備考2024屆高考數(shù)學一輪復習講義第二章函數(shù)第8講函數(shù)模型的應用

第8講函數(shù)模型的應用課標要求命題點五年考情命題分析預測1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具.在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.2.結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義.3.收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領(lǐng)域中的數(shù)學模型，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的，感悟數(shù)學模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義.利用函數(shù)圖象刻畫實際變化過程2022北京T7；2020北京T15本講主要考查實際情境載體下的數(shù)學模型的構(gòu)建及應用，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式綜合命題，各種題型均有可能，屬中檔題.在2025年高考備考的過程中要注重對情境創(chuàng)新試題的訓練，并能構(gòu)建模型解決問題.已知函數(shù)模型求解實際問題2023新高考卷ⅠT10；2021全國卷甲T4；2020新高考卷ⅠT6；2020全國卷ⅢT4構(gòu)造函數(shù)模型求解實際問題1.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f（x）＝kx＋b（k，b為常數(shù)，k≠0）二次函數(shù)模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）反比例函數(shù)模型f（x）＝kx＋b（k，b為常數(shù)，k≠0指數(shù)函數(shù)模型f（x）＝abx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，b≠1）對數(shù)函數(shù)模型f（x）＝mlogax＋n（m，n，a為常數(shù)，m≠0，a＞0，a≠1）冪函數(shù)模型f（x）＝axn＋b（a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1）對勾函數(shù)模型f（x）＝ax＋bx（a＞0，b＞02.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)的比較y＝ax（a＞1）y＝logax（a＞1）y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越①快越來越②慢隨n值變化而各有不同圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與③y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與④x軸平行隨n值變化而各有不同聯(lián)系存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax1.下列說法正確的是（D）A.函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大B.冪函數(shù)增長比一次函數(shù)增長更快C.某種商品進價為每件100元，按進價增加10％后出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利D.在（0，＋∞）上，隨著x的增大，y＝ax（a＞1）的增長速度會超過并遠遠大于y＝xα（α＞0）的增長速度2.已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，當x∈（4，＋∞）時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是（B）A.f（x）＞g（x）＞h（x） B.g（x）＞f（x）＞h（x）C.g（x）＞h（x）＞f（x） D.f（x）＞h（x）＞g（x）3.[2021全國卷甲]青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（1010≈1.259）（CA.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6解析由題可知，4.9＝5＋lgV?lgV＝－0.1?V＝10－110＝11010≈4.[2023湖南省株洲市模擬]“每天進步一點點”可以用數(shù)學來詮釋，假如你今天的數(shù)學水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，則經(jīng)過y天之后，你的數(shù)學水平x與y之間的函數(shù)關(guān)系式是（C）A.y＝log0.95x B.y＝log0.995x C.y＝log1.005x D.y＝log1.05x解析由題意得x＝（1＋51000）y＝1.005y，化為對數(shù)函數(shù)得y＝log1.005x，故選研透高考明確方向命題點1利用函數(shù)圖象刻畫實際變化過程例1[北京高考]為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改.設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W＝f（t），用－f（b）－f（a）b－a給出下列四個結(jié)論：①在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強.其中所有正確結(jié)論的序號是①②③.解析由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在t1時刻高于乙企業(yè)，而在t2時刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故①正確；甲企業(yè)污水排放量與時間的關(guān)系圖象在t2時刻切線的斜率的絕對值大于乙企業(yè)，故②正確；在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達標排放量，故都已達標，③正確；甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[t1，t2]這段時間的污水治理能力最強，故④錯誤.方法技巧判斷函數(shù)圖象與實際變化過程是否吻合的方法（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：若易構(gòu)建函數(shù)模型，則先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象.（2）驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.訓練1[多選/2023江西省宜春市模擬]周末，自行車騎行愛好者甲、乙兩人相約沿同一路線從A地出發(fā)前往B地進行騎行訓練，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)5分鐘.乙騎行25分鐘后，甲以原速的85繼續(xù)騎行，經(jīng)過一段時間，甲先到達B地，乙一直保持原速前往B地.在此過程中，甲、乙兩人相距的路程y（單位：米）與乙騎行的時間x（單位：分）之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（ABD）A.乙的速度為300米/分B.25分鐘后甲的速度為400米/分C.乙比甲晚14分鐘到達B地D.A，B兩地之間的路程為29400米解析因為乙比甲早出發(fā)5分鐘，由題圖知乙的速度為15005＝300（米/分），故選項A正確；設甲的原速度為v，由題圖可知25×300－（25－5）v＝2500，解得v＝250米/分，所以25分鐘后甲的速度為250×85＝400（米/分），故選項B正確；根據(jù)題圖知，當x＝86時，甲到達B地，此時乙距離B地還有250×20＋400×（86－25）－300×86＝3600（米），3600300＝12（分），所以乙比甲晚12分鐘到達B地，故選項C不正確；利用甲行駛的路程計算可得，A，B兩地之間的路程為300×（86＋12）＝29400（米），故選項D正確命題點2已知函數(shù)模型求解實際問題例2（1）[2024武漢部分學校調(diào)考]某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導綠色環(huán)保的理念，購入污水過濾系統(tǒng)對污水進行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量N（mg/L）與時間t（h）的關(guān)系為N＝N0e－kt，其中N0為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù).若在某次過濾過程中，前2個小時過濾掉了污染物的30％，則可計算前6個小時共能過濾掉污染物的（C）A.49％ B.51％ C.65.7％ D.72.9％解析當t＝2時，（1－30％）N0＝N0e－2k，所以0.7N0＝N0e－2k，所以e－2k＝0.7.當t＝6時，N＝N0e－6k＝N0（e－2k）3＝0.73N0＝0.343N0，所以前6（2）[多選/2023新高考卷Ⅰ]噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（ACD）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p2解析由已知，知60≤20×lgp1p0≤90，解得1000p0≤p1≤1000010P0；50≤20×lgp2p0≤60，解得10010p0≤p2≤1000p0；20×lgp3p0＝40，解得p3＝100p0.易知A，C正確.10p3＝1000p0≥p2，故B錯誤.100p2≥1000010p方法技巧已知函數(shù)模型求解實際問題的步驟（1）認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)；（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.訓練2[2024貴州黔東南模擬]已知超市內(nèi)某商品的日銷量y（單位：件）與當日銷售單價x（單位：元）滿足關(guān)系式y(tǒng)＝ax－10－2x＋100，其中10＜x＜55，a為常數(shù).當該商品的銷售單價為15元時，日銷量為110件.若該商品的進價為每件10元，則超市該商品的日利潤最大為（A.1500元 B.1200元C.1000元 D.800元解析將x＝15，y＝110代入y＝ax－10－2x＋100，得a＝200.若該商品的進價為每件10元，則超市該商品的日利潤為g（x）＝（x－10）（200x－10－2x＋100）＝－2x2＋120x－800＝－2（x－30）2＋1000，其中10＜x＜55，所以當x命題點3構(gòu)造函數(shù)模型求解實際問題例3（1）[2024四川省敘永一中模擬]凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式的，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設每一層PP棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L，現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L，則PP棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（A）A.10 B.9 C.8 D.7解析設經(jīng)過n層PP棉濾芯過濾后水中的大顆粒雜質(zhì)含量為y，則y＝80×（1－13）n＝80×（23）n，令80×（23）n≤2，解得（23）n≤140，兩邊取常用對數(shù)得nlg23≤lg140，即nlg32≥lg40，即n（lg3－lg2）≥1＋2lg2.因為lg2≈0.301，lg3≈0.477，所以（0.477－0.301）n≥1.602，解得n≥9.102，因為n∈（2）[2023南昌市模擬]某市出臺兩套出租車計價方案，方案一：2千米及2千米以內(nèi)收費8元（起步價），超過2千米的部分每千米收費3元，不足1千米按1千米計算；方案二：3千米及3千米以內(nèi)收費12元（起步價），超過3千米不超過10千米的部分每千米收費2.5元，超過10千米的部分每千米收費3.5元，不足1千米按1千米計算.以下說法正確的是（C）A.方案二比方案一更優(yōu)惠B.乘客甲打車行駛4千米，他應該選擇方案二C.乘客乙打車行駛12千米，他應該選擇方案二D.乘客丙打車行駛16千米，他應該選擇方案二解析設乘客打車行駛x千米，f（x）為按照方案一收費的費用，g（x）為按照方案二收費的費用，[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則f（x）＝8g（x）＝12對于A，當x＝1時，f（1）＝8，g（1）＝12，此時選擇方案一更優(yōu)惠，所以A錯誤；對于B，因為f（4）＝14，g（4）＝14.5，f（4）＜g（4），所以乘客甲應選擇方案一，所以B錯誤；對于C，因為f（12）＝38，g（12）＝36.5，f（12）＞g（12），所以乘客乙應選擇方案二，所以C正確；對于D，因為f（16）＝50，g（16）＝50.5，f（16）＜g（16），所以乘客丙應選擇方案一，所以D錯誤.故選C.方法技巧構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟（1）建模：抽象出實際問題的數(shù)學模型；（2）推理、演算：對數(shù)學模型進行邏輯推理或數(shù)學運算，得到問題在數(shù)學意義上的解；（3）評價、解釋：對求得的數(shù)學結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋，返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解.訓練3[2024江蘇省江都中學、儀征中學聯(lián)考]網(wǎng)店模式和實體店模式各有特色，兩者的結(jié)合將在未來一段時間內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2023年10月起開展網(wǎng)絡銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x（單位：萬件）與投入實體店體驗安裝的費用t（單位：萬元）之間滿足