圖41由于長(zhǎng)方體開口容器表面積為108m2,它等于下底面積x2與側(cè)面積4xh之和,因而有關(guān)系式x2+4xh=108,即

所以長(zhǎng)方體開口容器容積

42例3

欲做一個(gè)容積為V0的圓柱形封閉罐頭盒,試將圓柱形封閉罐頭盒表面積S表示為底半徑r的函數(shù).解:已設(shè)圓柱形封閉罐頭盒底半徑為r,再設(shè)高為h,如圖43由于罐頭盒容積為V0,因而有關(guān)系式πr2h=V0,即

由于上、下底面積分別為πr2,側(cè)面積為2πrh,所以圓柱形封閉罐頭盒表面積

44二、經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式(1)總成本函數(shù)

在生產(chǎn)過程中,產(chǎn)品的總成本C為產(chǎn)量x的單調(diào)增加函數(shù),記作C=C(x)它包括兩部分:固定成本C0(廠房及設(shè)備折舊費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)等)、變動(dòng)成本C1(材料費(fèi)、燃料費(fèi)、提成獎(jiǎng)金等)固定成本C0不受產(chǎn)量x變化的影響,產(chǎn)量x=0時(shí)的總成本值就是固定成本,即C0=C(0);變動(dòng)成本C1受產(chǎn)量x變化的影響,記作C1=C1(x)于是總成本C=C(x)=C0+C1(x)45經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式(2)平均單位成本

在討論總成本的基礎(chǔ)上,還要進(jìn)一步討論均攤在單位產(chǎn)量上的成本.均攤在單位產(chǎn)量上的成本稱為平均單位成本,記作

46(3)總收益函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后總收益R等于產(chǎn)量x與銷售價(jià)格p的積.若銷售價(jià)格p為常數(shù),則總收益R為產(chǎn)量x的正比例函數(shù),即R=R(x)=px若考慮產(chǎn)品銷售時(shí)的附加費(fèi)用、折扣等因素,這時(shí)作為平均值的銷售價(jià)格p受產(chǎn)量x變化的影響,不再為常數(shù),記作p=p(x),則總收益R=R(x)=xp(x)47(4)總利潤(rùn)函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)L等于總收益R減去總成本C,即L=L(x)=R(x)-C(x)48(5)需求函數(shù)

銷售商品時(shí),應(yīng)密切注意市場(chǎng)的需求情況,需求量Q當(dāng)然與銷售價(jià)格p有關(guān),此外還涉及消費(fèi)者的數(shù)量、收入等其他因素,若這些因素固定不變,則需求量Q為銷售價(jià)格p的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為需求函數(shù),記作Q=Q(p)一般說來,當(dāng)商品提價(jià)時(shí),需求量會(huì)減少;當(dāng)商品降價(jià)時(shí),需求量就會(huì)增加.因此需求函數(shù)為單調(diào)減少函數(shù)49說明：

在理想情況下,商品的生產(chǎn)既滿足市場(chǎng)需求又不造成積壓.這時(shí)需求多少就銷售多少,銷售多少就生產(chǎn)多少,即產(chǎn)量等于銷售量,也等于需求量,它們有時(shí)用記號(hào)x表示,也有時(shí)用記號(hào)Q表示.本門課程討論這種理想情況下的經(jīng)濟(jì)函數(shù).50例4某產(chǎn)品總成本C萬(wàn)元為年產(chǎn)量xt的函數(shù)C=C(x)=a+bx2其中a,b為待定常數(shù).已知固定成本為400萬(wàn)元,且當(dāng)年產(chǎn)量x=100t時(shí),總成本C=500萬(wàn)元

51解:由于總成本C=C(x)=a+bx2,從而當(dāng)產(chǎn)量x=0時(shí)的總成本C(0)=a,說明常數(shù)項(xiàng)a為固定成本,因此確定常數(shù)a=400再將已知條件:x=100時(shí),C=500代入到總成本C的表達(dá)式中,得到關(guān)系式500=400+b·1002從而確定常數(shù)

52于是得到總成本函數(shù)表達(dá)式

所以平均單位成本

53例5某產(chǎn)品總成本C元為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)

產(chǎn)品銷售價(jià)格為p元/kg,它與日產(chǎn)量xkg的關(guān)系為

試將每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)L元表示為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)54解:生產(chǎn)xkg產(chǎn)品,以價(jià)格p元/kg銷售,總收益為

又已知生產(chǎn)xkg產(chǎn)品的總成本為

所以每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)55

56上述討論的目的不僅是建立幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式,而是在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究它們的性質(zhì),其中一個(gè)主要內(nèi)容是求它們的最值點(diǎn),即討論幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化問題在例1中,矩形場(chǎng)地長(zhǎng)x為多少時(shí),才能使得墻的總長(zhǎng)度L最短在例2中,長(zhǎng)方體開口容器底邊長(zhǎng)x為多少時(shí),才能使得容器容積V最大57在例3中,圓柱形封閉罐頭盒底半徑r為多少時(shí),才能使得罐頭盒表面積S最小

在例5中,日產(chǎn)量x為多少時(shí),才能使得每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)L最大5859本次課程結(jié)束

第三節(jié)

極限的概念與基本運(yùn)算法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練判斷分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限熟練掌握極限的基本運(yùn)算法則理解極限的思想和概念案例1.劉徽---割圓術(shù)

古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”.其體現(xiàn)了樸素的極限思想，是最早用極限思想解決實(shí)際問題的。所謂割圓術(shù)，就是從圓內(nèi)接正六多邊形開始，不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓周率的方法。即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，邊數(shù)越多，正多邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)，正多邊形的面積越接近圓的面積，進(jìn)而來求得較為精確的圓周率。劉徽(約225年-約295年)，漢族，山東濱州鄒平市人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一。在中國(guó)數(shù)學(xué)史上作出了極大的貢獻(xiàn)，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。他是中國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期哲學(xué)家:莊周“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”《莊子天下篇》一尺即“一根長(zhǎng)為一尺的棒頭，每天截去一半，千秋萬(wàn)代也截不完.”說明了物質(zhì)無(wú)限可分，人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)是沒有止境的道理。未看到量變到一定程度會(huì)引起質(zhì)變。實(shí)際上，每天截后剩下的棒的長(zhǎng)度是（單位為尺）：第3天剩下；……；第1天剩下；第2天剩下；第21天剩下；（約公元前369—前286年）案例2.莊周---截杖問題第天剩下；……；這樣，我們就得到一列數(shù)……；……這一列數(shù)就是一個(gè)數(shù)列.

隨著時(shí)間的推移，剩下的棒的長(zhǎng)度越來越短.顯然,當(dāng)天數(shù)無(wú)限增大時(shí),剩下的棒的長(zhǎng)度將無(wú)限縮短,即剩下的棒的長(zhǎng)度接近于數(shù)0.

這時(shí)我們就稱由剩下的棒的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列以常數(shù)0為極限.并記作一、極限的概念考慮函數(shù)y=f(x),自變量x在變化過程中的取值一定屬于函數(shù)定義域,分下列兩種基本情況討論函數(shù)y=f(x)的變化趨勢(shì).1.第一種基本情況自變量x取值無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn),這意味著自變量x的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大,記作x→∞65x→∞包括兩個(gè)方向:一個(gè)是沿著x軸的負(fù)向遠(yuǎn)離原點(diǎn),這時(shí)自變量x取值為負(fù)且|x|無(wú)限增大,記作x→-∞另一個(gè)則是沿著x軸的正向遠(yuǎn)離原點(diǎn),這時(shí)自變量x取值為正且|x|無(wú)限增大,記作x→+∞因而x→∞意味著同時(shí)考慮x→-∞與x→+∞66例1

67定義1.8已知函數(shù)f(x)在自變量x取值無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)的情況下有定義,當(dāng)x→∞時(shí),若函數(shù)f(x)無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限為A,記作

注意到x→∞意味著同時(shí)考慮x→-∞與x→+∞.于是有下面的定理.68定理1.1

同時(shí)成立.69

根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例1中極限

70例2

解:觀察函數(shù)y=sinx的圖形,如圖71容易看出:無(wú)論當(dāng)x?-∞時(shí)還是當(dāng)x?+∞時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)y值在區(qū)間[-1,1]上振蕩,不能無(wú)限接近于任何常數(shù),所以極限

72

定理1.2732.第二種基本情況自變量x取值無(wú)限接近于有限點(diǎn)x0,記作x→x0應(yīng)注意的是:在x→x0的過程中,點(diǎn)x始終不到達(dá)點(diǎn)x0,即恒有x≠x0.x→x0包括兩個(gè)方向:

74例3

考慮函數(shù)y=2x+1,在點(diǎn)x=5左右,自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)數(shù)值情況列表如表x4.94.994.999…5.0015.015.1y10.810.9810.998…11.00211.0211.2容易看出:當(dāng)x→5時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)y值無(wú)限接近于常數(shù)1175定義1.9

已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0左右有定義,當(dāng)x→x0時(shí),若函數(shù)f(x)無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限為A,記作

76定理1.3

同時(shí)成立.77極限的概念這個(gè)定理說明:函數(shù)在有限點(diǎn)處極限存在的充分必要條件是左極限與右極限都存在且相等.

78極限的概念

由于在x→x0的過程中,恒有x≠x0,因而在一般情況下,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有無(wú)定義都不影響它在點(diǎn)x0處的極限情況.根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例3中極限

79極限的概念數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量,它們的極限統(tǒng)稱為變量極限.如果變量極限存在,則其極限是唯一的,其在極限過程中某時(shí)刻后有界.若變量y的極限為A,則記作limy=A以后只在討論對(duì)于數(shù)列極限與函數(shù)極限皆適用的一般性結(jié)論時(shí),才能使用通用記號(hào)limy若已經(jīng)給出變量y的函數(shù)表達(dá)式,則不能使用通用記號(hào),必須在極限記號(hào)下面標(biāo)明自變量的變化趨勢(shì).顯然,常數(shù)c的極限等于c,即limc=c

(c為常數(shù))80二、極限的基本運(yùn)算法則法則1如果極限limu與limv都存在,則極限lim(u±v)=limu±limv法則2如果極限limu與limv都存在,則極限limuv=limulimv法則3如果極限limu與limv都存在,且極限limv≠0,則極限

81法則4如果極限limu(x)存在,且函數(shù)值f(limu(x))有意義,則極限limf(u(x))=f(limu(x))法則5如果函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镈的初等函數(shù),且有限點(diǎn)x0∈D,則極限

82極限的基本運(yùn)算法則推論1如果有限個(gè)變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限lim(u1+u2+…+um)=limu1+limu2+…+limum推論2如果有限個(gè)變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限limu1u2…um=limu1limu2…limum推論3如果極限limv存在,k為常數(shù),則極限limkv=klimv83例4

=lg(2+0)=lg284本來在一般情況下,函數(shù)在屬于定義域的有限點(diǎn)處的極限值與它在該點(diǎn)處的函數(shù)值沒有必然聯(lián)系,但法則5說明:

初等函數(shù)在屬于定義域的有限點(diǎn)處的極限值卻等于它在該點(diǎn)處的函數(shù)值,因此法則5解決了初等函數(shù)的基本極限計(jì)算

85繼續(xù)討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限.

若分段函數(shù)在分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,則直接計(jì)算其極限;若分段函數(shù)在分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式不一樣,則應(yīng)分別計(jì)算其左極限與右極限,只有左極限與右極限都存在且相等,極限才存在.例5已知分段函數(shù)

86例5

87

88極限的基本運(yùn)算法則定理1.4函數(shù)極限值與函數(shù)表達(dá)式中變量記號(hào)無(wú)關(guān).即:盡管變量u=u(x),恒有極限

8990本次課程結(jié)束第四節(jié)

無(wú)窮大量與無(wú)窮小量本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握無(wú)窮小量的階的定義能熟練判斷無(wú)窮小量、無(wú)窮大量掌握無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)04一、無(wú)窮大量1.定義1.10若變量y的絕對(duì)值在變化過程中無(wú)限增大,則稱變量y為無(wú)窮大量,記作limy=∞或y→∞本來無(wú)窮大量的極限是不存在的,形式上稱它的極限為無(wú)窮大.無(wú)窮大量是指在變化過程中其絕對(duì)值無(wú)限增大,任何一個(gè)絕對(duì)值很大的常數(shù)都不為無(wú)窮大量,如常量函數(shù)y=1010不為無(wú)窮大量.93在無(wú)窮大量的變化過程中,它取值可能為正,也可能為負(fù).2.無(wú)窮大量有兩種特殊情況:一種是正無(wú)窮大量,這時(shí)無(wú)窮大量y在變化過程中的某一時(shí)刻后取值恒為正,記作limy=+∞或y→+∞另一種是負(fù)無(wú)窮大量,這時(shí)無(wú)窮大量y在變化過程中的某一時(shí)刻后取值恒為負(fù),記作limy=-∞或y→-∞94例1

通過深入的討論,可以得到:當(dāng)x→∞時(shí),x的多項(xiàng)式也為無(wú)窮大量.953.無(wú)窮大量具有下列性質(zhì):性質(zhì)1正無(wú)窮大量與正無(wú)窮大量的和仍為正無(wú)窮大量,負(fù)無(wú)窮大量與負(fù)無(wú)窮大量的和仍為負(fù)無(wú)窮大量性質(zhì)2無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的積仍為無(wú)窮大量注意:無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的代數(shù)和、無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的商都不一定為無(wú)窮大量.下面再討論變量的另一種變化趨勢(shì)96二、無(wú)窮小量1.定義1.11若極限limy=0,則稱變量y為無(wú)窮小量無(wú)窮小量是指在變化過程中其絕對(duì)值無(wú)限減小,任何一個(gè)絕對(duì)值很小但不為零的常數(shù)都不為無(wú)窮小量如常量函數(shù)y=10-10不為無(wú)窮小量.但常量零為無(wú)窮小量,但不能認(rèn)為無(wú)窮小量就是零.97例2

982.無(wú)窮小量的性質(zhì)無(wú)窮小量具有下列性質(zhì):性質(zhì)1無(wú)窮小量與無(wú)窮小量的和、差、積仍為無(wú)窮小量性質(zhì)2無(wú)窮小量與有界變量的積仍為無(wú)窮小量注意:無(wú)窮小量與無(wú)窮小量的商不一定為無(wú)窮小量99例3

100

當(dāng)角度u(x)→∞時(shí),函數(shù)sinu(x)與cosu(x)是常見的振蕩無(wú)極限的有界變量.3.極限存在的變量與無(wú)窮小量有什么聯(lián)系?考慮變量y的極限為A,意味著變量y無(wú)限接近于常數(shù)A,即變量y-A無(wú)限接近于常數(shù)零,說明變量y-A的極限為零,變量y-A當(dāng)然為無(wú)窮小量,于是有下面的定理.101極限存在與無(wú)窮小量的聯(lián)系定理1.5變量y的極限為A等價(jià)于變量y-A為無(wú)窮小量無(wú)窮大量與無(wú)窮小量有什么聯(lián)系?有下面的定理.102無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的聯(lián)系定理1.6

推論如果極限limu≠0,limv=0,且變量v≠0,則極限

103例4

解:由于分子的極限

分母的極限

根據(jù)定理1.6的推論,所以分式的極限

104無(wú)窮小量雖然都是趨于零的變量,但它們趨于零的速度卻不一定相同,甚至差別很大

x0.10.010.0010.0001…x20.010.00010.0000010.00000001…0.320.10.0320.01…2x0.20.020.0020.0002…x2+x0.110.01010.0010010.00010001…105以無(wú)窮小量x作為比較標(biāo)準(zhǔn)時(shí),無(wú)窮小量x2趨于零的速度比x要快,它們之比值的極限

106無(wú)窮小量2x趨于零的速度與x屬于同一檔次,它們之比值的極限

無(wú)窮小量x2+x趨于零的速度與x幾乎一樣,它們之比值的極限

107三、無(wú)窮小量的階定義1.12已知變量α,β都是無(wú)窮小量,以無(wú)窮小量β作為比較標(biāo)準(zhǔn).那么:

108無(wú)窮小量的階根據(jù)這個(gè)定義可知:

109110本次課程結(jié)束第五節(jié)

未定式極限本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203

了解未定式極限的定義掌握常見未定式極限的類型一、未定式極限定義

一般地,有下面的定義.113未定式極限定義1.13若僅已知變量各部分的極限,不足以確定這個(gè)變量的極限,還必須進(jìn)一步知道各部分的表達(dá)式,才能確定變量極限,則稱這樣的極限為未定式極限.114二、未定式極限的類型未定式極限的類型共有七種,主要是三種:

類型2類型1若u→1,v→∞,則稱冪的極限limuv為1∞型未定式極限.類型3115

分下列三種基本情況討論比較簡(jiǎn)單的未定式極限.116三、簡(jiǎn)單的未定式極限第一種基本情況1.第一種基本情況

解法:分子P(x)、分母Q(x)分解因式,并注意到在x→x0的過程中,恒有x-x0≠0,因而約去使得分子、分母同趨于零的x-x0的正整次冪非零公因式.117例1

118簡(jiǎn)單的未定式極限第二種基本情況2.第二種基本情況

解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它們的有理化因式,并注意到在x→x0的過程中,恒有x-x0≠0,因而約去使得分子、分母同趨于零的x-x0的正整次冪非零公因式.119例2

120簡(jiǎn)單的未定式極限第三種基本情況3.第三種基本情況

解法:分子P(x)、分母Q(x)同除以它們中x的最高次冪,并應(yīng)用§1.3極限基本運(yùn)算法則3與§1.4定理1.6及其推論.121簡(jiǎn)單的未定式極限第三種基本情況考慮下面三個(gè)極限:

=∞

=0122簡(jiǎn)單的未定式極限第三種基本情況總結(jié)上面三個(gè)極限可得到一般的結(jié)果:當(dāng)x→∞時(shí),若分子最高冪次高于分母最高冪次,則有理分式極限為∞若分子最高冪次等于分母最高冪次,則有理分式極限為分子最高次冪系數(shù)與分母最高次冪系數(shù)的比值若分子最高冪次低于分母最高冪次,則有理分式極限為零.即

123例3

解:注意到分子100n為n的一次多項(xiàng)式,而分母n2+1為n的二次多項(xiàng)式,說明分子最高冪次低于分母最高冪次,從而極限

=00124例4

解:注意到當(dāng)x→3時(shí),分母x-3的極限為零.在這種情況下,若分子的極限不為零,根據(jù)§1.4定理1.5的推論,則分式的極限為∞,即分式的極限不存在;現(xiàn)在既然已知分式的極限存在,則分子的極限必然為零.計(jì)算分子的極限,有

=6+k它應(yīng)該等于零,得到關(guān)系式6+k=0,因此常數(shù)k=-6-6125126本次課程結(jié)束第六節(jié)

兩個(gè)重要極限本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能利用第二個(gè)重要極限解決連續(xù)復(fù)利問題熟練掌握第一個(gè)重要極限及特征熟練掌握第二個(gè)重要極限及特征一、第一個(gè)重要極限

x0.20.10.050.02…0.99330.99830.99960.9999…129

根據(jù)§1.3定理1.3,第一個(gè)重要極限可以推廣為

1302.第一個(gè)重要極限的特征第一個(gè)重要極限具有兩個(gè)特征:特征1角度一定趨于零特征2分子是角度的正弦函數(shù),分母一定是這個(gè)

角度本身.1313.第一個(gè)重要極限的應(yīng)用

在應(yīng)用第一個(gè)重要極限時(shí),自變量x不一定趨于零,它可以趨于非零常數(shù),但必須使得角度趨于零.132例1

=7×1=7133例2

134二、第二個(gè)重要極限

x…-10000-1000-100100100010000……2.7182.7202.7322.7052.7172.718…135

根據(jù)§1.3定理1.3,第二個(gè)重要極限可以推廣為

1362.第二個(gè)重要極限的特征第二個(gè)重要極限也具有兩個(gè)特征:特征1底一定是數(shù)1加上無(wú)窮小量特征2指數(shù)一定是底中無(wú)窮小量的倒數(shù)1373.第二個(gè)重要極限的應(yīng)用第二個(gè)重要極限應(yīng)用于求1∞型未定式極限,所求1∞型未定式極限同時(shí)滿足兩個(gè)特征時(shí),極限值就等于e.所求1∞型未定式極限若具有第一個(gè)特征而不具有第二個(gè)特征,則可以通過冪恒等關(guān)系式等代數(shù)恒等變形,使其具有第二個(gè)特征,進(jìn)而應(yīng)用第二個(gè)重要極限求解在應(yīng)用第二個(gè)重要極限時(shí),自變量x不一定趨于無(wú)窮大,它可以趨于零,但必須使得底為數(shù)1加上無(wú)窮小量.根據(jù)§1.3的結(jié)論,第二個(gè)重要極限對(duì)于相應(yīng)的數(shù)列極限也是適用的.138例3

=e·1=e139例4

=e3140例5

=e-1141例6