備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第一章集合常用邏輯用語與不等式第1講集合

第1講集合課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測1.（1）了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.（2）能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合.（3）了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.3.（1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集.（2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集.（3）能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.集合的概念2022全國卷乙T1；2020全國卷ⅢT1本講是高考必考內(nèi)容.命題熱點(diǎn)有集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，集合的含義及集合間的基本關(guān)系，常與不等式、函數(shù)等相結(jié)合命題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題為主，屬于送分題，解題時(shí)常借助數(shù)軸和Venn圖.預(yù)計(jì)2025年高考命題點(diǎn)變化不大，但應(yīng)加強(qiáng)對(duì)集合中創(chuàng)新問題的重視.集合間的基本關(guān)系2023新高考卷ⅡT2；2021全國卷乙T2集合的基本運(yùn)算2023新高考卷ⅠT1；2023全國卷乙T2；2023全國卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全國卷乙T1；2022全國卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全國卷甲T1；2021全國卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全國卷ⅠT2；2020全國卷ⅡT1；2020全國卷ⅢT1；2019全國卷ⅠT1；2019全國卷ⅡT1；2019全國卷ⅢT1集合中的計(jì)數(shù)問題2019全國卷ⅢT3集合的新定義問題1.集合的概念集合中元素的特征①確定性、②互異性、無序性集合的表示方法③列舉法、④描述法、圖示法常見數(shù)集的記法自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集），記作⑤N；正整數(shù)集，記作⑥N*或⑦N＋；整數(shù)集，記作⑧Z；有理數(shù)集，記作⑨Q；實(shí)數(shù)集，記作⑩R元素與集合之間的關(guān)系“屬于”或“不屬于”，分別記為“?∈”或“??”2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系定義符號(hào)語言子集一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中?任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集A?B（或B?A）真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且?x?A，就稱集合A是集合B的真子集?A?B（或B?A）相等若A?B，且?B?A，則A＝BA＝B空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.規(guī)律總結(jié)（1）A?B（子集）A（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即??A，??B（B≠?）.（3）任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一個(gè)子集，即它本身.（4）含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，非空子集的個(gè)數(shù)是2n－1，真子集的個(gè)數(shù)是2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)是2n－2.（5）對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.3.集合的基本運(yùn)算運(yùn)算集合語言圖形語言符號(hào)語言并集{x｜x∈A，或x∈B}?A∪B交集{x｜x∈A，且x∈B}?A∩B補(bǔ)集{x｜x∈U，且x?A}??UA常用結(jié)論集合的運(yùn)算性質(zhì)（1）A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.（2）?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB），?U（A∪B）＝（?UA）∩（?UB）.1.下列說法正確的是（D）A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}B.方程x－2024＋（y＋2025）2＝0的解集為{2024，－C.若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0或1D.對(duì)任意兩個(gè)集合A，B，（A∩B）?（A∪B）恒成立2.若集合P＝{x∈N｜x≤2025}，a＝22，則（D）A.a∈P B.{a}∈P C.{a}?P D.a?P3.集合{a，b}的真子集的個(gè)數(shù)為3.解析解法一集合{a，b}的真子集為?，{a}，，有3個(gè).解法二集合{a，b}有2個(gè)元素，則集合{a，b}的真子集的個(gè)數(shù)為22－1＝3.4.設(shè)a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，則a－b＝1.解析∵P＝Q，∴a＝－1，－b=2，∴a－b＝－5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，則A∩（?UB）＝{2，4}，（?UA）∩（?UB）＝{6}.解析∵?UA＝{1，3，6，7}，?UB＝{2，4，6}，∴A∩（?UB）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（?UA）∩（?UB）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.研透高考明確方向命題點(diǎn)1集合的概念例1（1）[2022全國卷乙]設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（A）A.2∈M B.3∈MC.4?M D.5?M解析由題意知M＝{2，4，5}，故選A.（2）[全國卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（C）A.2 B.3C.4 D.6解析由題意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的個(gè)數(shù)為4，故選C.方法技巧1.解決集合含義問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是分析元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.2.常見集合的含義集合{x｜f（x）＝0}{x｜f（x）＞0}{x｜y＝f（x）}{y｜y＝f（x）}{（x，y）｜y＝f（x）}代表元素方程f（x）＝0的根不等式f（x）＞0的解函數(shù)y＝f（x）的自變量的取值函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值函數(shù)y＝f（x）圖象上的點(diǎn)訓(xùn)練1（1）[多選/2024黑龍江模擬]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（ABD）A.0 B.1 C.2 D.4解析當(dāng)a＝0時(shí)，－8x＋9＝0，解得x＝98，所以A＝{98}，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由題意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.（2）[多選/2023江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)模擬]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列關(guān)系正確的是（AB）A.（1，3）∈B B.（0，0）?BC.0∈A D.A＝B解析∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由拋物線y＝x2＋2上的點(diǎn)組成的集合，∴AB正確，CD錯(cuò)誤，故選AB.（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，則實(shí)數(shù)m的值為1或4.解析因?yàn)锳＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.當(dāng)m＝2時(shí)，m2－5m＋6＝0，不滿足集合中元素互異性，所以m＝2不符合題意.當(dāng)m2－5m＋6＝2時(shí)，m＝1或m＝4，若m＝1，A＝{0，1，2}符合題意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合題意.所以實(shí)數(shù)m的值為1或4.命題點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝（B）A.2 B.1 C.23 D.－解析依題意，有a－2＝0或2a－2＝0.當(dāng)a－2＝0時(shí)，解得a＝2，此時(shí)A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B；當(dāng)2a－2＝0時(shí)，解得a＝1，此時(shí)A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A?B.所以a＝1，故選B.（2）[2024山西太原模擬]滿足條件{1，2}?A?{1，2，3，4，5}的集合A的個(gè)數(shù)是（C）A.5 B.6 C.7 D.8解析解法一因?yàn)榧蟵1，2}?A?{1，2，3，4，5}，所以集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7個(gè).故選C.解法二問題等價(jià)于求集合{3，4，5}的真子集的個(gè)數(shù)，則共有23－1＝7個(gè).故選C.方法技巧1.求集合的子集個(gè)數(shù)，常借助列舉法和公式法求解.2.根據(jù)兩集合間的關(guān)系求參數(shù)，常根據(jù)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）求解，求解時(shí)注意集合中元素的互異性和端點(diǎn)值能否取到.注意在涉及集合之間的關(guān)系時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮空集的情況，如已知集合A、非空集合B滿足A?B或A?B，則有A＝?和A≠?兩種情況.訓(xùn)練2（1）設(shè)集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關(guān)系是（D）A.M＝P B.P∈MC.M?P D.P?M解析∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P?M.故選D.（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－∞，3].解析因?yàn)锽?A，所以分以下兩種情況：①若B＝?，則2m－1＜m＋1，此時(shí)m＜2；②若B≠?，則2m－1≥m+1由①②可得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－∞，3].命題點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算角度1集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算例3（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，則M∩N＝（C）A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}C.{－2} D.{2}解析解法一 因?yàn)镹＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故選C.解法二因?yàn)??N，所以1?M∩N，排除A，B；因?yàn)??N，所以2?M∩N，排除D.故選C.（2）[2023全國卷甲]設(shè)全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則?U（M∪N）＝（A）A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.?解析解法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以?U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數(shù)，即?U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故選A.解法二集合M∪N表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補(bǔ)集是恰好能被3整除的整數(shù)集，故選A.角度2已知集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)例4（1）[全國卷Ⅰ]設(shè)集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，則a＝（B）A.－4 B.－2 C.2 D.4解析易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－a2}，因?yàn)锳∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解得a＝－2.（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（?RA）∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（B）A.（1，＋∞） B.[1，＋∞）C.（－∞，1） D.（－∞，1]解析由題可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}，?RA＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（?RA）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.方法技巧1.處理集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，一是要明確集合中的元素是什么，二是要能夠化簡集合，得出元素滿足的最簡條件.2.對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可借助Venn圖求解；如果集合中的元素是連續(xù)的，可借助數(shù)軸求解，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.訓(xùn)練3（1）[2023全國卷乙]設(shè)集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝（A）A.?U（M∪N） B.N∪?UMC.?U（M∩N） D.M∪?UN解析由題意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以?U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故選A.（2）[2023江西省聯(lián)考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx－y－2＜0}.若A∩B＝A，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（A）A.（－∞，34） B.（34，C.（34，＋∞） D.（－∞，3解析因?yàn)锳∩B＝A，所以A?B，則圓（x－1）2＋y2＝1在直線y＝kx－2的上方，則k×1－2<0，命題點(diǎn)4集合中的計(jì)數(shù)問題例5[全國卷Ⅲ]《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（C）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8解析解法一由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90－80＋60＝70，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為70÷100＝0.7.故選C.解法二用Venn圖表示調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢(mèng)》的人數(shù)之間的關(guān)系，如圖，易知調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70，所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為70100＝0.7.故選方法技巧集合中元素的個(gè)數(shù)問題的求解策略關(guān)于集合中元素的個(gè)數(shù)問題，常借助Venn圖或用公式card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)）求解.訓(xùn)練4向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A，B兩種觀點(diǎn)的態(tài)度，結(jié)果如下：贊成觀點(diǎn)A的學(xué)生人數(shù)是全體人數(shù)的35，其余的不贊成；贊成觀點(diǎn)B的學(xué)生人數(shù)比贊成觀點(diǎn)A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)觀點(diǎn)A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的13多1人，則對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生有21解析贊成觀點(diǎn)A的學(xué)生人數(shù)為50×35＝30，贊成觀點(diǎn)B的學(xué)生人數(shù)為30＋3＝33.如圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成觀點(diǎn)A的學(xué)生全體為集合A，贊成觀點(diǎn)B的學(xué)生全體為集合B.設(shè)對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對(duì)觀點(diǎn)A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為x3＋1，贊成觀點(diǎn)A或贊成觀點(diǎn)B的學(xué)生人數(shù)為30＋33－x.依題意30＋33－x＋x3＋1＝50，解得x＝21.故對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生有21命題點(diǎn)5集合的新定義問題例6（1）[2024上海市晉元高級(jí)中學(xué)模擬]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A?M，定義M（A）為A中元素的最小值，當(dāng)A取遍M的所有非空子集時(shí)，對(duì)應(yīng)的M（A）的和記為S，則S＝120.解析由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1個(gè)，其中最小值為1的有25個(gè)，最小值為2的有24個(gè)，最小值為3的有23個(gè)，最小值為4的有22個(gè)，最小值為5的有21個(gè)，最小值為6的有20個(gè)，故S＝25×1＋24