備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第六章平面向量復(fù)數(shù)第5講解三角形應(yīng)用舉例

第5講解三角形應(yīng)用舉例課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例2021全國(guó)卷乙T9；2021全國(guó)卷甲T8本講知識(shí)單一，主要考查利用正、余弦定理求解距離、高度、角度問題，對(duì)數(shù)學(xué)建模能力的要求較高，一般以選擇題形式出現(xiàn)，難度中等.在2025年高考的備考中要提升閱讀理解能力，要能夠從文字信息中提取出解三角形的模型.測(cè)量中的常用術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在豎直平面內(nèi)的目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線①上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線②下方的叫做俯角.方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0≤θ＜2π.方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）α.北偏東α南偏西α坡角與坡度坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角.坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫坡度.設(shè)坡角為α，坡度為i，則i＝hl＝1.如圖所示，為測(cè)量一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)（A，B與樹所在的直線在同一平面內(nèi)），從A，B兩點(diǎn)測(cè)得樹尖P的仰角分別為30°和45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度為（A）A.（30＋303）m B.（30＋153）mC.（15＋303）m D.（15＋33）m解析解法一在△ABP中，由正弦定理可得60sin（45°－30°）＝PBsin30°，則PB設(shè)樹的高度為hm，則h＝PBsin45°＝30＋303.解法二設(shè)樹的高度為hm，則AB＝htan30°－h(huán)tan45°＝602.[易錯(cuò)題]兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（B）A.北偏東10° B.北偏西10° C.南偏東10° D.南偏西10°解析燈塔A，B的相對(duì)位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，則α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，故選B.3.[教材改編]已知A船在燈塔C的北偏東85°方向且A到C的距離為2km，B船在燈塔C的西偏北25°方向且B到C的距離為3km，則A，B兩船的距離為（A）A.13km B.15km C.23km D.32km解析畫出圖形如圖所示，由題意可得∠ACB＝（90°－25°）＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝3，在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，所以AB＝13，即A，B兩船的距離為13km.研透高考明確方向命題點(diǎn)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例角度1距離問題例1[2023合肥市二檢]如圖，某地需要經(jīng)過一座山兩側(cè)的D，E兩點(diǎn)修建一條穿山隧道.工程人員先選取直線DE上的三點(diǎn)A，B，C，在隧道DE正上方的山頂P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為45°，C處的俯角為30°，且測(cè)得AB＝1.4km，BD＝0.2km，CE＝0.5km，則擬修建的隧道DE的長(zhǎng)為0.7km.解析由題意知，∠PAB＝15°，∠PBC＝45°，∠PCB＝30°，所以∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°，∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝105°，在△PAB中，由正弦定理得ABsin∠APB＝PBsin∠PAB，則1.4sin30°在△PBC中，由正弦定理得PBsin∠PCB＝BCsin∠BPC，則PBsin30°＝BCsin105°，所以BC＝PBsin30°×sin105°＝2PB×sin105°＝5.6sin15°·sin105°＝5.6sin15°cos15°＝2.8sin30°＝1.4（km），所以DE＝BC－BD－即擬修建的隧道DE的長(zhǎng)為0.7km.角度2高度問題例2[2021全國(guó)卷甲]2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'滿足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB'與CC'的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'－CC'約為（3≈1.732）（B）A.346 B.373 C.446 D.473解析如圖所示，根據(jù)題意過C作CE∥C'B'，交BB'于E，過B作BD∥A'B'，交AA'于D，則BE＝100，C'B'＝CE＝100ta在△A'C'B'中，∠C'A'B'＝75°，則BD＝A'B'＝C'B'×sin45°sin75°.又在B點(diǎn)處測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，所以AD＝BD＝C'B'×sin45°sin75°，所以高度差A(yù)A'－CC'＝AD＋BE＝C'B'×sin45°sin75°＋100＝角度3角度問題例3如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cosθ＝2114.解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝207.由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝21由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝277，從而cosθ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝277×32－21方法技巧1.解三角形實(shí)際問題的一般求解步驟（1）分析.理解題意，分析已知與未知，畫出示意圖.（2）建模.根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與所求量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型.（3）求解.利用正、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.（4）檢驗(yàn).檢驗(yàn)上述所求出的解是否具有實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.2.對(duì)于立體測(cè)量問題，通常要轉(zhuǎn)化為兩類平面問題，一類是豎直放置的平面，通常要解直角三角形；另一類是水平放置的平面，通常要解斜三角形.訓(xùn)練（1）如圖，為測(cè)量某塔的高度CD，在點(diǎn)A測(cè)得塔底在北偏東60°方向的點(diǎn)D處，塔頂C的仰角為30°.在點(diǎn)A的正東方向且距離D點(diǎn)50m的B點(diǎn)測(cè)得塔底在北偏西45°方向，則塔的高度CD約為（參考數(shù)據(jù)：6≈2.4）（C）A.30m B.35m C.40m D.45m解析由題意知，BD＝50m，∠DAB＝∠DAC＝30°，∠DBA＝45°，在△ABD中，由正弦定理得ADsin45°＝50sin30°，則AD＝502m，所以tan∠DAC＝CDAD＝CD50240（m），故塔的高度CD約為40m.故選C.（2）[多選]一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75°方向，距離為126海里，燈塔C在A的北偏西30°方向，距離為123海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向，則下列結(jié)論正確的有（ABD）A.AD＝24海里 B.CD＝12海里C.∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D.∠CDA＝60°解析如圖，由題意得∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，AB＝126海里，AC＝123海里，在△ABD中，易得B＝45°，由正弦定理得ADsin45°＝ABsin60°，則AD＝126×2232＝2