《7.4 二項分布與超幾何分布》考點講解與專題訓(xùn)練

《7.4二項分布與超幾何分布》考點講解【思維導(dǎo)圖】【常見考點】考法一二項分布【例1】高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行?水平間隔相等的圓柱形鐵釘(如圖)，并且每一排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.（1）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？（2）一數(shù)學興趣小組取3個小球進行試驗，設(shè)其中落入4號容器的小球的個數(shù)為，求的分布列.【一隅三反】1．若隨機變量，則（）A．2B．3C．4D．52．（多選）已知隨機變量，若使的值最大，則k等于（）A．5B．6C．7D．83．江蘇實行的“新高考方案：”模式，其中統(tǒng)考科目：“”指語文、數(shù)學、外語三門，不分文理：學生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，“”指首先在在物理、歷史門科目中選擇一門；“”指再從思想政治、地理、化學、生物門科目中選擇門某校，根據(jù)統(tǒng)計選物理的學生占整個學生的；并且在選物理的條件下，選擇地理的概率為；在選歷史的條件下，選地理的概率為．（1）求該校最終選地理的學生概率；（2）該校甲、乙、丙三人選地理的人數(shù)設(shè)為隨機變量．①求隨機變量的概率；②求的概率分布列以及數(shù)學期望．4．已知某植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所分三個小組分別獨立進行該種子的發(fā)芽試驗，每次試驗種一粒種子，每次試驗結(jié)果相互獨立.假設(shè)某次試驗種子發(fā)芽，則稱該次試驗是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次試驗是失敗的.（1）第一小組做了四次試驗，求該小組恰有兩次失敗的概率；（2）第二小組做了四次試驗，設(shè)試驗成功與失敗的次數(shù)的差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學期望.考點二超幾何分布【例2】現(xiàn)對某高校16名籃球運動員在多次訓(xùn)練比賽中的得分進行統(tǒng)計，將每位運動員的平均成績所得數(shù)據(jù)用頻率分布直方圖表示如下．(如：落在區(qū)間[10，15)內(nèi)的頻率/組距為0.0125)規(guī)定分數(shù)在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的運動員分別為三級籃球運動員、二級籃球運動員、一級籃球運動員，現(xiàn)從這批籃球運動員中利用分層抽樣的方法選出16名運動員作為該高校的籃球運動員代表．（1）求a的值和選出籃球運動員代表中一級運動員的人數(shù)；（2）若從籃球運動員代表中選出三人，求其中含有一級運動員人數(shù)X的分布列；（3）若從該校籃球運動員中有放回地選三人，求其中含有一級運動員人數(shù)Y的期望．【一隅三反】1．已知高一某班共有學生21人，其中男生12人，女生9人.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，測試他們對網(wǎng)絡(luò)課程學習的效果，效果分為優(yōu)秀和不優(yōu)秀兩種，優(yōu)秀得2分，不優(yōu)秀得1分.（1）應(yīng)抽取男生?女生各多少人？（2）若抽取的7人中，4人的測試效果為優(yōu)秀，3人為不優(yōu)秀，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人.（i）用表示抽取的3人的得分之和，求隨機變量x的分布列及數(shù)學期望；（ii）設(shè)事件為“抽取的3人中，既有測試效果為優(yōu)秀的，也有為不優(yōu)秀的”，求事件發(fā)生的概率.2．某校五四青年藝術(shù)節(jié)選拔主持人，現(xiàn)有來自高一年級參賽選手4名，其中男生2名;高二年級參賽選手4名，其中男生3名.從這8名參賽選手中隨機選擇4人組成搭檔參賽.（Ⅰ）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名男生，且這2名男生來自同一個年級”，求事件A發(fā)生的概率;（Ⅱ）設(shè)X為選出的4人中男生的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.3．為了解學生自主學習期間完成數(shù)學套卷的情況，一名教師對某班級的所有學生進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表.（1）從這班學生中任選一名男生，一名女生，求這兩名學生完成套卷數(shù)之和為4的概率？（2）若從完成套卷數(shù)不少于4套的學生中任選4人，設(shè)選到的男學生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（3）試判斷男學生完成套卷數(shù)的方差與女學生完成套卷數(shù)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.考點三二項分布與超幾何分布綜合運用【例3】某百貨公司舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600元(含600元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球其中獎規(guī)則為：若摸到2個紅球和1個白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球和1個黑球則打5折；若摸出1個白球2個黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個顧客均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？【一隅三反】1．學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（1）求在1次游戲中，①摸出3個白球的概率；②獲獎的概率；（2）求在4次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望.2．甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數(shù)為標準進行篩選.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列，并計算其數(shù)學期望;(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大?3．一批產(chǎn)品共10件，其中3件是不合格品，用下列兩種不同方式從中隨機抽取2件產(chǎn)品檢驗：方法一：一次性隨機抽取2件；方法二：先隨機抽取1件，放回后再隨機抽取1件.記方法一抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為.記方法二抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為.（1）求兩種抽取方式下，的概率分布列；（2）比較兩種抽取方式抽到的不合格品平均數(shù)的大?。坎⒄f明理由.答案解析考法一二項分布【例1】高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行?水平間隔相等的圓柱形鐵釘(如圖)，并且每一排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.（1）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？（2）一數(shù)學興趣小組取3個小球進行試驗，設(shè)其中落入4號容器的小球的個數(shù)為，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析.【解析】（1）記“小球落入4號容器”為事件，若要小球落入4號容器，則需要在通過的四層中有三層向右，一層向左，∴理論上，小球落入4號容器的概率.（2）落入4號容器的小球的個數(shù)的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為0123【一隅三反】1．若隨機變量，則（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】因為，所以，所以.故選：D.2．（多選）已知隨機變量，若使的值最大，則k等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】BC【解析】令，得，即當時，；當時，；當時，，所以和的值最大.故選：BC.3．江蘇實行的“新高考方案：”模式，其中統(tǒng)考科目：“”指語文、數(shù)學、外語三門，不分文理：學生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，“”指首先在在物理、歷史門科目中選擇一門；“”指再從思想政治、地理、化學、生物門科目中選擇門某校，根據(jù)統(tǒng)計選物理的學生占整個學生的；并且在選物理的條件下，選擇地理的概率為；在選歷史的條件下，選地理的概率為．（1）求該校最終選地理的學生概率；（2）該校甲、乙、丙三人選地理的人數(shù)設(shè)為隨機變量．①求隨機變量的概率；②求的概率分布列以及數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）①；②分布列見解析，.【解析】（1）該校最終選地理的學生為事件，；因此，該校最終選地理的學生為；（2）①由題意可知，，所以，；②由于，則，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：．4．已知某植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所分三個小組分別獨立進行該種子的發(fā)芽試驗，每次試驗種一粒種子，每次試驗結(jié)果相互獨立.假設(shè)某次試驗種子發(fā)芽，則稱該次試驗是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次試驗是失敗的.（1）第一小組做了四次試驗，求該小組恰有兩次失敗的概率；（2）第二小組做了四次試驗，設(shè)試驗成功與失敗的次數(shù)的差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）答案見解析；.【解析】（1）記“該小組有兩次失敗”為事件，.（2）由題意可知的可能取值為0，2，4.，，.故的分布列為：024.考點二超幾何分布【例2】現(xiàn)對某高校16名籃球運動員在多次訓(xùn)練比賽中的得分進行統(tǒng)計，將每位運動員的平均成績所得數(shù)據(jù)用頻率分布直方圖表示如下．(如：落在區(qū)間[10，15)內(nèi)的頻率/組距為0.0125)規(guī)定分數(shù)在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的運動員分別為三級籃球運動員、二級籃球運動員、一級籃球運動員，現(xiàn)從這批籃球運動員中利用分層抽樣的方法選出16名運動員作為該高校的籃球運動員代表．（1）求a的值和選出籃球運動員代表中一級運動員的人數(shù)；（2）若從籃球運動員代表中選出三人，求其中含有一級運動員人數(shù)X的分布列；（3）若從該校籃球運動員中有放回地選三人，求其中含有一級運動員人數(shù)Y的期望．【答案】（1）a＝0.0250，4人；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）由頻率分布直方圖知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.其中為一級運動員的概率為(0.0125＋0.0375)×5＝0.25，∴選出籃球運動員代表中一級運動員為0.25×16＝4人．（2）由已知可得X的可能取值分別為0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，∴X的分布列為X0123P（3）由已知得Y～B，∴E(Y)＝np＝3×＝，∴含有一級運動員人數(shù)Y的期望為.【一隅三反】1．已知高一某班共有學生21人，其中男生12人，女生9人.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，測試他們對網(wǎng)絡(luò)課程學習的效果，效果分為優(yōu)秀和不優(yōu)秀兩種，優(yōu)秀得2分，不優(yōu)秀得1分.（1）應(yīng)抽取男生?女生各多少人？（2）若抽取的7人中，4人的測試效果為優(yōu)秀，3人為不優(yōu)秀，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人.（i）用表示抽取的3人的得分之和，求隨機變量x的分布列及數(shù)學期望；（ii）設(shè)事件為“抽取的3人中，既有測試效果為優(yōu)秀的，也有為不優(yōu)秀的”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）人；（2）（i）分布列答案見解析，數(shù)學期望：；（ii）.【解析】（1）因為采用分層抽樣的方法進行抽樣，所以應(yīng)抽取女生人，抽取男生人.（2）（i）隨機變量的所有可能取值為3，4，5，6.，，，，所以隨機變量的分布列為3456數(shù)學期望.（ii）由（i）知，故事件發(fā)生的概率為.2．某校五四青年藝術(shù)節(jié)選拔主持人，現(xiàn)有來自高一年級參賽選手4名，其中男生2名;高二年級參賽選手4名，其中男生3名.從這8名參賽選手中隨機選擇4人組成搭檔參賽.（Ⅰ）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名男生，且這2名男生來自同一個年級”，求事件A發(fā)生的概率;（Ⅱ）設(shè)X為選出的4人中男生的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，數(shù)學期望【解析】（Ⅰ）由已知有，所以事件A發(fā)生的概率為.（Ⅱ）隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4，所以隨機變量X的分布列為XP所以隨機變量X的數(shù)學期望.3．為了解學生自主學習期間完成數(shù)學套卷的情況，一名教師對某班級的所有學生進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表.（1）從這班學生中任選一名男生，一名女生，求這兩名學生完成套卷數(shù)之和為4的概率？（2）若從完成套卷數(shù)不少于4套的學生中任選4人，設(shè)選到的男學生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（3）試判斷男學生完成套卷數(shù)的方差與女學生完成套卷數(shù)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.【答案】（1）（2）詳見解析（3）【解析】（1）設(shè)事件：從這個班級的學生中隨機選取一名男生,一名女生,這兩名學生完成套卷數(shù)之和為4,由題意可知,.（2）完成套卷數(shù)不少于4本的學生共8人,其中男學生人數(shù)為4人,故的取值為0,1,2,3,4.由題意可得；；；；.所以隨機變量的分布列為01234隨機變量的均值.(3).考點三二項分布與超幾何分布綜合運用【例3】某百貨公司舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600元(含600元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球其中獎規(guī)則為：若摸到2個紅球和1個白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球和1個黑球則打5折；若摸出1個白球2個黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個顧客均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？【答案】（1）；（2）選擇第二種方案更合算.【解析】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的分布列為，所以（元）.若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）.因為，所以該顧客選擇第二種抽獎方案更合算.【一隅三反】1．學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（1）求在1次游戲中，①摸出3個白球的概率；②獲獎的概率；（2）求在4次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望.【答案】（1）①，②；（2）分布列見解析，.【解析】（1）設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件①②設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又且A2，A3互斥，所以（2）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，由（1），，，，所以X的分布列是X01234P顯然，所以的數(shù)學期望E(X)=．2．甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數(shù)為標準進行篩選.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列，并計算其數(shù)學期望;(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大?【答案】(1)甲、乙的分布列見解析；甲的數(shù)學期望2、乙的數(shù)學期望2；(2)甲通過面試的概率較大．【解析】（1）設(shè)為甲正確完成面試題的數(shù)量，為乙正確完成面試題的數(shù)量，依題意可得：，∴，，，∴X的分布列為：X123P∴．，∴，，，，∴Y的分布列為：Y0123P∴．（2），，∵，∴甲發(fā)揮的穩(wěn)定性更強，則甲通過面試的概率較大．3．一批產(chǎn)品共10件，其中3件是不合格品，用下列兩種不同方式從中隨機抽取2件產(chǎn)品檢驗：方法一：一次性隨機抽取2件；方法二：先隨機抽取1件，放回后再隨機抽取1件.記方法一抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為.記方法二抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為.（1）求兩種抽取方式下，的概率分布列；（2）比較兩種抽取方式抽到的不合格品平均數(shù)的大?。坎⒄f明理由.【答案】（1），的分布列見解析；（2）平均數(shù)相等，理由見解析.【解析】（1）方法一中隨機變量可取的值為0，1，2，且服從超幾何分布，于是；；；因此的頻率分布可表示為下表：012方法二中隨機變量可取的值為0，1，2，且服從二項分布，于是；；；因此的頻率分布可表示為下表：012（2）由（1）知，方法一中的數(shù)學期望為，方法二中的數(shù)學期望為，所以兩種方式抽到的不合格品平均數(shù)相等.《7.4二項分布與超幾何分布》考點訓(xùn)練【題組一二項分布】1．已知某種藥物對某種疾病的治愈率為，現(xiàn)有位患有該病的患者服用了這種藥物，位患者是否會被治愈是相互獨立的，則恰有位患者被治愈的概率為（）A．B．C．D．2．已知隨機變量X服從二項分布，即，且，，則二項分布的參數(shù)n，p的值為（）A．，B．，C．，D．，3．某同學參加學?；@球選修課的期末考試，老師規(guī)定每個同學罰籃20次，每罰進一球得5分，不進記0分，已知該同學罰球命中率為60%，則該同學得分的數(shù)學期望和方差分別為（）.A．60，24B．80，120C．80，24D．60，1204．從裝有除顏色外完全相同的個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取次，設(shè)摸得黑球的個數(shù)為，已知，則等于（）A．B．C．D．5.（多選）若隨機變量ξ～B，則P(ξ＝k)最大時，k的值為（）A．1B．2C．3D．46．某大學學生會從全體男生中隨機抽取16名男生參加1500米中長跑測試，經(jīng)測試得到每個男生的跑步所用時間的莖葉圖小數(shù)點前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點的后一位數(shù)字為葉，如圖，若跑步時間不高于秒，則稱為“好體能”.（1）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）要從這16人中隨機選取3人，求至少有2人是“好體能”的概率；（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生人數(shù)眾多任取3人，記X表示抽到“好體能”學生的人數(shù)，求X的分布列7．某研究院為了調(diào)查學生的身體發(fā)育情況，從某校隨機抽頻率組距測120名學生檢測他們的身高（單位：米），按數(shù)據(jù)分成這6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中身高大于或等于1.59米的學生有20人，其身高分別為1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以這120名學生身高在各組的身高的頻率估計整個學校的學生在各組身高的概率．（1）求該校學生身高大于1.60米的頻率，并求頻率分布直方圖中m、n、t的值；（2）若從該校中隨機選取3名學生（學生數(shù)量足夠大），記X為抽取學生的身高在的人數(shù)求X的分布列和數(shù)學期望．8．某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到500元則可參加一輪抽獎活動，超市設(shè)計了兩種抽獎方案.在一個不透明的盒子中裝有6個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中2個紅球，4個白球，攪拌均勻.方案一：顧客從盒子中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得50元的返金券，若抽到白球則獲得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.方案二：顧客從盒子中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得100元的返金券，若抽到白球則不獲得返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.（1）方案一中，設(shè)顧客抽取3次后最終可能獲得的返金券的金額為X，求X的分布列；（2）若某顧客獲得抽獎機會，試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望，并以此判斷應(yīng)該選擇哪種抽獎方案更合適.【題組二超幾何分布】1．在箱子中有10個小球，其中有3個紅球，3個白球，4個黑球．從這10個球中任取3個．求：（1）取出的3個球中紅球的個數(shù)為，求的數(shù)學期望；（2）取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率．2．某大型企業(yè)組織員工進行愛心捐款活動．原則上以自愿為基礎(chǔ)，每人捐款不超過300元，捐款活動負責人統(tǒng)計全體員工數(shù)據(jù)后，隨機抽取的10名員工的捐款數(shù)額如下表：員工編號12345678910捐款數(shù)額120802155013019530090200225（1）若從這10名員工中隨機選取2人，則選取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若從這10名員工中任意選取4人，記選到的4人中捐款數(shù)額大于200元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．3．在某城市氣象部門的數(shù)據(jù)庫中，隨機抽取30天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，整理得如下表格：空氣質(zhì)量指數(shù)優(yōu)良好輕度污染中度污染重度污染天數(shù)584空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)或良好，規(guī)定為Ⅰ級，輕度或中度污染，規(guī)定為Ⅱ級，重度污染規(guī)定為Ⅲ級.若按等級用分層抽樣的方法從中抽取10天的數(shù)據(jù)，則空氣質(zhì)量為Ⅰ級的恰好有5天.（1）求，的值；（2）若以這30天的空氣質(zhì)量指數(shù)來估計一年的空氣質(zhì)量情況，試問一年（按366天計算）中大約有多少天的空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)？（3）若從抽取的10天的數(shù)據(jù)中再隨機抽取4天的數(shù)據(jù)進行深入研究，記其中空氣質(zhì)量為Ⅰ級的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.4．在一個袋中，裝有大小、形狀完全相同的3個紅球、2個黃球.現(xiàn)從中任取2個球，設(shè)隨機變量為取得紅球的個數(shù).（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學期望和方差.5．港珠澳大橋是一座具有劃時代意義的大橋.它連通了珠海香港澳門三地，大大縮短了三地的時空距離，盤活了珠江三角洲的經(jīng)濟，被譽為新的世界七大奇跡.截至2019年10月23日8點，珠海公路口岸共驗放出入境旅客超過1400萬人次，日均客流量已經(jīng)達到4萬人次，驗放出入境車輛超過70萬輛次，2019年春節(jié)期間，客流再次大幅增長，日均客流達8萬人次，單日客流量更是創(chuàng)下11.3萬人次的最高紀錄.2019年從五月一日開始的連續(xù)100天客流量頻率分布直方圖如下（1）①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替，根據(jù)頻率分布直方圖.估計客流量的平均數(shù).②求客流量的中位數(shù).（2）設(shè)這100天中客流量超過5萬人次的有天，從這天中任取兩天，設(shè)為這兩天中客流量超過7萬人的天數(shù).求的分布列和期望．6．已知甲盒內(nèi)有大小相同的個紅球和個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的個紅球和個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取個球．（1）求取出的個球中恰有個紅球的概率；（2）設(shè)為取出的個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．7．某單位組織知識競賽，選手從6道備選題中隨機抽取3道題.規(guī)定至少答對其中的2道題才能晉級.甲選手只能答對其中的4道題．(1)求甲選手能晉級的概率；(2)若乙選手每題能答對的概率都是，且每題答對與否互不影響，用數(shù)學期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平．8．某大學在一次公益活動中聘用了10名志愿者，他們分別來自于A、B、C三個不同的專業(yè)，其中A專業(yè)2人，B專業(yè)3人，C專業(yè)5人，現(xiàn)從這10人中任意選取3人參加一個訪談節(jié)目．（1）求3個人來自兩個不同專業(yè)的概率；（2）設(shè)X表示取到B專業(yè)的人數(shù)，求X的分布列．【題組三二項分布與超幾何分布綜合運用】1．是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物.我國標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標，某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2019年上半年每天的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如下莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）.（1）在這15天的日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，求其中位數(shù)；（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（3）以這15天的日均值來估計該市下一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級.2．某校舉行知識競賽，該校某班經(jīng)過層層篩選，還有最后一個參賽名額要在A，B兩名學生中間產(chǎn)生，該班委設(shè)計了一個測試方案：A，B兩名學生各自從6個問題中隨機抽取3個問題作答.已知這6個問題中，學生A能正確回答其中的4個問題，而學生B能正確回答每個問題的概率均為，A，B兩名學生對每個問題回答正確與否都是相互獨立、互不影響的.（1）求A恰好答對兩個問題的概率；（2）求B恰好答對兩個問題的概率；（3）設(shè)A答對題數(shù)為X，B答對題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生？請說明理由.3．一個袋中裝有大小形狀相同的標號為1，2，3，4，5，6的6個小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個球（拿后放回袋中）記下標號，若拿出球的標號是奇數(shù)，則得1分，否則得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分數(shù)的分布列和數(shù)學期望4．某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況．從該社區(qū)全體老年人中，隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試，根據(jù)測試成績（百分制）繪制莖葉圖如下．根據(jù)老年人體質(zhì)健康標準，可知成績不低于80分為優(yōu)良，且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低．（Ⅰ）從抽取的12人中隨機選取3人，記表示成績優(yōu)良的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（Ⅱ）將頻率視為概率，根據(jù)用樣本估計總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人，若抽到人的成績是優(yōu)良的可能性最大，求的值．答案解析【題組一二項分布】1．已知某種藥物對某種疾病的治愈率為，現(xiàn)有位患有該病的患者服用了這種藥物，位患者是否會被治愈是相互獨立的，則恰有位患者被治愈的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知位患者被治愈是相互獨立的，每位患者被治愈的概率為，則不被治愈的概率為所以位患者中恰有1為患者被治愈的概率為故選：B2．已知隨機變量X服從二項分布，即，且，，則二項分布的參數(shù)n，p的值為（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】隨機變量X服從二項分布，即，且，，可得，，解得，，故選：D.3．某同學參加學校籃球選修課的期末考試，老師規(guī)定每個同學罰籃20次，每罰進一球得5分，不進記0分，已知該同學罰球命中率為60%，則該同學得分的數(shù)學期望和方差分別為（）.A．60，24B．80，120C．80，24D．60，120【答案】D【解析】設(shè)該同學次罰籃，命中次數(shù)為，則，所以，，所以該同學得分的期望為，方差為.故選：D4．從裝有除顏色外完全相同的個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取次，設(shè)摸得黑球的個數(shù)為，已知，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得出，即所以故選C5.（多選）若隨機變量ξ～B，則P(ξ＝k)最大時，k的值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】AB【解析】依題意，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，P(ξ=3)=，P(ξ=4)=，P(ξ=5)=.故當k=2或1時，P(ξ=k)最大.故選：AB.．6．某大學學生會從全體男生中隨機抽取16名男生參加1500米中長跑測試，經(jīng)測試得到每個男生的跑步所用時間的莖葉圖小數(shù)點前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點的后一位數(shù)字為葉，如圖，若跑步時間不高于秒，則稱為“好體能”.（1）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）要從這16人中隨機選取3人，求至少有2人是“好體能”的概率；（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生人數(shù)眾多任取3人，記X表示抽到“好體能”學生的人數(shù)，求X的分布列【答案】（1）眾數(shù)和中位數(shù)分別是5.8，5.8；（2）；（3）分布列見解析；【解析】（1）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是5.8，5.8；（2）設(shè)至少有2人是“好體能”的事件為，則事件包含得基本事件個數(shù)為；總的基本事件個數(shù)為，（3）的可能取值為0，1，2，3，由于該校男生人數(shù)眾多，故近似服從二項分布，，，的分布列為：01237．某研究院為了調(diào)查學生的身體發(fā)育情況，從某校隨機抽頻率組距測120名學生檢測他們的身高（單位：米），按數(shù)據(jù)分成這6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中身高大于或等于1.59米的學生有20人，其身高分別為1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以這120名學生身高在各組的身高的頻率估計整個學校的學生在各組身高的概率．（1）求該校學生身高大于1.60米的頻率，并求頻率分布直方圖中m、n、t的值；（2）若從該校中隨機選取3名學生（學生數(shù)量足夠大），記X為抽取學生的身高在的人數(shù)求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1），，；（2）分布列見詳解；2.1.【解析】（1）由題意可知120名學生中身高大于1.60米的有18人，所以該校學生身高大于1.60米的頻率為記為學生身高，則所以，，；（2）由（1）知學生身高在的概率隨機變量服從二項分布則所以的分布列為01230.0270.1890.4410.3438．某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到500元則可參加一輪抽獎活動，超市設(shè)計了兩種抽獎方案.在一個不透明的盒子中裝有6個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中2個紅球，4個白球，攪拌均勻.方案一：顧客從盒子中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得50元的返金券，若抽到白球則獲得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.方案二：顧客從盒子中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得100元的返金券，若抽到白球則不獲得返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.（1）方案一中，設(shè)顧客抽取3次后最終可能獲得的返金券的金額為X，求X的分布列；（2）若某顧客獲得抽獎機會，試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望，并以此判斷應(yīng)該選擇哪種抽獎方案更合適.【答案】（1）答案見解析；（2）方案一數(shù)學期望為（元），方案二數(shù)學期望為100（元）；方案一.【解析】（1）由題意易知，方案一和方案二中單次抽到紅球的概率為，抽到白球的概率為，依題意，X的取值可能為90，110，130，150.且，，其分布列為X90110130150p（2）由（1）知選擇方案一時最終獲得返金券金額的數(shù)學期望為（元），選擇方案二時，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為Y，最終可能獲得返金券金額為Z元，由題意可知，，得由可知，該顧客應(yīng)該選擇方案一抽獎.【題組二超幾何分布】1．在箱子中有10個小球，其中有3個紅球，3個白球，4個黑球．從這10個球中任取3個．求：（1）取出的3個球中紅球的個數(shù)為，求的數(shù)學期望；（2）取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取出的3個球中紅球的個數(shù)為，可能取值為：0，1，2，3，所以，，，．所以的數(shù)學期望.（2）設(shè)“取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)”為事件，“恰好取出1個紅球和2個黑球”為事件，“恰好取出2個紅球”為事件，“恰好取出3個紅球”為事件，而，，，所以取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率為：．2．某大型企業(yè)組織員工進行愛心捐款活動．原則上以自愿為基礎(chǔ)，每人捐款不超過300元，捐款活動負責人統(tǒng)計全體員工數(shù)據(jù)后，隨機抽取的10名員工的捐款數(shù)額如下表：員工編號12345678910捐款數(shù)額120802155013019530090200225（1）若從這10名員工中隨機選取2人，則選取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若從這10名員工中任意選取4人，記選到的4人中捐款數(shù)額大于200元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】（1）10名員工中捐款數(shù)額大于200元的有3人，低于200元的有6人故選取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率為：（2）由題知，10名員工中捐款數(shù)額大于200元的有3人，則隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，，則的分布列為0123；（用超幾何分布公式計算同樣得分）3．在某城市氣象部門的數(shù)據(jù)庫中，隨機抽取30天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，整理得如下表格：空氣質(zhì)量指數(shù)優(yōu)良好輕度污染中度污染重度污染天數(shù)584空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)或良好，規(guī)定為Ⅰ級，輕度或中度污染，規(guī)定為Ⅱ級，重度污染規(guī)定為Ⅲ級.若按等級用分層抽樣的方法從中抽取10天的數(shù)據(jù)，則空氣質(zhì)量為Ⅰ級的恰好有5天.（1）求，的值；（2）若以這30天的空氣質(zhì)量指數(shù)來估計一年的空氣質(zhì)量情況，試問一年（按366天計算）中大約有多少天的空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)？（3）若從抽取的10天的數(shù)據(jù)中再隨機抽取4天的數(shù)據(jù)進行深入研究，記其中空氣質(zhì)量為Ⅰ級的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】（1），.（2）61天（3）見解析【解析】（1）由題意知從中抽取10天的數(shù)據(jù)，則空氣質(zhì)量為Ⅰ級的恰好有5天，所以空氣質(zhì)量為Ⅰ級的天數(shù)為總天數(shù)的，所以5+a=15，8+4+b=15，可得，.（2）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)的概率為，則一年中空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)的天數(shù)約為.（3）由題可知抽取的10天的數(shù)據(jù)中，Ⅰ級的天數(shù)為5，Ⅱ級和Ⅲ級的天數(shù)之和為5，滿足超幾何分布，所以的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，的分布列為01234故.4．在一個袋中，裝有大小、形狀完全相同的3個紅球、2個黃球.現(xiàn)從中任取2個球，設(shè)隨機變量為取得紅球的個數(shù).（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學期望和方差.【答案】（1）詳見解析（2），【解析】（1）的取值為0,1,2.，，，則的分布列為：012（2），.5．港珠澳大橋是一座具有劃時代意義的大橋.它連通了珠海香港澳門三地，大大縮短了三地的時空距離，盤活了珠江三角洲的經(jīng)濟，被譽為新的世界七大奇跡.截至2019年10月23日8點，珠海公路口岸共驗放出入境旅客超過1400萬人次，日均客流量已經(jīng)達到4萬人次，驗放出入境車輛超過70萬輛次，2019年春節(jié)期間，客流再次大幅增長，日均客流達8萬人次，單日客流量更是創(chuàng)下11.3萬人次的最高紀錄.2019年從五月一日開始的連續(xù)100天客流量頻率分布直方圖如下（1）①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替，根據(jù)頻率分布直方圖.估計客流量的平均數(shù).②求客流量的中位數(shù).（2）設(shè)這100天中客流量超過5萬人次的有天，從這天中任取兩天，設(shè)為這兩天中客流量超過7萬人的天數(shù).求的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列見解析，【解析】（1）①平均值為②設(shè)中位數(shù)為，則解得中位數(shù)為（2）可知其中超過7萬人次的有5天012所以6．已知甲盒內(nèi)有大小相同的個紅球和個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的個紅球和個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取個球．（1）求取出的個球中恰有個紅球的概率；（2）設(shè)為取出的個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）記事件取出的個球中恰有個紅球，事件取出的個球中唯一的紅球取自于甲盒，事件取出的個球中唯一的紅球取自于乙盒，則，且事件與互斥，由互斥事件的概率公式可得，因此，取出的個球中恰有個紅球的概率為；（2）由題意知隨機變量的可能取值為、、、，，，，.所以，隨機變量的分布列如下表所示：因此，隨機變量的數(shù)學期望為.7．某單位組織知識競賽，選手從6道備選題中隨機抽取3道題.規(guī)定至少答對其中的2道題才能晉級.甲選手只能答對其中的4道題．(1)求甲選手能晉級的概率；(2)若乙選手每題能答對的概率都是，且每題答對與否互不影響，用數(shù)學期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平．【答案】（1）；（2）乙選手比甲選手的答題水平高【解析】解法一：（1）記“甲選手答對道題”為事件，，“甲選手能晉級”為事件，則．；（2）設(shè)乙選手答對的題目數(shù)量為，則，故，設(shè)甲選手答對的數(shù)量為，則的可能取值為，，，，故隨機變量的分布列為所以，，則，所以，乙選手比甲選手的答題水平高；解法二：（1）記“甲選手能晉級”為事件，則；（2）同解法二．8．某大學在一次公益活動中聘用了10名志愿者，他們分別來