(新課標(biāo))2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-第九章-平面解析幾何-直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-理(含2024試題)

PAGE【科學(xué)備考】〔新課標(biāo)〕2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系理〔含2024試題〕理數(shù)1.(2024福建,6,5分)直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),那么“k=1”是“△OAB的面積為〞的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件[答案]1.A[解析]1.當(dāng)k=1時(shí),l:y=x+1,由題意不妨令A(yù)(-1,0),B(0,1),那么S△AOB=×1×1=,所以充分性成立;當(dāng)k=-1時(shí),l:y=-x+1,也有S△AOB=,所以必要性不成立.2.(2024江西,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),假設(shè)以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,那么圓C面積的最小值為()A.πB.πC.(6-2)πD.π[答案]2.A[解析]2.由題意得以AB為直徑的圓C過(guò)原點(diǎn)O,圓心C為AB的中點(diǎn),設(shè)D為切點(diǎn),要使圓C的面積最小,只需圓的半徑最短,也只需OC+CD最小,其最小值為OE(過(guò)原點(diǎn)O作直線2x+y-4=0的垂線,垂足為E)的長(zhǎng)度.由點(diǎn)到直線的距離公式得OE=.∴圓C面積的最小值為π=π.應(yīng)選A.3.(2024天津薊縣第二中學(xué)高三第一次模擬考試，6)過(guò)點(diǎn)〔－4，0〕作直線L與圓x2+y2+2x－4y－20=0交于A、B兩點(diǎn)，如果|AB|=8，那么L的方程為(

)

A.5x+12y+20=0

B.5x-12y+20=0C.5x-12y+20=0或x+4=0

D.5x+12y+20=0或x+4=0[答案]3.

D[解析]3.

圓x2+y2+2x－4y－20=0的圓心為〔－1,2〕，半徑為5，當(dāng)|AB|=8時(shí)，可得圓心到直線L的距離為3.顯然直線L的斜率不存在時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線方程為x+4=0；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線L的方程為，由題意可得，解得此時(shí)直線方程為5x+12y+20=0，綜上可得答案為D.4.(2024天津薊縣邦均中學(xué)高三第一次模擬考試，7)過(guò)點(diǎn)〔)作直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，如果,那么直線的方程為〔

〕(A)(B)(C)或(D)或[答案]4.

C[解析]4.

因?yàn)閳A的圓心為〔1,2〕，半徑為5.當(dāng)弦AB的長(zhǎng)為8時(shí)，可得圓心到直線的距離為3，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由題意得，解得k=0或，所以所求直線的方程為或.5.(2024貴州貴陽(yáng)高三適應(yīng)性監(jiān)測(cè)考試,12)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，,過(guò)左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，直線交雙曲線右支于點(diǎn).假設(shè)，那么雙曲線的離心率是〔

〕[答案]5.C[解析]5.由可知，且是的中點(diǎn)，所以，從而，在中，，故.6.(2024貴州貴陽(yáng)高三適應(yīng)性監(jiān)測(cè)考試,10)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線:的焦點(diǎn)為，是拋物線上的點(diǎn)，假設(shè)的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓面積，那么〔

〕A.2B.4

C.6D.8[答案]6.B[解析]6.因?yàn)榈闹写咕€過(guò)外接圓圓心，所以此直線與準(zhǔn)線的距離即為外接圓半徑，故=，故.7.(2024廣東廣州高三調(diào)研測(cè)試，7)假設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離依次為1和2，那么這樣的直線有〔

〕A.1條B.2條

C.3條D.4條[答案]7.C

[解析]7.

由可轉(zhuǎn)化為圓的切線問(wèn)題。以為圓心，1為半徑作圓；以為圓心，2為半徑作圓，顯然這兩圓外切，那么這兩個(gè)圓的外公切線有2條，內(nèi)公切線有1條；從而滿足條件的直線有3條.8.(2024黑龍江哈爾濱第三中學(xué)第一次高考模擬考試，7)直線截圓所得劣弧所對(duì)圓心角為〔

〕A.

B.

C.D.[答案]8.

C[解析]8.

如圖，設(shè)直線與圓交于、，于，所以，因?yàn)閳A心到直線的距離，圓的半徑為2，所以，即，所以.9.〔2024江西重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔理〕試題，10〕給定圓:及拋物線：過(guò)圓心作直線,此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn),自上而下順次記為如果線段的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,那么直線的斜率為〔

〕A．

B．

C．D．[答案]9.

C[解析]9.

圓P的圓心P〔1,0〕，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,0〕.由圓P與拋物線的位置關(guān)系可得，點(diǎn)A和點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)B和點(diǎn)C在圓上，因?yàn)橹本€l過(guò)圓心，可得BC=2，又因?yàn)榈拈L(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列可得，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知，可得.顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，解得.10.〔2024吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三年級(jí)第一次模擬，9〕假設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是，點(diǎn)M〔4，4〕是拋物線上一點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、M且與相切的圓共有〔

〕A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．4個(gè)[答案]10.

C[解析]10.

焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔1,0〕，準(zhǔn)線為x=－1，由圓與相切可設(shè)圓的方程為:，那么由題意可得①、②兩式聯(lián)立得，代入到①中消b得關(guān)于a的一元二次方程，此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由此可得此圓共有2個(gè).11.(2024廣西桂林中學(xué)高三2月月考，3)假設(shè)直線始終平分圓的周長(zhǎng)，那么的取值范圍是〔

〕(A)(B)(C)(D)[答案]11.

D[解析]11.

由配方得，所以圓心坐標(biāo)為，假設(shè)直線始終平分圓的周長(zhǎng)，那么直線必過(guò)點(diǎn)，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即是取等號(hào).故的取值范圍是是.12.(2024廣州高三調(diào)研測(cè)試,7)假設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離依次為1和2，那么這樣的直線有〔

〕A．1條B．2條C．3條D．4條[答案]12.

C[解析]12.

依題意作圖，滿足條件的直線有3條.13.(2024湖北黃岡高三期末考試)命題，使；命題直線與圓相切.那么以下命題中真命題為〔

〕A.

B.

C.

D.

[答案]13.

A[解析]13.

命題的真假判斷.對(duì)命題，當(dāng)時(shí)，成立，那么命題為真；又圓心到直線的距離為圓的半徑，那么命題真，故為真.14.(2024大綱全國(guó),15,5分)直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線.假設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為(1,3),那么l1與l2的夾角的正切值等于________.[答案]14.[解析]14.依題意設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,3)且與圓x2+y2=2相切的直線方程為y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0.由直線與圓相切得=,即k2+6k-7=0.解得k1=-7,k2=1,設(shè)切線l1,l2的傾斜角分別為θ1,θ2,不妨設(shè)tanθ1<0,那么tanθ1=-7,tanθ2=1,從而tan(θ1-θ2)==.15.(2024重慶,13,5分)直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,那么實(shí)數(shù)a=________.[答案]15.4±[解析]15.易知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,故圓心C(1,a)到直線AB的距離為,即=,解得a=4±.經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意,那么a=4±.16.(2024湖北,12,5分)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧,那么a2+b2=________.[答案]16.2[解析]16.由題意知直線l1和l2與單位圓C所在的位置如圖.因此或故a2+b2=1+1=2.17.(2024江蘇,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______.[答案]17.[解析]17.易知圓心(2,-1),r=2,故圓心到直線的距離d==,∴弦長(zhǎng)為2=2=.18.(2024山東,15,5分)函數(shù)y=f(x)(x∈R),對(duì)函數(shù)y=g(x)(x∈I),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)〞為函數(shù)y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對(duì)任意x∈I,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對(duì)稱.假設(shè)h(x)是g(x)=關(guān)于f(x)=3x+b的“對(duì)稱函數(shù)〞,且h(x)>g(x)恒成立,那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.[答案]18.(2,+∞)[解析]18.函數(shù)g(x)=的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓在x軸上及其上方的局部.由題意可知,對(duì)任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0,f(x0))是點(diǎn)(x0,h(x0))和點(diǎn)(x0,g(x0))的中點(diǎn),又h(x)>g(x)恒成立,所以直線f(x)=3x+b與半圓g(x)=相離且b>0.即解之得b>2.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(2,+∞).19.(2024山西太原高三模擬考試〔一〕，14)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓的切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是

.[答案]19.

[解析]19.

圓C的圓心為〔1,1〕，半徑為1，圓心C到直線的距離為.四邊形PACB的面積等于△CAP的面積的二倍，其值為，欲使其值最小只需使PC的長(zhǎng)度最小即可，結(jié)合圓的性質(zhì)可得PC的長(zhǎng)度的最小值為即為圓心C到直線的距離，所以四邊形PACB的面積的最小值為.20.(2024山東青島高三第一次模擬考試,12)圓的圓心到直線的距離_________________.[答案]20.

3[解析]20.

因?yàn)?，所以，即圓心為，所以.21.(2024福州高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè),13)假設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn),那么的值為

.[答案]21.

0[解析]21.因?yàn)閳A心到直線的距離為，圓的半徑為2，所以弦長(zhǎng)，所以是直角三角形，且，所以.22.(2024北京東城高三第二學(xué)期教學(xué)檢測(cè)，12)圓的方程為,設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，那么四邊形的面積為_(kāi)______________.[答案]22.[解析]22.

圓的方程可化為，故圓心為，半徑為.由題意知，且為圓的直徑長(zhǎng)為，最短弦的中點(diǎn)為，由勾股定理可算出.故.23.(2024重慶七校聯(lián)盟,11)圓的方程為，直線的方程為，假設(shè)圓與直線相切，那么實(shí)數(shù)

.[答案]23.

或[解析]23.

圓與直線相切，，解得或.24.(2024天津七校高三聯(lián)考,9)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_________[答案]24.

4[解析]24.

由得，圓系的坐標(biāo)為，半徑為，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.25.(2024福建,21(2),7分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求直線l和圓C的普通方程;(Ⅱ)假設(shè)直線l與圓C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[答案]25.查看解析[解析]25.(Ⅰ)直線l的普通方程為2x-y-2a=0,圓C的普通方程為x2+y2=16.(Ⅱ)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn),故圓C的圓心到直線l的距離d=≤4,解得-2≤a≤2.26.(2024江蘇,18,16分)如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸),tan∠BCO=.(1)求新橋BC的長(zhǎng);(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?[答案]26.查看解析[解析]26.(1)解法一:如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.由條件知A(0,60),C(170,0),直線BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-.因?yàn)锳B⊥BC,所以直線AB的斜率kAB=.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),那么kBC==-,kAB==.解得a=80,b=120.所以BC==150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm(0≤d≤60).由條件知,直線BC的方程為y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圓M與直線BC相切,故點(diǎn)M(0,d)到直線BC的距離是r,即r==.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m,所以即解得10≤d≤35.故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大.所以當(dāng)OM=10m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.解法二:如圖,延長(zhǎng)OA,CB交于點(diǎn)F.因?yàn)閠an∠FCO=,所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.因?yàn)镺A=60,OC=170,所以O(shè)F=OCtan∠FCO=,CF==,從而AF=OF-OA=.因?yàn)镺A⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.又因?yàn)锳B⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,從而B(niǎo)C=CF-BF=150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D,連結(jié)MD,那么MD⊥BC,且MD是圓M的半徑,并設(shè)MD=rm,OM=dm(0≤d≤60).因?yàn)镺A⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO====,所以r=.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m,所以即解得10≤d≤35.故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大.所以當(dāng)OM=10m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.27.(2024天津,18,13分)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求橢圓的離心率;(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與該圓相切.求直線l的斜率.[答案]27.查看解析[解析]27.(Ⅰ)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,那么=.所以橢圓的離心率e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為+=1.設(shè)P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn),故x0=-c,代入①得y0=,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為T(mén)(x1,y1),那么x1==-c,y1==c,進(jìn)而圓的半徑r==c.設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx.由l與圓相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以直線l的斜率為4+或4-.28.(2024北京,19,14分)橢圓C:x2+2y2=4.(Ⅰ)求橢圓C的離心率;(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn).假設(shè)點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線y=2上,且OA⊥OB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.[答案]28.查看解析[解析]28.(Ⅰ)由題意知,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故橢圓C的離心率e==.(Ⅱ)直線AB與圓x2+y2=2相切.證明如下:設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因?yàn)镺A⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.當(dāng)x0=t時(shí),y0=-,代入橢圓C的方程,得t=±,故直線AB的方程為x=±.圓心O到直線AB的距離d=.此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切.當(dāng)x0≠t時(shí),直線AB的方程為y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圓心O到直線AB的距離d=.又+2=4,t=-,故d