備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第一章集合常用邏輯用語與不等式第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小2022全國卷甲T12；2020全國卷ⅢT12本講很少單獨(dú)命題，常與其他知識(shí)綜合命題，命題熱點(diǎn)有比較大小，不等式性質(zhì)的應(yīng)用等，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題和填空題為主，難度中等，預(yù)計(jì)2025年高考命題點(diǎn)變化不大，復(fù)習(xí)備考時(shí)要掌握等式與不等式的性質(zhì)，并能充分運(yùn)用.不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用2020新高考卷ⅠT11；2019全國卷ⅡT61.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法關(guān)系方法作差法作商法a＞ba－b＞0ab＞1（a，b＞0）或ab①＜1（a，b＜a＝ba－b＝0ab＝1（b≠0a＜ba－b＜0ab＜1（a，b＞0）或ab②＞1（a，b＜2.等式的性質(zhì)對(duì)稱性如果a＝b，那么b＝a傳遞性如果a＝b，b＝c，那么a＝c可加（減）性如果a＝b，那么a±c＝b±c可乘性如果a＝b，那么ac＝bc可除性如果a＝b，c≠0，那么ac＝3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性a＞b?③b＜a傳遞性a＞b，b＞c?④a＞c可加性a＞b?a＋c＞b＋c可乘性a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?⑤ac＜bc同向可加性a＞b，c＞d?⑥a＋c＞b＋d同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0?⑦ac＞bd同正可乘方性a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）常用結(jié)論1.a＞b＞0?a＞b.2.（1）a＞b，ab＞0?1a＜1b；（2）a＞b＞0，d＞c＞0?ac3.a＞b＞0，m＞0?ba＜b＋ma＋1.已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，則（C）A.t＞s B.t≥s C.t≤s D.t＜s解析因?yàn)閠－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，所以t≤s.故選C.2.[易錯(cuò)題]設(shè)a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，則A，B的大小關(guān)系是（BA.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B解析由題意得，A2－B2＝2ab≥0，又A≥0，B≥0，故A≥B.3.[多選]下列說法不正確的是（AD）A.一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變B.若a＞b＞0，c＞d＞0，則ad＞C.若ab＞0，a＞b，則1a＜D.若x＞y，則x2＞y24.[教材改編]已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，則2a－b的取值范圍是（5，8）.解析∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6①.∵－2＜b＜－1，∴1＜－b＜2②.①＋②得，5＜2a－b＜8.研透高考明確方向命題點(diǎn)1比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小例1（1）[2024湖北襄陽宜城第一中學(xué)模擬]已知0＜a＜12，若A＝1＋a2，B＝11－a，則A與B的大小關(guān)系是（A.A＜B B.A＞B C.A＝B D.不確定解析A－B＝1＋a2－11－a＝（1+a2)(1－a）－1－a＞0，－a2＋a－1＝－（a－12）2－34＜－34＜0，所以A－B＜0，即A＜B（2）eπ·πe與ee·ππ的大小關(guān)系為eπ·πe＜ee·ππ.解析eπ·πeee·ππ＝eπ－eππ－e＝（eπ）π－e，又0＜eπ＜1，0＜π－e＜1，所以（eπ）π－e＜1，即eπ方法技巧比較數(shù)（式）大小的常用方法1.作差法：（1）作差；（2）變形；（3）定號(hào)；（4）得出結(jié)論.2.作商法：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論.3.構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.訓(xùn)練1（1）若a＞b＞1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是（C）A.P＞Q B.P＝Q C.P＜Q D.不能確定解析P，Q作商可得PQ＝aeb令f（x）＝exx，則f'（x）＝當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)閍＞b＞1，所以ebb＜又ebb＞0，ea所以PQ＝ebbeaa＜（2）[多選/2023江蘇省南京市調(diào)研]已知a＞b＞0，則（AC）A.1b＞B.a－1b＞b－C.a3－b3＞2（a2b－ab2）D.a+1－b+1＞a解析對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)y＝1x在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，a＞b＞0，所以1b＞1a，故對(duì)于B，解法一由a－1b＞b－1a，得a－b＋1a－1b＞0，即（a－b）（1－1因?yàn)閍＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞0，所以1－1ab＞0所以ab＞1，而該式不一定成立，所以不等式a－1b＞b－1a不一定成立，故B解法二當(dāng)a＝12，b＝13時(shí)，a－1b＝－52，b－1a＝－53，則a－1b＜對(duì)于C，由a3－b3＞2（a2b－ab2），得（a－b）（a2－ab＋b2）＞0，因?yàn)閍－b＞0，所以a2＋b2－ab＞0，即（a－b）2＋ab＞0，該不等式恒成立，故C正確.對(duì)于D，由a+1－b+1＞a－b，得a+1－a＞b+1－b，即所以b+1＋b＞a+1＋a，該不等式不成立，故D綜上所述，選AC.命題點(diǎn)2不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1不等式的性質(zhì)例2（1）[全國卷Ⅱ]若a＞b，則（C）A.ln（a－b）＞0 B.3a＜3bC.a3－b3＞0 D.｜a｜＞｜b｜解析解法一由函數(shù)y＝lnx的圖象（圖略）知，當(dāng)0＜a－b＜1時(shí)，ln（a－b）＜0，故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a＞b時(shí)，3a＞3b，故B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a＞b時(shí)，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正確；當(dāng)b＜a＜0時(shí)，｜a｜＜｜b｜，故D不正確.故選C.解法二當(dāng)a＝0.3，b＝－0.4時(shí)，ln（a－b）＜0，3a＞3b，｜a｜＜｜b｜，故排除A，B，D.故選C.（2）[多選/2023湖南省邵陽二中模擬]如果a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列結(jié)論一定正確的是（ACD）A.ab＞ac B.cb2＜ab2C.c（b－a）＞0 D.ac（a－c）＜0解析由c＜b＜a，且ac＜0，得a＞0，c＜0.對(duì)于A，由c＜b，a＞0得ac＜ab，故A正確.對(duì)于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，顯然B不一定正確.對(duì)于C，b－a＜0，c＜0，故c（b－a）＞0，故C正確.對(duì)于D，ac＜0，a－c＞0，故ac（a－c）＜0，故D正確.故選ACD.方法技巧判斷不等式是否成立的常用方法（1）利用不等式的性質(zhì)驗(yàn)證，應(yīng)用時(shí)注意前提條件；（2）利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，進(jìn)而得出正確選項(xiàng)；（3）根據(jù)式子特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.角度2不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3（1）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，則ca的取值范圍是（AA.（－3，－1） B.（－1，－13C.（－2，－1） D.（－1，－12解析因?yàn)閍＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因?yàn)閍＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得ca＞－3，將b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得ca＜－1，所以－3＜ca＜－（2）[2024湖北孝感部分學(xué)校模擬]已知實(shí)數(shù)a，b滿足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，則3a－2b的取值范圍為[－4，11].解析設(shè)3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）a＋（m－n）b，則m＋n=3，m－n＝－2，解得m＝12，n＝52，所以3a－2b＝12（a＋b）＋52（a－b）.又－32≤12（a＋b）≤方法技巧利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，解決的方法是先利用待定系數(shù)法建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)求解.訓(xùn)練2（1）[2024吉林長春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬]設(shè)a≥b≥c，且1是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)實(shí)根，則ca的取值范圍是（AA.[－2，－12B.（－2，－12C.（－∞，－2）∪（－12，＋∞D(zhuǎn).（－∞，－2]∪[－12，＋∞解析因?yàn)?是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)實(shí)根，所以a＋b＋c＝0，則b＝－a－c，又a≥b≥c，所以a≥－a－c≥c，則2又a≥b≥c，所以3a≥a＋b＋c＝0，又a≠0，所以a＞0，則不等式組等價(jià)于2≥－ca，－1≥2ca（2）[多選/2024山東省鄄城縣第一中學(xué)模擬]已知a，b，c∈R，則下列命題為真命題的是（ABC）A.若bc2＜ac2，則b＜aB.若a3＞b3且ab＜0，則1a＞C.若a＞b＞c＞0，則ab＞D.若c＞b＞a＞0，則a