《6.3.1 二項(xiàng)式定理》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《6.3.1二項(xiàng)式定理》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第六章《計數(shù)原理》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理的形成過程是組合知識的應(yīng)用，同時也為隨后學(xué)習(xí)的概率知識及概率與統(tǒng)計，作知識上的鋪墊。二項(xiàng)展開式與多項(xiàng)式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識的學(xué)習(xí)，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學(xué)習(xí)的關(guān)于多項(xiàng)式變形的知識。運(yùn)用二項(xiàng)式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學(xué)問題，例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。本課數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)：多項(xiàng)式乘法的深化與再認(rèn)識?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.利用計數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，歸納、猜想出二項(xiàng)式定理，并用計數(shù)原理加以證明；B.會應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開式；C.通過經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的探究過程，體驗(yàn)“歸納、猜想、證明”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及“從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力.1.數(shù)學(xué)抽象：二項(xiàng)式定理2.邏輯推理：運(yùn)用組合推導(dǎo)二項(xiàng)式定理3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決問題4.數(shù)學(xué)建模：在具體情境中運(yùn)用二項(xiàng)式定理【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開式難點(diǎn)：利用計數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開式【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計問題探究上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的a+bn問題1：我們知道a+b2=a2+2ab+b2a+b（1）觀察以上展開式，分析其運(yùn)算過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出a+b4（3）進(jìn)一步地，你能寫出a+bn我們先來分析的展開過程，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，a+b=a=可以看到，a+b2是2個a+b相乘，只要從一個a+b中選一項(xiàng)（選a或b

），再從另一個a+b中選一項(xiàng)（選a或b

），就得到展開式的一項(xiàng)，于是，由分步乘法計數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前，a+b2的展開式共有C21×C21我們來分析一下形如a2-k當(dāng)k

=0時，a2-kbk=a2，這是由2個a+b中都不選當(dāng)于從2個a+b中取0個b

（即都取a

）的組合數(shù)C20，即當(dāng)k

=1時，a2-kbk=ab

，這是由1個a+b中選a，另一個a+b中選b得到的，由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此，ab出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個a+b中取1個b

的組合數(shù)當(dāng)k

=2時，a2-kbk=b2，這是由2個a+b中選b

得到的，因此，b2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個a+b中取2個b

由上述分析可以得到a+b問題2：仿照上述過程，你能利用計數(shù)原理，寫出a+b3，a+b類似地，用同樣的方法可知a+ba+b1．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝_________________________(n∈N*)．(1)這個公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理．(2)展開式：等號右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有______項(xiàng)．(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)____(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bnn＋1；Ceq\o\al(k,n)2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式(a＋b)n展開式的第______項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝______.k＋1；Ceq\o\al(k,n)an－kbk二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn)(1)二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),而不是n項(xiàng).(2)二項(xiàng)式系數(shù)都是Cn(3)二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n次逐項(xiàng)減少1次直到0次,同時字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項(xiàng)增加1次直到n次.1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)(a＋b)n展開式中共有n項(xiàng)．()(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響．()(3)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項(xiàng)．()(4)(a－b)n與(a＋b)n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同．()[解析](1)×因?yàn)?a＋b)n展開式中共有n＋1項(xiàng)．(2)×因?yàn)槎?xiàng)式的第k＋1項(xiàng)Ceq\o\al(k,n)an－kbk和(b＋a)n的展開式的第k＋1項(xiàng)Ceq\o\al(k,n)bn－kak是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的．(3)×因?yàn)镃eq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k＋1項(xiàng)．(4)√因?yàn)?a－b)n與(a＋b)n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)都是Ceq\o\al(r,n).[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、典例解析例1.求x+1解：根據(jù)二項(xiàng)式定理x+=C6=1.(a+b)n的二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開式的形式靠攏.跟蹤訓(xùn)練1(1)求3x+1x4(2)化簡:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).解:(1)方法一3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)3·1x+C4+C43·3x1x3+C44·1x4=81x方法二3x+1x4==1x2(81x4+108x3+54x=81x2+108x+54+12x(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(例2.（1）求1+2x7（2）求2x-1解：1+2x7T3+1==C73×23因此,展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280.（2）2xC根據(jù)題意，得3-k=2，因此，x（二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的求解策略(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)Cnk(k(2)第k+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號,而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cnk.例如,在(1+2x)7的展開式中,第4項(xiàng)是T4=C7317-3(2x)3,其二項(xiàng)式系數(shù)是C7跟蹤訓(xùn)練2.(1)求二項(xiàng)式2x-1x6(2)求x-1x9的展開式中x3的系數(shù).解:(1)由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k(2x)6-k·-1xk=26-kC6k·(-1)k∴T6=-12x-∴第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C6第6項(xiàng)的系數(shù)為C65·(-1)(2)設(shè)展開式中的第k+1項(xiàng)為含x3的項(xiàng),則Tk+1=C9kx9-k-1xk=(-1)kC9k令9-2k=3,得k=3,即展開式中第4項(xiàng)含x3,其系數(shù)為(-1)3·C9學(xué)生帶著問題去觀察展開式，引發(fā)思考積極參與互動，說出自己見解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。這個過程讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從“繁雜計算之苦”到領(lǐng)悟“分步乘法原理與組合數(shù)的簡潔美”，這也是一個內(nèi)化的過程，鞏固已有思想方法，建立猜想二項(xiàng)式定理的認(rèn)知基礎(chǔ)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過典例解析，讓學(xué)生體會利用二項(xiàng)式定理模型進(jìn)行計算，感受數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的價值。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.(a+b)2n的展開式的項(xiàng)數(shù)是()A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)解析:易知二項(xiàng)式(a+b)2n的展開式中有2n+1項(xiàng),故展開式的項(xiàng)數(shù)為2n+1.答案:B2.(2a+b)5的展開式的第3項(xiàng)是()A.23C52B.23C52a3b2C.23C53D.2解析:T2+1=C52(2a)3b2=23C52a答案:B3.二項(xiàng)式(x+1x解析:根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)Tk+1=C6當(dāng)取有理項(xiàng)時,6-此時k=0,2,4,6.故共有4項(xiàng).答案:44.如果(3x2+1x)n解析:Tk+1=Cnk(3x2)n-k(1x)k=5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展開式中x的系數(shù)為19,求x2的系數(shù)的最小值及此時展開式中x7的系數(shù).解:由題設(shè)知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18.x2的系數(shù)為Cm2+Cn2=12∴當(dāng)m=9或10時,x2的系數(shù)的最小值為81,此時x7的系數(shù)為C96.已知在3x(1)求n;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開式中所有的有理項(xiàng).分析:先利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),求出當(dāng)x的次數(shù)為0時n的值,再求解第(2)問、第(3)問.解:(1)由通項(xiàng)知,展開式中第k+1項(xiàng)為Tk+1=Cnk·(3x)n-k·-123x∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10.(2)由(1)知Tk+1=-12k∴x2的系數(shù)為-122(3)當(dāng)Tk+1項(xiàng)為有理項(xiàng)時,10-2k3為整數(shù),0≤k≤10,且k令10-2k3∴z為偶數(shù),從而求得當(dāng)z=2,0,-2時,相應(yīng)地k=2,5,8符合條件.∴有理項(xiàng)為T3=C102·-122T6=C105-125=-638,T9=C通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】這一節(jié)課面對的是高二年級的學(xué)生，這一學(xué)段的學(xué)生已經(jīng)初步具備了多項(xiàng)式運(yùn)算、計數(shù)原理、組合等相關(guān)知識儲備，能夠在教師的引導(dǎo)下理解并掌握本節(jié)課的內(nèi)容，但在動手操作和合作學(xué)習(xí)等方面，有待進(jìn)一步加強(qiáng)。本節(jié)課需要學(xué)生探究的內(nèi)容比較多，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，所以在教學(xué)過程中教師不僅要耐心的指導(dǎo)，還要努力創(chuàng)設(shè)一個輕松和諧的課堂氛圍，讓每個學(xué)生都能大膽的說出自己的想法，保證每個學(xué)生都能學(xué)有所得。為了讓每個學(xué)生在課上都能有話說，還需要學(xué)生做到課前預(yù)習(xí)，并且教師要給學(xué)生提出明確的預(yù)習(xí)目標(biāo)，這樣，課上的探究過程就不會卡頓了?！?.3.1二項(xiàng)式定理》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.利用計數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，歸納、猜想出二項(xiàng)式定理，并用計數(shù)原理加以證明；2.會應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開式；3.通過經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的探究過程，體驗(yàn)“歸納、猜想、證明”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及“從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力；4.感受二項(xiàng)式定理體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)的內(nèi)在和諧、對稱美，了解相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容.【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開式難點(diǎn)：利用計數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開式【知識梳理】1．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝______________________________(n∈N*)．(1)這個公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理．(2)展開式：等號右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有______項(xiàng)．(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)____(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bnn＋1；Ceq\o\al(k,n)2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式(a＋b)n展開式的第______項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝______.k＋1；Ceq\o\al(k,n)an－kbk二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn)(1)二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),而不是n項(xiàng).(2)二項(xiàng)式系數(shù)都是Cn(3)二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n次逐項(xiàng)減少1次直到0次,同時字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項(xiàng)增加1次直到n次.1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)(a＋b)n展開式中共有n項(xiàng)．()(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響．()(3)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項(xiàng)．()(4)(a－b)n與(a＋b)n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同．()【學(xué)習(xí)過程】一、問題探究上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的a+bn問題1：我們知道a+b2=a2+2ab+b2a+b（1）觀察以上展開式，分析其運(yùn)算過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出a+b4（3）進(jìn)一步地，你能寫出a+bn我們先來分析的展開過程，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，a+b=a=問題2：仿照上述過程，你能利用計數(shù)原理，寫出a+b3，a+b二、典例解析例1.求x+11.(a+b)n的二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開式的形式靠攏.跟蹤訓(xùn)練1(1)求3x+1x4(2)化簡:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).例2.（1）求1+2x7（2）求2x-1二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的求解策略(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)Cnk(k(2)第k+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號,而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cnk.例如,在(1+2x)7的展開式中,第4項(xiàng)是T4=C7317-3(2x)3,其二項(xiàng)式系數(shù)是C7跟蹤訓(xùn)練2.(1)求二項(xiàng)式2x-1x6(2)求x-1x9的展開式中x3的系數(shù).【達(dá)標(biāo)檢測】1.(a+b)2n的展開式的項(xiàng)數(shù)是()A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)2.(2a+b)5的展開式的第3項(xiàng)是()A.23C52B.23C52a3b2C.23C53D.23.二項(xiàng)式(x+1x4.如果(3x2+1x)n5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展開式中x的系數(shù)為19,求x2的系數(shù)的最小值及此時展開式中x7的系數(shù).6.已知在3x(1)求n;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開式中所有的有理項(xiàng).【課堂小結(jié)】【參考答案】知識梳理1．[解析](1)×因?yàn)?a＋b)n展開式中共有n＋1項(xiàng)．(2)×因?yàn)槎?xiàng)式的第k＋1項(xiàng)Ceq\o\al(k,n)an－kbk和(b＋a)n的展開式的第k＋1項(xiàng)Ceq\o\al(k,n)bn－kak是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的．(3)×因?yàn)镃eq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k＋1項(xiàng)．(4)√因?yàn)?a－b)n與(a＋b)n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)都是Ceq\o\al(r,n).[答案](1)×(2)×(3)×(4)√學(xué)習(xí)過程一、問題探究上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的a+bn問題1：可以看到，a+b2是2個a+b相乘，只要從一個a+b中選一項(xiàng)（選a或b

），再從另一個a+b中選一項(xiàng)（選a或b

），就得到展開式的一項(xiàng)，于是，由分步乘法計數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前，a+b2的展開式共有C21×C21我們來分析一下形如a2-k當(dāng)k

=0時，a2-kbk=a2，這是由2個a+b中都不選當(dāng)于從2個a+b中取0個b

（即都取a

）的組合數(shù)C20，即當(dāng)k

=1時，a2-kbk=ab

，這是由1個a+b中選a，另一個a+b中選b得到的，由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此，ab出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個a+b中取1個b

的組合數(shù)當(dāng)k

=2時，a2-kbk=b2，這是由2個a+b中選b

得到的，因此，b2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個a+b中取2個b

由上述分析可以得到a+b問題2：類似地，用同樣的方法可知a+ba+b二、典例解析例1.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理x+=C6=跟蹤訓(xùn)練1解:(1)方法一3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)3·1x+C4+C43·3x1x3+C44·1x4=81x方法二3x+1x4==1x2(81x4+108x3+54x=81x2+108x+54+12x(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(例2.（1）求1+2x7（2）求2x-1解：1+2x7T3+1==C73×=280x因此,展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280.（2）2xC根據(jù)題意，得3-k=2，k=1

（二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的求解策略(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)Cnk(k(2)第k+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號,而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cnk.例如,在(1+2x)7的展開式中,第4項(xiàng)是T4=C7317-3(2x)3,其二項(xiàng)式系數(shù)是C7跟蹤訓(xùn)練2.(1)求二項(xiàng)式2x-1x6(2)求x-1x9的展開式中x3的系數(shù).解:(1)由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k(2x)6-k·-1xk=26-kC6k·(-1)k∴T6=-12x-∴第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C6第6項(xiàng)的系數(shù)為C65·(-1)(2)設(shè)展開式中的第k+1項(xiàng)為含x3的項(xiàng),則Tk+1=C9kx9-k-1xk=(-1)kC9k令9-2k=3,得k=3,即展開式中第4項(xiàng)含x3,其系數(shù)為(-1)3·C9達(dá)標(biāo)檢測1.解析:易知二項(xiàng)式(a+b)2n的展開式中有2n+1項(xiàng),故展開式的項(xiàng)數(shù)為2n+1.答案:B2.解析:T2+1=C52(2a)3b2=23C52a答案:B3.解析:根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)Tk+1=C6當(dāng)取有理項(xiàng)時,6-此時k=0,2,4,6.故共有4項(xiàng).答案:44.解析:Tk+1=Cnk(3x2)n-k(由題意知當(dāng)k=2時,2n-答案:85.解:由題設(shè)知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18.x2的系數(shù)為Cm2+Cn2=12∴當(dāng)m=9或10時,x2的系數(shù)的最小值為81,此時x7的系數(shù)為C96.分析:先利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),求出當(dāng)x的次數(shù)為0時n的值,再求解第(2)問、第(3)問.解:(1)由通項(xiàng)知,展開式中第k+1項(xiàng)為Tk+1=Cnk·(3x)n-k·-123x∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10.(2)由(1)知Tk+1=-1令10-∴x2的系數(shù)為-122(3)當(dāng)Tk+1項(xiàng)為有理項(xiàng)時,10-2k3為整數(shù),0≤k≤10,且k令10-2k3∴z為偶數(shù),從而求得當(dāng)z=2,0,-2時,相應(yīng)地k=2,5,8符合條件.∴有理項(xiàng)為T3=C102·-122T6=C105-125=-638,T9=C《6.3.1二項(xiàng)式定理》基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1．（在的展開式中，的系數(shù)為（）A．6B．12C．24D．482．化簡（）A．B．C．D．3．二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩度克·牛頓于年?年間提出，據(jù)考證，我國至遲在世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)知道了二項(xiàng)式系數(shù)法則，在的二項(xiàng)式展開式中，的系數(shù)為（）A．B．C．D．4．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．10B．C．5D．5.（多選題）若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的取值可以是（）A．3B．4C．5D．66．（多選題）若二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，則實(shí)數(shù)m的值可能為（）A．1B．－1C．2D．－2二、填空題7．展開=_____．8．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為__________．9．若的展開式中的系數(shù)是，則．10．的展開式的常數(shù)項(xiàng)是________．三、解答題11．已知，設(shè)．（1）求的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．12．在二項(xiàng)式的展開式中，（1）求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)：（2）如果第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，試求的值.答案解析一、選擇題1．在的展開式中，的系數(shù)為（）A．6B．12C．24D．48【答案】B【詳解】展開式的通項(xiàng)為，由，解得，則的系數(shù)為，故選：B2．化簡（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】.3．二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩度克·牛頓于年?年間提出，據(jù)考證，我國至遲在世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)知道了二項(xiàng)式系數(shù)法則，在的二項(xiàng)式展開式中，的系數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以二項(xiàng)式展開式中，的系數(shù)為.4．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．10B．C．5D．【答案】B【詳解】要求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，只需求的展開式中的系數(shù).因?yàn)榈恼归_式中的系數(shù)為，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.5.（多選題）若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的取值可以是（）A．3B．4C．5D．6【答案】BD【詳解】因?yàn)榈恼归_式的第項(xiàng)為，若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則只需，即，又，，所以只需為正偶數(shù)即可，故AC排除，BD可以取得；故選：BD.6．（多選題）若二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，則實(shí)數(shù)m的值可能為（）A．1B．－1C．2D．－2【答案】AB【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，，令，得，常數(shù)項(xiàng)為，，得，故答案為.二、填空題7．展開=_____．【答案】【詳解】．8．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為__________．【答案】.【詳解】結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有：，令可得：，則的系數(shù)為：.9．若的展開式中的系數(shù)是，則．【答案】1【詳解】展開式的的通項(xiàng)為，令，的展開式中的系數(shù)為.10．的展開式的常數(shù)項(xiàng)是________．【答案】【詳解】，的展開式通項(xiàng)為，所以，的展開式通項(xiàng)為，由，可得，因此，的展開式的常數(shù)項(xiàng)為.三、解答題11．已知，設(shè)．（1）求的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】（1）由已知得：，解得:．（2）展開式的通項(xiàng)為由得，即的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．12．在二項(xiàng)式的展開式中，（1）求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)：（2）如果第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，試求的值.【詳解】(1)設(shè)第項(xiàng)為，令解得，故展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.(2)∵第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，∵，故或，解得或.《6.3.1二項(xiàng)式定理》提高訓(xùn)練一、選擇題1．在的展開式中.常數(shù)項(xiàng)為（）A．B．C．D．2．已知，則（）A．B．C．D．3．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）A．-252B．-220C．220D．2524．展開式中項(xiàng)的系數(shù)為160，則（）A．2B．4C．D．5.（多選題）若的展開式中有且僅有三個有理項(xiàng)，則正整數(shù)的取值為（）A．B．C．D．6．（多選題）的展開式中（）A．的系數(shù)為40B．的系數(shù)為32C．常數(shù)項(xiàng)為16D．常數(shù)項(xiàng)為8二、填空題7．的展開式中的系數(shù)為，則________．8．在的展開式中，的系數(shù)為__________．9．已知二項(xiàng)式(且)展開式的第項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則的值是__.10．若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20，則的最小值_______三、解答題11．已知在的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．求：（1）n的值；（2）展開式中x5的系數(shù)；（3）含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個數(shù)．12.已知的二項(xiàng)展開式中，第三項(xiàng)的系數(shù)為7.（1）求證：前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列；（2）求出展開式中所有有理項(xiàng)（即的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)）.答案解析一、選擇題1．在的展開式中.常數(shù)項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故選：B2．已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】，則其展開式的通項(xiàng)為：，當(dāng)時，，所以．3．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）A．-252