簡(jiǎn)明工程力學(xué) 課件 第2章 平面力系

工程力學(xué)第二章平面力系平面力系：各力的作用線處于同一平面內(nèi)的力系。平面匯交力系：各力的作用線處于同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。§2.1

平面匯交力系1.平面匯交力系合成與平衡的幾何法AF1FRF2AF1FRF2F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeFR1FR2力多邊形法則F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形。用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則。力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的封閉邊。結(jié)論：平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和(幾何和)，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。用矢量式表示為：如果一力與某一力系等效，則此力稱為該力系的合力。

在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的終點(diǎn)與第一力的起點(diǎn)重合，此時(shí)的力多邊形稱為封閉的力多邊形。于是，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉，這是平衡的幾何條件。平面匯交力系平衡的幾何條件

平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示為：例2-1已知壓路機(jī)碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉過h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。①選碾子為研究對(duì)象②取分離體畫受力圖解：∵當(dāng)碾子剛離地面時(shí)FNA=0,拉力F最大,這時(shí)拉力F和自重及支反力FB構(gòu)成一平衡力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于23.1kN。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。F=11.5kN,FB=23.1kN所以又由幾何關(guān)系：2.平面匯交力系合成與平衡的解析法力在坐標(biāo)軸上的投影FxyFxFyabO力的正交分解與力的解析表達(dá)式FFxFyxyijO合力投影定理

平面匯交力系的合力在某軸上的投影，等于力系中各個(gè)分力在同一軸上投影的代數(shù)和。平面匯交力系合成的解析法合力的大小：方向:

作用點(diǎn):力的匯交點(diǎn)平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。上式稱為平面匯交力系的平衡方程。平面匯交力系平衡條件：由得例2-2已知P=2kN，求FCD,FA解:1)取AB桿為研究對(duì)象2)畫AB的受力圖3)列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：4)解方程§2.2力矩和平面力偶理論MO(F)OhrFAB1.力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）力F與點(diǎn)O位于同一平面內(nèi)，點(diǎn)O稱為矩心，點(diǎn)O到力的作用線的垂直距離h稱為力臂。

力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)可按下法確定：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。力矩的單位常用N·m或kN·m。2.合力矩定理與力矩的解析表達(dá)式平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。1）合力矩定理即

FFxFyxyOqxyA2）力矩的解析表達(dá)式例2-3求：解：由合力矩定理得已知：q,l；合力及合力作用線位置。取微元如圖3.平面力偶與力偶矩

由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，記為(F,F')。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面。

力偶不能合成為一個(gè)力，也不能用一個(gè)力來平衡。力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。1）力偶d

力偶是由兩個(gè)力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩來度量。平面力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)由以下兩個(gè)因素決定：

(1)力偶矩的大?。?/p>

(2)力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。2）力偶矩

平面力偶可視為代數(shù)量，以M或M(F,F')表示:

平面力偶矩是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之則為負(fù)。力偶的單位與力矩相同。4.平面力偶的等效定理定理：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。推論：任一力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，而不改變它對(duì)剛體的作用。因此，力偶對(duì)剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無關(guān)。只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變力偶對(duì)剛體的作用。力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度常用如圖所示的符號(hào)表示力偶，M為力偶的矩力偶與力偶矩的性質(zhì)1)力偶在任意坐標(biāo)軸上的投影等于零。力矩的符號(hào)2)力偶對(duì)任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。力偶矩的符號(hào)M3)只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，且可以同時(shí)改變力的大小與力臂的長(zhǎng)短，而對(duì)剛體的作用效果不變。==4)力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡。==M1(F1,F'1)，M2(F2,F'2)

在同平面內(nèi)的任意個(gè)力偶可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的代數(shù)和。5.平面力偶系的合成和平衡條件已知任選一段距離d,使得所謂力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即思考題1剛體上A、B、C、D四點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形，如在其四個(gè)頂點(diǎn)作用有四個(gè)力，此四力沿四個(gè)邊恰好組成封閉的力多邊形，如圖所示。此剛體是否平衡？F1F3BACDF2F4思考題2從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？PORMFO例2-4不計(jì)自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為M1與M2的力偶作用，轉(zhuǎn)向如圖。問M1與M2的比值為多大，結(jié)構(gòu)才能平衡?60o60oABCDM1M2解:取桿AB為研究對(duì)象畫受力圖。

桿AB只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束，則A處約束力的方位可定。ABCM1FAFC

Mi=0FA=FC=F,AC=aFa-M1=0M1=Fa(1)60o60oABCDM1M2取桿CD為研究對(duì)象。因C點(diǎn)約束方位已定,則D點(diǎn)約束力方位亦可確定，畫受力圖。60o60oDM2BCAFDFC

FD=FC

Mi=0-0.5Fa+M2=0M2=0.5Fa(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:M1/M2=260o60oABCDM1M2例2-5圖示導(dǎo)軌式汽車提升機(jī)構(gòu)，已知提升的汽車為P=20kN，求：導(dǎo)軌對(duì)A、B輪的約束力。解:

Mi=0；FA·400–P·60=0；

得：FA=3kN，F(xiàn)B=FA。PFFBFAP60cm400cmFAB力偶僅能被力偶平衡例2-6圖示結(jié)構(gòu)，已知M=800N·m，求A、C兩點(diǎn)的約束力?！?.3

平面任意力系的簡(jiǎn)化1.力線平移定理

可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力F平行移到任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。ABMABF′F′F″FABF＝＝AB①力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力+力偶②力平移的條件是附加一個(gè)力偶M，且M=F·d

③力線平移定理是力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)。說明：力線平移定理的逆定理(一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力):將力矢量逆著力偶轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)90°，量取

，即得到該力的作用線。ABMF′F＝dOxyijOOxyF1F2FnF1′F2′Fn′MnM2M1MOFR′2.平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，主矢與主矩平面匯交力系

力，F(xiàn)R′

(主矢，作用在簡(jiǎn)化中心)平面力偶系

力偶，MO(主矩，作用在該平面上)平面任意力系平面匯交力系+平面力偶系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化其中平面匯交力系的合力為平面力偶系的合成結(jié)果為1)平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化·主矢與主矩

平面任意力系中各力的矢量和稱為平面任意力系的主矢。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。2)主矢與主矩

原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。一般來說，主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于該力系的主矢，作用線通過簡(jiǎn)化中心O

。這個(gè)力偶的矩等于該力系對(duì)于點(diǎn)O的主矩。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)，主矩和簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。3.平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果分析四種情況：(1)F′R=0，MO≠0;(2)F′R

≠0，MO=0;(3)F′R≠0，MO≠0;(4)F′R=0，MO=0(1)平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶

平面力系合成為合力偶。合力偶矩M等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。

F′R=0，MO≠0

如果主矩等于零，主矢不等于零，則平面力系簡(jiǎn)化為一合力，作用線恰好通過簡(jiǎn)化中心。(2)

平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力

F′R≠0，MO=0如果主矢和主矩均不等于零，此時(shí)還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一合力。如圖OO′FR′dFR″FRFRMOFR′OO′dOO′(3)平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力

F′R≠0，MO≠0如果主矢和主矩均等于零，此時(shí)平面任意力系平衡。(4)

平面任意力系平衡

F’R=0，MO=0主矢主矩最后結(jié)果說明合力合力合力作用線過簡(jiǎn)化中心合力偶平衡與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)合力作用線距簡(jiǎn)化中心結(jié)論：平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。這就是平面任意力系的合力矩定理。FRdOO′從圖中可以看出所以由主矩的定義知：AAA

一物體的一端完全固定在另一物體上所構(gòu)成的約束稱為固定端或插入端支座。4.平面固定端約束AMAFAyFAxFAMA簡(jiǎn)化中心：A點(diǎn)主矢思考：三角形分布載荷處理？主矩簡(jiǎn)化最終結(jié)果yxMAdxl

分布在較大范圍內(nèi)，不能看作集中力的荷載稱分布荷載。若分布荷載可以簡(jiǎn)化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線荷載，簡(jiǎn)稱線荷載。5.平行分布線荷載的簡(jiǎn)化結(jié)論：1)合力的大小等于線荷載所組成幾何圖形的面積;2)合力的方向與線荷載的方向相同;3)合力的作用線通過荷載圖的形心。1)均布荷載2)三角形荷載3)梯形荷載l/2l/2qQQqq2q1可以看作一個(gè)三角形荷載和一個(gè)均布荷載的疊加?！?.4

平面任意力系的平衡條件和平衡方程1.平衡條件平面任意力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即：由于可得平面任意力系的平衡方程(1)一般式2.平衡方程平面任意力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在其作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，所有各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。(2)二矩式其中AB連線不垂直于投影軸x。平衡過A點(diǎn)的合力合力為0(平衡)合力沿AB連線合力為0(平衡)合力垂直x軸力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶或或或(3)三矩式其中A、B、C三點(diǎn)不共線。平衡過A點(diǎn)的合力合力為0(平衡)合力沿AB連線合力為0(平衡)合力沿ABC連線力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶或或或平面任意力系的平衡方程(1)一般式(2)二矩式(3)三矩式注意：

以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，只能求出三個(gè)未知數(shù)；投影軸應(yīng)選在與盡可能多的未知力垂直的方向上；矩心應(yīng)選在盡可能多的未知力的交點(diǎn)上。解：以剛架為研究對(duì)象，受力如圖。解之得：例2-7求圖示剛架的約束力。APqFAyFAxMAAPabq例2-8求圖示梁的支座反力。解：以梁為研究對(duì)象，受力如圖。解之得：ABCPqmFBFAyFAxABCPabqm例2-9懸臂吊車如圖所示。橫梁AB長(zhǎng)l=2.5m，重量P=1.2kN，拉桿CB的傾角a＝30°，質(zhì)量不計(jì)，載荷Q=7.5kN。求圖示位置a

=2m時(shí)拉桿的拉力和鉸鏈A的約束力。解：取橫梁AB為研究對(duì)象。ABEHPQFTFAyFAxaa從(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出

支架的橫梁AB與斜桿DC彼此以鉸鏈C連接，并各以鉸鏈A，D連接于鉛直墻上。如圖所示。已知桿AC=CB；桿DC與水平線成45°；載荷F=10kN，作用于B處。設(shè)梁和桿的重量忽略不計(jì)，求鉸鏈A的約束力和桿DC所受的力。ABDCF例2-10

1）取AB桿為研究對(duì)象，受力分析如圖。ABDCFFFCFAyFAxllABC2）列平衡方程。解：3）求解平衡方程可得若將力FAx和FAy合成，得FFCFAyFAxllABC

外伸梁的尺寸及載荷如圖所示，F(xiàn)1=2kN，F(xiàn)2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m。試求鉸支座A及支座B的約束力。F1ABl2l1llF2M例2-111)取梁為研究對(duì)象，受力分析如圖。3)解方程。FAxABxyFAyF1FByF2M解：2)列平衡方程。F1ABl2l1llF2M

三鉸拱橋如圖所示，左右兩段由鉸鏈C連接，又用鉸鏈A，B與基礎(chǔ)相連接。已知每段重G=40kN，重心分別在D，E處，且橋面受一集中載荷F=10kN。設(shè)各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時(shí)，各鉸鏈中的力。ABCDEGF3mG1m6m6m6m例2-12AC1)取AC段為研究對(duì)象。解：2)受力分析如圖。DFCxGFAxFAyFCyABCDEGF3mG1m6m6m6m3)列平衡方程。4)再取BC段為研究對(duì)象，受力分析如圖。ACDFCxGFAxFAyFCyGF′CxFBxFByCEBFF′Cy6)聯(lián)立求解。

FAx=-FBx=FCx=9.2kN

FAy=42.5kN，F(xiàn)By=47.5kN，F(xiàn)Cy=2.5kN5)列平衡方程。GF′CxFBxFByCEBPF′CyF

自重為G=100kN的T字形剛架ABD，置于鉛垂面內(nèi)，載荷如圖所示，其中M=20kN·m，F(xiàn)=400kN，q=20kN/m，l=1m。試求固定端A的約束力。ADl

l3lqBMFG例2-131)取T字形剛架為研究對(duì)象，受力分析如圖。ADBllF1FAxFAyMAlMFGyx解：ADl

l3lqBMFG2)按圖示坐標(biāo)，列寫平衡方程。3)聯(lián)立求解。ADBllF1FAxFAyMAlMFGyx

由若干個(gè)物體通過約束所組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱物系。外界物體作用于系統(tǒng)的力稱該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的力稱該系統(tǒng)的內(nèi)力。

當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個(gè)物體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。

因此，當(dāng)研究物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，研究對(duì)象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個(gè)物體?！?.5物系的平衡

在靜力學(xué)中,求解物體系統(tǒng)的平衡問題時(shí)，若未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則由剛體靜力學(xué)理論，可把全部未知量求出，這類問題稱為靜定問題。若未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學(xué)理論無法求出，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題?？偽粗繑?shù)與總獨(dú)立平衡方程數(shù)之差稱為超靜定次數(shù)。

超靜定問題在強(qiáng)度力學(xué)（材力,結(jié)力,彈力）中用位移協(xié)調(diào)條件來求解。靜定（未知數(shù)三個(gè)）