《7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的均值本節(jié)本部分內(nèi)容主要包括隨機(jī)變量的均值和方差。本節(jié)課是前面學(xué)習(xí)完隨機(jī)變量分布列的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，知識(shí)上具有著承前啟后的作用。隨機(jī)變量的均值和方差是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念，節(jié)課是從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實(shí)際的過(guò)程。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)．B．會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值．C．會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．1.數(shù)學(xué)抽象：離散型隨機(jī)變量的均值的概念2.邏輯推理：離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求離散型隨機(jī)變量的均值4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)難點(diǎn)：用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差。我們還常常希望直接通過(guò)數(shù)字來(lái)反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征，最常用的有期望與方差.二、探究新知探究1.甲乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：如何比較他們射箭水平的高低呢？環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2類似兩組數(shù)據(jù)的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數(shù),如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為：甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)當(dāng)n足夠大時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,這個(gè)平均值的大小可以反映甲運(yùn)動(dòng)員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.離散型隨機(jī)變量取值的平均值.一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：則稱E為隨機(jī)變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation),數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn三、典例解析例1.在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少?分析:罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果,命中時(shí)X=1,不中時(shí)X=0,因此隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,X的均值反映了該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的平均得分水平.解：因?yàn)镻(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2=0.8即該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么：X10Pp1-p例2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X,求X的均值.分析:先求出X的分布列,再根據(jù)定義計(jì)算X的均值。解：X的分布列為??(X=k)=16因此,E(X)=16求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：(1)理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值；(2)求出X取每個(gè)值時(shí)的概率；(3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略)；(4)利用定義公式EX跟蹤訓(xùn)練1.某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值．[解]X的取值分別為1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次參加駕照考試就通過(guò)了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明第一次考試未通過(guò)，第二次通過(guò)了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明第一、二次考試未通過(guò)，第三次通過(guò)了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考試都未通過(guò)，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列為X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值為E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.探究2.已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，且分布列如下表所示.設(shè)a,b都是實(shí)數(shù)且a≠0,，則Y=Xxx…x…xPpp…p…p離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)若X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機(jī)變量X的線性函數(shù)的均值等于這個(gè)隨機(jī)變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:(1)當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身.(2)當(dāng)a=1時(shí),E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個(gè)常數(shù)的和.(3)當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量的均值的乘積.例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示：規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000解：分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨(dú)立P(??=0)=??(A)=0.2,P(??=1000)=??(AB)=0.8×0.4=0.32,??(??=3000)=??(????C)=0.8×0.6×0.6=0.288,(??=6000)=(??????)=0.8×0.6×0.4=0.192.X的分布列如下表所示：X0100040006000P0.20.480.1280.192??的均值為??(??)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大？解：如果按ACB的順序來(lái)猜歌,分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨(dú)立;(??=0)=??(A)=0.2,(??=1000)=??(AC)=0.8×0.4=0.32,??(??=3000)=??(??CB)=0.8×0.4×0.4=0.128,(??=6000)=(??CB)=0.8×0.4×0.6=0.192.X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192X按由易到難的順序來(lái)猜歌，獲得的公益基金的均值最大猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872例4.根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元。為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元。方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?分析:決策目標(biāo)為總損失(投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：天氣狀況大洪水小洪水沒(méi)有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量,可以采用期望總損失最小的方案。解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,無(wú)論有無(wú)洪水,都損失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水時(shí),總損失為2000+6000=62000元;沒(méi)有大洪水時(shí),總損失為2000元,因此,P(X2=62000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600,E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.值得注意的是,上述結(jié)論是通過(guò)比較“期望總損失”而得出的,一般地,我們可以這樣來(lái)理解“期望總損失”:如果問(wèn)題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2將會(huì)使總損失減到最小,不過(guò),因?yàn)楹樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的,所以對(duì)于個(gè)別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的.通過(guò)知識(shí)回顧，提出問(wèn)題.通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。從而引入離散型隨機(jī)變量分布列均值的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例解析，提升對(duì)概念精細(xì)化的理解。引出兩點(diǎn)分布均值的概念。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例解析，深化概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．若隨機(jī)變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)則E(X)＝()A．0B．－1C．－eq\f(1,6)D．－eq\f(1,2)C[E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6).]2.某射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為()A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.答案:C3.已知ξ的分布列如下表,若η=3ξ+2,則E(η)=.ξ123P1t1解析:因?yàn)?2+t+13=1,所以t=E(ξ)=1×12+2×16+3×E(η)=E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3×116+2=15答案:154.設(shè)l為平面上過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線,l的斜率等可能地取-22,-3,-52,0,52,3,2解析:當(dāng)l的斜率k=±22時(shí),直線方程為±22x-y+1=0,此時(shí)d1=13;k=±3時(shí),直線方程為±3x-y+1=0,此時(shí)d2=12;k=±52時(shí),直線方程為±52x-y+1=0,此時(shí)d3=X1121P2221所以E(X)=13×2答案:45.口袋里裝有大小相同的8張卡片,其中3張標(biāo)有數(shù)字1,3張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字3.第一次從口袋里任意抽取1張,放回口袋里后第二次再任意抽取1張,記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為ξ.求:(1)ξ為何值時(shí),其發(fā)生的概率最大?并說(shuō)明理由.(2)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ).解:(1)隨機(jī)變量ξ的可能取值是2,3,4,5,6,當(dāng)ξ=4時(shí),其發(fā)生的概率最大.因?yàn)镻(ξ=2)=32P(ξ=3)=2×3P(ξ=4)=32P(ξ=5)=2×3×28P(ξ=6)=22故當(dāng)ξ=4時(shí)滿足題意.(2)E(ξ)=2×964+3×932+4×2164+5×3通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1．求離散型隨機(jī)變量均值的步驟(1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值；(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；(3)根據(jù)公式寫出均值．2．若X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b；如果一個(gè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，可直接利用公式計(jì)算均值．通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】本節(jié)課需要學(xué)生探究的內(nèi)容比較多，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，所以在教學(xué)過(guò)程中教師不僅要耐心的指導(dǎo)，還要努力創(chuàng)設(shè)一個(gè)輕松和諧的課堂氛圍，讓每個(gè)學(xué)生都能大膽的說(shuō)出自己的想法，保證每個(gè)學(xué)生都能學(xué)有所得。為了讓每個(gè)學(xué)生在課上都能有話說(shuō)，還需要學(xué)生做到課前預(yù)習(xí)，并且教師要給學(xué)生提出明確的預(yù)習(xí)目標(biāo)。進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)?！?.3.1離散型隨機(jī)變量的均值》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)．2．會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值．3．會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)難點(diǎn)：用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題【知識(shí)梳理】1.隨機(jī)變量X的均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：則稱E(X)=Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為隨機(jī)變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation),數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.2.兩點(diǎn)分布的均值：一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么：X10Pp1-p3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)：已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，且分布列如下表所示.Xxx…x…xPpp…p…p若X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機(jī)變量X的線性函數(shù)的均值等于這個(gè)隨機(jī)變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:(1)當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身.(2)當(dāng)a=1時(shí),E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個(gè)常數(shù)的和.(3)當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量的均值的乘積.【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、問(wèn)題探究對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差。我們還常常希望直接通過(guò)數(shù)字來(lái)反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征，最常用的有期望與方差.探究1.甲乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：如何比較他們射箭水平的高低呢？環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2二、典例解析例1.在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少?例2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X,求X的均值.求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：(1)理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值；(2)求出X取每個(gè)值時(shí)的概率；(3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略)；(4)利用定義公式EX跟蹤訓(xùn)練1.某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值．例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示：規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大？例4.根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元。為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元。方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?值得注意的是,上述結(jié)論是通過(guò)比較“期望總損失”而得出的,一般地,我們可以這樣來(lái)理解“期望總損失”:如果問(wèn)題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2將會(huì)使總損失減到最小,不過(guò),因?yàn)楹樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的,所以對(duì)于個(gè)別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．若隨機(jī)變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)則E(X)＝()A．0B．－1C．－eq\f(1,6)D．－eq\f(1,2)2.某射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為()A.2.44B.3.376C.2.376D.2.43.已知ξ的分布列如下表,若η=3ξ+2,則E(η)=.ξ123P1t14.設(shè)l為平面上過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線,l的斜率等可能地取-22,-3,-52,0,52,3,25.口袋里裝有大小相同的8張卡片,其中3張標(biāo)有數(shù)字1,3張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字3.第一次從口袋里任意抽取1張,放回口袋里后第二次再任意抽取1張,記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為ξ.求:(1)ξ為何值時(shí),其發(fā)生的概率最大?并說(shuō)明理由.(2)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ).【課堂小結(jié)】1．求離散型隨機(jī)變量均值的步驟(1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值；(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；(3)根據(jù)公式寫出均值．2．若X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b；如果一個(gè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，可直接利用公式計(jì)算均值．【參考答案】學(xué)習(xí)過(guò)程一、問(wèn)題探究探究1.類似兩組數(shù)據(jù)的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數(shù),如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為：甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)當(dāng)n足夠大時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,這個(gè)平均值的大小可以反映甲運(yùn)動(dòng)員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.二、典例解析例1.分析:罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果,命中時(shí)X=1,不中時(shí)X=0,因此隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,X的均值反映了該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的平均得分水平.解：因?yàn)镻(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2=0.8即該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分X的均值是0.8.例2.分析:先求出X的分布列,再根據(jù)定義計(jì)算X的均值。解：X的分布列為??(X=k)=16因此,E(X)=16跟蹤訓(xùn)練1.[解]X的取值分別為1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次參加駕照考試就通過(guò)了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明第一次考試未通過(guò)，第二次通過(guò)了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明第一、二次考試未通過(guò)，第三次通過(guò)了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考試都未通過(guò)，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列為X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值為E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.例3:解：分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨(dú)立(??=0)=(A)=0.2,(??=1000)=(AB)=0.8×0.4=0.32,??(??=3000)=??(????C)=0.8×0.6×0.6=0.288,(??=6000)=(??????)=0.8×0.6×0.4=0.192.X的分布列如下表所示：X0100040006000P0.20.480.1280.192??的均值為??(??)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.思考：解：如果按ACB的順序來(lái)猜歌,分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨(dú)立;(??=0)=(A)=0.2,(??=1000)=(AC)=0.8×0.4=0.32,??(??=3000)=??(??CB)=0.8×0.4×0.4=0.128,(??=6000)=(??CB)=0.8×0.4×0.6=0.192.X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192X按由易到難的順序來(lái)猜歌，獲得的公益基金的均值最大猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872例4.分析:決策目標(biāo)為總損失(投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：天氣狀況大洪水小洪水沒(méi)有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量,可以采用期望總損失最小的方案。解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,無(wú)論有無(wú)洪水,都損失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水時(shí),總損失為2000+6000=62000元;沒(méi)有大洪水時(shí),總損失為2000元,因此,P(X2=62000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600,E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．C[E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6).]2.解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.答案:C3.解析:因?yàn)?2+t+13=1,所以t=E(ξ)=1×12+2×16+3×E(η)=E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3×116+2=15答案:154.解析:當(dāng)l的斜率k=±22時(shí),直線方程為±22x-y+1=0,此時(shí)d1=13;k=±3時(shí),直線方程為±3x-y+1=0,此時(shí)d2=12;k=±52時(shí),直線方程為±52x-y+1=0,此時(shí)d3=X1121P2221所以E(X)=13×2答案:45.解:(1)隨機(jī)變量ξ的可能取值是2,3,4,5,6,當(dāng)ξ=4時(shí),其發(fā)生的概率最大.因?yàn)镻(ξ=2)=32P(ξ=3)=2×3P(ξ=4)=32P(ξ=5)=2×3×28P(ξ=6)=22故當(dāng)ξ=4時(shí)滿足題意.(2)E(ξ)=2×964+3×932+4×2164+5×3《7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值》基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1．甲、乙兩名射手一次射擊得分(分別用X1，X2表示)的分布列如下：甲得分：X1123P0.40.10.5乙得分：X2123P0.10.60.3則甲、乙兩人的射擊技術(shù)相比（）A．甲更好B．乙更好C．甲、乙一樣好D．不可比較2．設(shè)ξ的分布列為ξ1234P又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于（）A．B．C．D．3.某人進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)成功，則停止實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)失敗，再重新實(shí)驗(yàn)一次，若實(shí)驗(yàn)3次均失敗，則放棄實(shí)驗(yàn)，若此人每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為，則此人實(shí)驗(yàn)次數(shù)的期望是（）A．B．C．D．4．某企業(yè)計(jì)劃加大技改力度，需更換一臺(tái)設(shè)備，現(xiàn)有兩種品牌的設(shè)備可供選擇，品牌設(shè)備需投入60萬(wàn)元，品牌設(shè)備需投入90萬(wàn)元，企業(yè)對(duì)兩種品牌設(shè)備的使用年限情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查：品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更換設(shè)備技改后，每年估計(jì)可增加效益100萬(wàn)元，從年均收益的角度分析：（）A．不更換設(shè)備B．更換為設(shè)備C．更換為設(shè)備D．更換為或設(shè)備均可5．（多選題）已知隨機(jī)變量的分布列為若，則以下結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．6．（多選題）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（）012A．隨著的增大而增大B．隨著的增大而減小C．D．的值最大二、填空題7．設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X123P則X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)________．8．已知某位運(yùn)動(dòng)員投籃一次命中的概率是未命中概率的4倍，設(shè)隨機(jī)變量X為他投籃一次命中的個(gè)數(shù)，則X的期望是________．9．在一個(gè)不透明的摸獎(jiǎng)箱中有五個(gè)分別標(biāo)有1，2，3，4，5號(hào)碼的大小相同的小球，現(xiàn)甲?乙?丙三個(gè)人依次參加摸獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定：每個(gè)人連續(xù)有放回地摸三次，若得到的三個(gè)球編號(hào)之和恰為4的倍數(shù)，則算作獲獎(jiǎng)，記獲獎(jiǎng)的人數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)____.10．“四書”是《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史?思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考價(jià)值.為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃開(kāi)展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動(dòng).某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》這4本書中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備，且各自選取的書均不相同.比賽時(shí)，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準(zhǔn)備的書的人數(shù)的均值為_(kāi)_____.三、解答題11．甲乙兩人為了培養(yǎng)自己的體育素養(yǎng)，分別進(jìn)行乒乓球和羽毛球兩場(chǎng)比賽，兩場(chǎng)比賽中，勝者得2分、敗者得0分，每場(chǎng)比賽一定會(huì)分出勝負(fù)，其中甲在兩場(chǎng)比賽中勝出的概率分別為：和，每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，誰(shuí)最終得分多誰(shuí)獲勝．（1）求甲獲勝的概率；（2）求甲得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．12.某學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.答案解析一、選擇題1．甲、乙兩名射手一次射擊得分(分別用X1，X2表示)的分布列如下：甲得分：X1123P0.40.10.5乙得分：X2123P0.10.60.3則甲、乙兩人的射擊技術(shù)相比（）A．甲更好B．乙更好C．甲、乙一樣好D．不可比較【答案】B【詳解】因?yàn)镋(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射擊技術(shù)更好.故選：B2．設(shè)ξ的分布列為ξ1234P又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.3．某人進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)成功，則停止實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)失敗，再重新實(shí)驗(yàn)一次，若實(shí)驗(yàn)3次均失敗，則放棄實(shí)驗(yàn)，若此人每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為，則此人實(shí)驗(yàn)次數(shù)的期望是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題意可得，每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為，則失敗的概率為，；，，則實(shí)驗(yàn)次數(shù)的分布列如下：所以此人實(shí)驗(yàn)次數(shù)的期望是.4．某企業(yè)計(jì)劃加大技改力度，需更換一臺(tái)設(shè)備，現(xiàn)有兩種品牌的設(shè)備可供選擇，品牌設(shè)備需投入60萬(wàn)元，品牌設(shè)備需投入90萬(wàn)元，企業(yè)對(duì)兩種品牌設(shè)備的使用年限情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查：品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更換設(shè)備技改后，每年估計(jì)可增加效益100萬(wàn)元，從年均收益的角度分析：（）A．不更換設(shè)備B．更換為設(shè)備C．更換為設(shè)備D．更換為或設(shè)備均可【答案】C【詳解】設(shè)更換為品牌設(shè)備使用年限為，則年，更換為品牌設(shè)備年均收益為萬(wàn)元；設(shè)更換為品牌設(shè)備使用年限為，則年，更換為品牌設(shè)備年均收益為萬(wàn)元．所以更換為品牌設(shè)備，故選：C．5．（多選題）已知隨機(jī)變量的分布列為若，則以下結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABCD【詳解】由分布列性質(zhì)知：，解得：，B正確；，，A正確；由均值的性質(zhì)知：，C正確；，D正確.故選：ABCD.6．（多選題）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（）012A．隨著的增大而增大B．隨著的增大而減小C．D．的值最大【答案】BC【詳解】由題意，由于，所以隨著的增大而減小，A錯(cuò)，B正確；又，所以C正確；時(shí)，，而，D錯(cuò)．故選：BC．二、填空題7．設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X123P則X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)________．【答案】【詳解】由得，，∴.8．已知某位運(yùn)動(dòng)員投籃一次命中的概率是未命中概率的4倍，設(shè)隨機(jī)變量X為他投籃一次命中的個(gè)數(shù)，則X的期望是________．【答案】0.8【詳解】因?yàn)?，，所?．在一個(gè)不透明的摸獎(jiǎng)箱中有五個(gè)分別標(biāo)有1，2，3，4，5號(hào)碼的大小相同的小球，現(xiàn)甲?乙?丙三個(gè)人依次參加摸獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定：每個(gè)人連續(xù)有放回地摸三次，若得到的三個(gè)球編號(hào)之和恰為4的倍數(shù)，則算作獲獎(jiǎng)，記獲獎(jiǎng)的人數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)____.【答案】【詳解】三個(gè)球編號(hào)之和恰為4的倍數(shù)的基本事件：有3種、有6種、有6種、有3種、有3種、有3種、有6種、有1種，而總共有，∴三個(gè)球編號(hào)之和恰為4的倍數(shù)的概率為，由題意，∴的數(shù)學(xué)期望：.10．“四書”是《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史?思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考價(jià)值.為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃開(kāi)展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動(dòng).某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》這4本書中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備，且各自選取的書均不相同.比賽時(shí)，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準(zhǔn)備的書的人數(shù)的均值為_(kāi)_____.【答案】1【詳解】記抽到自己準(zhǔn)備的書的學(xué)生數(shù)為，則可能值為0，1，2，4，，，，則．三、解答題11．甲乙兩人為了培養(yǎng)自己的體育素養(yǎng)，分別進(jìn)行乒乓球和羽毛球兩場(chǎng)比賽，兩場(chǎng)比賽中，勝者得2分、敗者得0分，每場(chǎng)比賽一定會(huì)分出勝負(fù)，其中甲在兩場(chǎng)比賽中勝出的概率分別為：和，每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，誰(shuí)最終得分多誰(shuí)獲勝．（1）求甲獲勝的概率；（2）求甲得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析；.【詳解】（1）設(shè)甲獲勝的概率為，則．（2）設(shè)甲得分?jǐn)?shù)為，則可取值為0，2，4，，，于是分布列為：024于是．12.某學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）類．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問(wèn)題．《7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值》提高訓(xùn)練一、選擇題1．若隨機(jī)變量X的分布列如下所示X－1012P0.2ab0.3且E(X)＝0.8，則a、b的值分別是（）A．0.4，0.1B．0.1，0.4C．0.3，0.2D．0.2，0.32．已知隨機(jī)變量的分布列如下：246若，則（）A．B．C．D．3．現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，8張2元的、2張5元的，某人從中隨機(jī)抽取3張，則此人得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望是（）A．6B．7.8C．9D．124．多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．若選項(xiàng)中有i（其中）個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量（其中），則有（）A．B．C．D．5．（多選題）體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球；否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75，則p的取值可能是（）A．B．C．D．6．（多選題）以人工智能、量子信息等顛覆性技術(shù)為引領(lǐng)的前沿趨勢(shì)，將重塑世界工程科技的發(fā)展模式，對(duì)人類生產(chǎn)力的創(chuàng)新提升意義重大．某公司抓住機(jī)遇，成立了甲、乙、丙三個(gè)科研小組針對(duì)某技術(shù)難題同時(shí)進(jìn)行科研攻關(guān)，攻克該技術(shù)難題的小組都會(huì)受到獎(jiǎng)勵(lì)．已知甲、乙、丙三個(gè)小組攻克該技術(shù)難題的高綠分別為，，，且三個(gè)小組各自獨(dú)立進(jìn)行科研攻關(guān)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．甲、乙、丙三個(gè)小組均受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為B．只有甲小組受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為C．受到獎(jiǎng)勵(lì)的小組數(shù)的期望值等于D．該技術(shù)難題被攻克，且只有丙小組受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為二、填空題7．甲?乙兩人對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，甲命中的概率為，乙命中的概率為，且他們的結(jié)果互不影響，若命中目標(biāo)的人數(shù)為，則___________.8．已知隨機(jī)變量的概率分布如表所示，其中，，成等比數(shù)列，當(dāng)取最大值時(shí)，______．0110．在游戲答題規(guī)則為：首局勝利得3分，第二局勝利得2分，失敗均得1分.如果甲每局勝利的概率為，且答題相互獨(dú)立，那么甲作答兩局的得分期望為_(kāi)_____．10．某地有A，B，C，D四人先后感染了新型冠狀病毒，其中只有A到過(guò)疫區(qū)，B肯定是受A感染的．對(duì)于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同樣也假定D受A，B和C感染的概率都是．在這種假定之下，B，C，D中直接受A感染的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)______．三、解答題11．五一假期，大學(xué)生李明與張紅兩位同學(xué)在某景區(qū)的游樂(lè)場(chǎng)射箭比賽，兩人約定：先射中者獲勝，比賽結(jié)束；或每人都已射擊3次時(shí)比賽結(jié)束經(jīng)過(guò)抽簽確定李明先射，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，李明每次射箭射中的概率為，張紅每次射箭射中的概率為，且各次射箭互不影響.（1）求李明獲勝的概率；（2）求射箭比賽結(jié)束時(shí)李明的射擊次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.12．甲?乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無(wú)底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：（1）記乙公司送餐員日工資為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王打算到甲?乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說(shuō)明理由.答案解析一、選擇題1．若隨機(jī)變量X的分布列如下所示X－1012P0.2ab0.3且E(X)＝0.8，則a、b的值分別是（）A．0.4，0.1B．0.1，0.4C．0.3，0.2D．0.2，0.3【答案】B【詳解】由隨機(jī)變量X的分布列得：，所以，又因?yàn)椋獾茫?，故選：B2．已知隨機(jī)變量的分布列如下：246若，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由，得，由，得，解得.故選：B.3．現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，8張2元的、2張5元的，某人從中隨機(jī)抽取3張，則此人得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望是（）A．6B．7.8C．9D．12【答案】B【詳解】設(shè)此人得獎(jiǎng)金額為X，則X的所有可能取值為12,9,6.P(X＝12)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝6)＝＝，故E(X)＝12×＋9×＋6×＝7.8.故選：B.4．多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．若選項(xiàng)中有i（其中）個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量（其中），則有（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：當(dāng)時(shí)，的可能情況為0,3,5選擇的情況共有：種；，，所以當(dāng)時(shí)，的可能情況為0,3,5選擇的情況共有：種；，，所以當(dāng)時(shí)，的可能情況為3,5選擇的情況共有：種；，，所以對(duì)于AB：，，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD：，，所以，故CD錯(cuò)誤；故選：B5．（多選題）體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球；否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75，則p的取值可能是（）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，故選：AC6．（多選題）以人工智能、量子信息等顛覆性技術(shù)為引領(lǐng)的前沿趨勢(shì)，將重塑世界工程科技的發(fā)展模式，對(duì)人類生產(chǎn)力的創(chuàng)新提升意義重大．某公司抓住機(jī)遇