北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高頻考點(diǎn)專題突破 專題01 相交線與平行線 教材同步講練-【高頻考點(diǎn)】（原卷版+解析）

專題01相交線與平行線教材同步講練知識(shí)點(diǎn)1-1余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念和性質(zhì)1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；2）補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補(bǔ)角．3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等．4）鄰補(bǔ)角的概念：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。（兩條相交線可組成4對(duì)鄰補(bǔ)角）5）對(duì)頂角的概念：兩個(gè)角只有一個(gè)公共頂點(diǎn)，一個(gè)角的兩條邊是另一個(gè)角兩條邊的反向延長(zhǎng)線。（兩條相交線組成2對(duì)對(duì)頂角）6）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等（利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可證明）例1．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖中，∠1和∠2是對(duì)頂角的是（）A．B．C．D．變式1．（2021·廣東揭陽市·七年級(jí)期中）下面各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A．B．C．D．變式2．（2021·成都·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量的角是____度，你的根據(jù)是____________．例2．（2021·山東臨沂市·七年級(jí)期末）已知，，則與的關(guān)系為（）A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．以上都不對(duì)5．（2021·浙江寧波市·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在直線上，，那么下列說法錯(cuò)誤的是（）A．與相等B．與互余C．與互補(bǔ)D．與互余例2．（2021·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，若∠BOD：∠BOE=1：2，則∠AOE的大小為（）A．72°B．98°C．100°D．108°變式3．（2021·安徽合肥市·七年級(jí)期末）如果和互余，則下列式子中表示補(bǔ)角是（）①180°－；②＋2；③2＋；④＋90°A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④例3．（2021·北京海淀區(qū)·北大附中七年級(jí)期末）將一副三角板按如圖所示位置擺放，其中與一定互補(bǔ)的是（）A．B．C． D．變式4．（2021·湖北隨州市·七年級(jí)期末）如圖，直線，交于點(diǎn)，射線平分，如果，那么等于（）A．38° B．37° C．36° D．52°變式5.（2021·浙江嘉興市·七年級(jí)期末）將一把直尺和一塊三角板如圖疊放，直尺的一邊剛好經(jīng)過直角三角板的直角頂點(diǎn)且與斜邊相交，則與一定滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A． B． C． D．例4．（2021·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作射線OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度數(shù)．變式6．（2021·浙江溫州市·七年級(jí)期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，射線OE在內(nèi)部，OA平分．（1）當(dāng)時(shí)，寫出圖中所有與互補(bǔ)的角．（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．知識(shí)點(diǎn)1-2垂線的概念和性質(zhì)1）垂線的概念：當(dāng)兩條直線相交所形成的四個(gè)角中，有一個(gè)角為直角時(shí)，就稱這兩條直線相互垂直。（實(shí)際上，四個(gè)角都為直角）2）如下圖，兩條垂線的交點(diǎn)M叫作“垂足”，兩條直線用“⊥”符號(hào)表示，讀作“垂直”，表示為：AB⊥CD，讀作：AB垂直于CD3）垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)（直線內(nèi)或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直注：（1）垂線的性質(zhì)中，有2點(diǎn)需要格外：=1\*GB3①必須強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi)；=2\*GB3②點(diǎn)可在直線外，也可在直線上。（2）同一平面內(nèi)，兩條直線只有相交和平行兩種關(guān)系，其中垂直是特殊的相交。4）垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短（簡(jiǎn)稱為：垂線段最短）5）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度例1．（2021·河南鄭州·七年級(jí)期末）小紅在學(xué)習(xí)垂線時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題，請(qǐng)你幫她解決：如圖，線段AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列條件中能說明AB⊥CD的是（）A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC變式1．（2021·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下面四種判斷兩條直線垂直的方法正確的有（）個(gè)．（1）兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直．（2）兩條直線相交，有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線互相垂直．（3）兩條直線相交，所成的四個(gè)角相等，這兩條直線互相垂直．（4）兩條直線相交，有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，則這兩條直線互相垂直．A．4 B．3 C．2 D．1變式2．（2021·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，下列條件中能判定兩條直線垂直的是（）．A．有兩個(gè)角相等 B．有兩對(duì)角相等 C．有三個(gè)角相等 D．有四對(duì)鄰補(bǔ)角例2．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且A、B和C、D分別位于點(diǎn)O兩側(cè)，OE⊥AB，，則____________．變式3．（2021·安徽·銅陵市第十五中學(xué)七年級(jí)期中）如果兩個(gè)角的兩邊分別垂直，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，那么這兩個(gè)角的和是__________．例3．（2021·遼寧·營(yíng)口市老邊區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期中）平面內(nèi)兩條直線、相交于點(diǎn)，，恰好平分．（1）如圖1，若，求數(shù)；（2）在圖1中，若，請(qǐng)求出的度數(shù)（用含有的式子表示），并寫出和的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，當(dāng)，在直線的同側(cè)時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．變式4．（2021·江蘇盱眙·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC．OD是兩條射線，OC⊥OD，射線OE平分∠BOC．（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度數(shù)．（2）若∠DOE＝α，則∠AOC＝.（請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示）；變式5．（2021·浙江湖州市·七年級(jí)期末）如圖，已知直線與相交于點(diǎn)為的角平分線．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．例4．（2021·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）幾何知識(shí)可以解決生活中許多距離最短的問題.讓我們從書本一道習(xí)題入手進(jìn)行探索（回顧）（1）如圖①，、是公路兩側(cè)的兩個(gè)村莊.現(xiàn)要在公路上修建一個(gè)垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)的位置，并說明理由（探索）（2）如圖②，在村莊附件有一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，現(xiàn)要在公路上修建一個(gè)垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，從村莊到公路不能穿過生態(tài)保護(hù)區(qū)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)的位置（3）如圖③，、是河兩側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河上修建一座橋，使得橋與河岸垂直，且村到村的總路程最短，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出橋的位置（保留畫圖痕跡）變式6．（2021·浙江湖州市·七年級(jí)期末）如圖，汽車站、碼頭分別位于兩點(diǎn)，直線b和波浪線分別表示公路與河流．（1）從汽車站A到碼頭B怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由；（2）從碼頭B到公路b怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由．（溫馨提示：請(qǐng)畫在答題卷相對(duì)應(yīng)的圖上）變式7．（2021·浙江寧波市·七年級(jí)期末）（1）如圖，過點(diǎn)A畫直線BC的垂線，并注明垂足為G；過點(diǎn)A畫直線AB的垂線，交BC于點(diǎn)H．（2）線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到直線BC的距離．（3）線段AG、AH的大小關(guān)系為AGAH．（用符號(hào)>，<，=，表示）．理由是．知識(shí)點(diǎn)1-3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念1）同位角概念：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對(duì)角。注：如下圖，位置相同指：=1\*GB3①兩個(gè)角都在第三條直線c的同一側(cè)；=2\*GB3②且兩個(gè)角都在兩條直線a、b的上方（或下方）。例：∠1與∠5都在c的右側(cè)，且都在a、b的上方，則∠1與∠5為同位角2）內(nèi)錯(cuò)角的概念：兩直線被第三條直線所截，在兩條直線之內(nèi)，并且分別在第三條直線兩側(cè)的一對(duì)角（位置完全錯(cuò)開的角）注：如下圖，位置完全錯(cuò)開指：=1\*GB3①兩個(gè)角在第三條直線c的不同側(cè)；=2\*GB3②且兩個(gè)角在兩條直線a、b的上下不同位置（即都在兩條直線的內(nèi)側(cè)）。例：∠2與∠8分別在c的左右兩側(cè)，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b內(nèi)側(cè)），則∠2與∠8為內(nèi)錯(cuò)角3）同旁內(nèi)角：兩直線被第三條直線所截，在第三條直線同側(cè)，并且在兩條直線之內(nèi)的一對(duì)角。注：如下圖，同旁內(nèi)角指：=1\*GB3①兩個(gè)角在第三條直線c的同一側(cè)；=2\*GB3②且兩個(gè)角在a、b兩條直線的內(nèi)側(cè)例：∠2與∠5，兩個(gè)角都在直線c的右側(cè)，且都在a、b兩條直線的內(nèi)側(cè)，則∠2與∠5為同旁內(nèi)角。注：同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角是3條直線直角的位置關(guān)系，且無角度間大小關(guān)系。例1．（2021·廣西欽州·七年級(jí)期末）如圖，下列各組角中是同位角的是（）A．∠1和∠2 B．∠3和∠4 C．∠2和∠4 D．∠1和∠4變式1．（2021·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）下列四幅圖中，∠1和∠2是同位角的是（）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）例2．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，直線AB與CD被直線AC所截得的內(nèi)錯(cuò)角是___．變式2．（2021·遼寧沈河·七年級(jí)期末）下列四個(gè)圖形中，和是內(nèi)錯(cuò)角的是（）A． B．C．D．例3．（2021·浙江嘉興·七年級(jí)期末）如圖，直線a，b被直線c所截，∠1的同旁內(nèi)角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5變式3．（2021·江蘇·七年級(jí)期中）如圖所示，直線a,b被直線c所截，則與是（）A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁內(nèi)角 D．對(duì)頂角例4.（2021·鹽城市·七年級(jí)月考）如圖，下列說法正確的是（）A．∠2和∠4是同位角B．∠2和∠4是內(nèi)錯(cuò)角C．∠1和∠A是內(nèi)錯(cuò)角D．∠3和∠4是同旁內(nèi)角變式4．（2021·四川渠縣·七年級(jí)期末）如圖，下列結(jié)論：①∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角；②∠1與∠A是同位角；③∠A與∠B是同旁內(nèi)角；④∠B與∠ACB不是同旁內(nèi)角，其中正確的是______．（只填序號(hào)）例5.（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)七年級(jí)期中）如圖所示，用數(shù)字表示的8個(gè)角中，若同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁內(nèi)角有c對(duì)，則ab﹣c＝___．變式5．（2020·南通市啟秀中學(xué)七年級(jí)期末）復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題我們常會(huì)把它分解為基本問題來研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零這是一種常見的數(shù)學(xué)解題思想．（1）如圖1，直線，被直線所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了______對(duì)同旁內(nèi)角．（2）如圖2，平面內(nèi)三條直線，，兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，圖中一共有______對(duì)同旁內(nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多可以形成______對(duì)同旁內(nèi)角．（4）平面內(nèi)條直線兩兩相交，最多可以形成______對(duì)同旁內(nèi)角．知識(shí)點(diǎn)1-4平行線的概念1）同一平面兩條直線間的關(guān)系：=1\*GB3①平行；=2\*GB3②相交2）平行線概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線注：=1\*GB3①平行的概念，必須加前提條件“在同一平面內(nèi)”；=2\*GB3②必須是兩條直線間的關(guān)系（非“射線”、“線段”）3）平行公理：經(jīng)過線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與這條直線平行注：與垂線性質(zhì)比較相似，但也存在不同的地方。相同點(diǎn)：過一點(diǎn)都有且僅能作一條線與已知直線平行（垂直）；不同點(diǎn)：垂直性質(zhì)中，這個(gè)點(diǎn)可以在直線外，也可以在直線上，但在平行公理中，這個(gè)點(diǎn)必須在直線外。例1．（2021·河北滄縣·七年級(jí)期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行變式1．（2021·陜西寶雞期末）下列說法中正確的個(gè)數(shù)為（）①不相交的兩條直線叫做平行線；②平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③平行于同一條直線的兩條直線互相平行；④在同一平面內(nèi)，兩條直線不是平行就是相交．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2．（2021·河北平泉·一模）如圖，在平面內(nèi)作已知直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條變式2．（2021·河北興隆·九年級(jí)期中）已知直線，在同一平面內(nèi)，給定一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．0條或1條 D．無數(shù)條例3．（2021·牡丹江市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一期中）給出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個(gè)變式3．（2021·遼寧·初一期中）若直線，，則直線與的位置關(guān)系是__________．變式4．（2021·云南鎮(zhèn)康·初一期中）已知：如圖，梯形ABCD．（1）過點(diǎn)A畫直線AE∥CD交BC于E；（2）過點(diǎn)A畫線段AF⊥BC于F；比較線段AE與AF的大小：AEAF（直接用“＞”“＝”或“＜”填空）．知識(shí)點(diǎn)1-5平行線的判定1）判定方法一：同位角相等，兩直線平行2）判定方法二：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行3）判定方法三：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行4）在同一平面內(nèi)，若兩條直線都垂直于同一條直線，則這兩條直線平行。即：若a⊥c，且b⊥c，則a∥b5）平行線的傳遞性：若l1∥l3，l2∥l3，則l1∥l2（用共面知識(shí)可證明，此處不證）。例1．（2021·漢中市南鄭區(qū)初一期中）已知平面上五條直線，，，和相交的情形如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的角度，下列敘述正確的是()A．和不平行，和平行，和平行B．和不平行，和不平行，和不平行C．和平行，和平行，和平行D．和平行，和不平行，和不平行變式1．（2021·山西期末）如圖，點(diǎn)，，分別在的邊，，上，連接，，在下列給出的條件中，不能判定的是（）A．°B．C．D．例2．（2021·上海市市西初級(jí)中學(xué)初一期中）如圖，是我們學(xué)過的用直尺和三角板畫平行線的方法示意圖，畫圖的原理是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．同位角相等，兩直線平行C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行變式2．（2021·山西初一月考）工人師傅在工程施工時(shí)，在圖紙上畫了一條管道的示意圖（如圖所示），經(jīng)測(cè)量得到，，那么（）A． B． C． D．與相交例3．（2021·山西模擬）下列圖形中，根據(jù)，能得到的是（）A．B．C．D．變式3．（2021·洛陽市第四職業(yè)高中期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°變式4．（2021·沈陽市第一二七中學(xué)初一期中）如圖，下列條件：①；②；③；;⑤；其中能判斷直線的有（）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④變式5．（2020·江蘇徐州市·七年級(jí)期末）如圖，給出下列條件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B；④AD∥BE，且∠D=∠B．其中能說明AB∥DC的條件有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)知識(shí)點(diǎn)1-6平行線的性質(zhì)1）兩直線平行，同位角相等;2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)注：=1\*GB3①僅當(dāng)兩直線平行式，3類角才有數(shù)量關(guān)系；當(dāng)兩直線不平行是，3類角只有位置關(guān)系，沒有大小關(guān)系。=2\*GB3②3類角若有大小關(guān)系，也可用于證明兩條直線平行。4）同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段長(zhǎng)度，叫作這兩條平行線間的距離。注：a.只有平行線間才存在距離這一說法。（重疊，距離為0）；b.平行線間的距離，處處相等；c.垂直于一條直線，一定垂直于另一條平行線（易證）例1．（2021·山東濟(jì)南市·八年級(jí)期末）如圖，如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°變式1．（2021·山東濰坊市·八年級(jí)期末）一把直尺與30°的直角三角板如圖所示，，則（）A．50° B．60° C．70° D．80°例2．（2021·河北張家口·初三二模）如圖，直線，以直線上的點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直線、于點(diǎn)B、C，連接AC、若，則A． B． C． D．變式2．（2021·陜西初三其他）如圖，直尺一邊AB與量角器的零刻度線CD平行，若量角器的一條刻度線OF的讀數(shù)為70°，OF與AB交于點(diǎn)E，那么∠AEF＝（）A．70° B．110° C．20° D．120°例3．（2021·河北初三其他）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時(shí)，會(huì)發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，則∠2＝（）A．61° B．58° C．48° D．41°變式3．（2021·山西初一月考）小林乘車進(jìn)入車庫(kù)時(shí)仔細(xì)觀察了車庫(kù)門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當(dāng)車牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的段繞點(diǎn)緩慢向上旋轉(zhuǎn)，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即與始終平行），在該過程中始終等于（）A． B． C． D．例4．（2021·深圳市高級(jí)中學(xué)初二月考）已知：如圖，，則，，之間的關(guān)系是A．B．C．D．變式4．（2021·海安市白甸鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝()A．∠1＋∠2B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2D．180°－∠2＋∠1例5．（2020·四川郫都·期末）如圖，五邊形ABCDE中，AE∥BC，則∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）A．180° B．270° C．360° D．450°變式5．（2021·河南沁陽·初一期末）已知，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，若∠E=66°，則∠F為（）A．23° B．33° C．44° D．46°例6．（2021·山東新泰·七年級(jí)期末）（1）已知：如圖1，．求證：（2）如圖2，已知，在的平分線上取兩個(gè)點(diǎn)M、N，使得，求證：．變式6．（2021·湖北十堰·七年級(jí)期末）已知ABCD，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接EG、FG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在AB、CD之間時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠AEG、∠CFG與∠G之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在AB上方時(shí)，且∠EGF＝90°，求證：∠BEG–∠DFG＝90°；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)E作直線HK交直線CD于K，使∠HEG與∠GEB互補(bǔ)，∠EKD的平分交與直線GE交于點(diǎn)L，請(qǐng)你判斷FG與KL的位置關(guān)系，并證明．知識(shí)點(diǎn)1-7尺規(guī)作圖例1．（2020·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）尺規(guī)作圖的工具是（）．A．刻度尺和圓規(guī)B．三角尺和圓規(guī)C．直尺和圓規(guī)D．沒有刻度的直尺和圓規(guī)變式1．（2020·山西初一期中）下列對(duì)尺規(guī)作圖步驟的描述不準(zhǔn)確的是（）A．作，使 B．作，使C．以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑作弧 D．以點(diǎn)為圓心作弧變式2．（2020·山西壽陽·期末）下面出示的的尺規(guī)作圖題，題中符號(hào)代表的內(nèi)容正確的是（）如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB作法：（1）以①為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q；（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心②長(zhǎng)為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)D為圓心③長(zhǎng)為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點(diǎn)F；（4）作④，∠DEF即為所求作的角．A．①表示點(diǎn)E B．②表示PQ C．③表示OQ D．④表示射線EF例2．（2020·四川龍泉驛·初一期中）用直尺和圓規(guī)作∠HDG＝∠AOB的過程中，?、谑牵ǎ〢．以D為圓心，以DN為半徑畫弧 B．以M為圓心，以DN長(zhǎng)為半徑畫弧C．以M為圓心，以EF為半徑畫弧 D．以D為圓心，以EF長(zhǎng)為半徑畫弧變式3．（2020·山東薛城·初一期末）如圖，已知與線段a，按下列步驟作圖（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法）；（1）作；（2）在的兩邊分別作；（3）連接MN．變式4．（2020·泰興市河頭莊中學(xué)初三二模）如圖，已知點(diǎn)D為△ABC的邊AB上一點(diǎn)（1）請(qǐng)?jiān)谶匒C上確定一點(diǎn)E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺規(guī)作圖、保留作圖痕跡、不寫作法）；（2）根據(jù)你的作圖證明S△BCD＝S△BCE．變式5．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)單元測(cè)試）已知∠α、∠β，用尺規(guī)畫出∠AOB=2∠α-∠β．（不寫作法，標(biāo)明字母）專題01相交線與平行線教材同步講練知識(shí)點(diǎn)1-1余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念和性質(zhì)1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；2）補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補(bǔ)角．3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等．4）鄰補(bǔ)角的概念：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。（兩條相交線可組成4對(duì)鄰補(bǔ)角）5）對(duì)頂角的概念：兩個(gè)角只有一個(gè)公共頂點(diǎn)，一個(gè)角的兩條邊是另一個(gè)角兩條邊的反向延長(zhǎng)線。（兩條相交線組成2對(duì)對(duì)頂角）6）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等（利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可證明）例1．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖中，∠1和∠2是對(duì)頂角的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義注意判斷選項(xiàng)，即可．【詳解】解：A.∠1和∠2的邊不是互為反向延長(zhǎng)線，不是對(duì)頂角，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.∠1和∠2沒有公共頂點(diǎn)，不是對(duì)頂角，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.∠1和∠2是對(duì)頂角，故該選項(xiàng)正確；D.∠1和∠2沒有公共頂點(diǎn)，不是對(duì)頂角，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角的定義，掌握“有公共頂點(diǎn)且角的兩邊分別互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角”是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·廣東揭陽市·七年級(jí)期中）下面各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義進(jìn)行判斷：兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩個(gè)角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角．【詳解】解：根據(jù)對(duì)頂角的定義可知，只有第1個(gè)圖中的是對(duì)頂角，其它都不是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角的定義，理解對(duì)頂角的定義是解題的關(guān)鍵，注意對(duì)頂角的前提是兩條直線相交．變式2．（2021·成都·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量的角是____度，你的根據(jù)是____________．【答案】40對(duì)頂角相等【分析】由題意知，一個(gè)破損的扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長(zhǎng)線組的角是對(duì)頂角，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：由題意得，扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長(zhǎng)線組的角是對(duì)頂角，圖中的量角器顯示的度數(shù)是40°，∴扇形零件的圓心角40°；故答案為：40；對(duì)頂角相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，題目比較簡(jiǎn)單．掌握對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·山東臨沂市·七年級(jí)期末）已知，，則與的關(guān)系為（）A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．以上都不對(duì)【答案】B【分析】計(jì)算出的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴∴與的關(guān)系為互余．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了互為余角的關(guān)系；熟練掌握互余兩角的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．5．（2021·浙江寧波市·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在直線上，，那么下列說法錯(cuò)誤的是（）A．與相等B．與互余C．與互補(bǔ)D．與互余【答案】D【分析】根據(jù)垂直的定義和余角，補(bǔ)角的定義和性質(zhì)解答，即可．【詳解】∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，∴∠1＋∠DOC＝∠2＋∠DOC＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠AOE＋∠2＝90°，即與互余，∵∠2+=180°，∴∠1+=180°，即：與互補(bǔ)，∵∠1＋∠AOE＝∠1＋∠COD，∴∠AOE＝∠COD，∴D選項(xiàng)說法是錯(cuò)誤的，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義，余角和補(bǔ)角的定義和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平角的度數(shù)是180°，余角和補(bǔ)角的性質(zhì)．例2．（2021·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，若∠BOD：∠BOE=1：2，則∠AOE的大小為（）A．72°B．98°C．100°D．108°【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠COE＝∠BOE，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義列出方程，解方程求出∠BOD，根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠AOC，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：設(shè)∠BOD＝x，∵∠BOD：∠BOE＝1：2，∴∠BOE＝2x，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE＝2x，∴x+2x+2x＝180°，解得，x＝36°，即∠BOD＝36°，∠COE＝72°，∴∠AOC＝∠BOD＝36°，∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝108°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念，掌握對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角之和為180°是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·安徽合肥市·七年級(jí)期末）如果和互余，則下列式子中表示補(bǔ)角是（）①180°－；②＋2；③2＋；④＋90°A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)角和余角的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】∵，∴是的補(bǔ)角，故①正確．∵互余，∴．∴是的補(bǔ)角，故②正確．∵互余，∴，∵無法判斷的大小，∴無法判斷是否為的補(bǔ)角，故③無法確定．∵互余，∴．∴是的補(bǔ)角，故④正確．綜上可知：①②④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)角和余角的定義．掌握兩個(gè)角互余，那么這兩個(gè)角相加等于；兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角相加等于是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2021·北京海淀區(qū)·北大附中七年級(jí)期末）將一副三角板按如圖所示位置擺放，其中與一定互補(bǔ)的是（）A．B．C． D．

【答案】D【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合互補(bǔ)的定義判斷即可．【詳解】A、與相等，不互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、與不互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、與互余，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、和互補(bǔ)，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)余角和補(bǔ)角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力．變式4．（2021·湖北隨州市·七年級(jí)期末）如圖，直線，交于點(diǎn)，射線平分，如果，那么等于（）A．38° B．37° C．36° D．52°【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)OM平分∠AOC，即可得到∠MOC的值【詳解】解：∵∴∠AOC=180°?104°=76°∵OM

平分∠AOC∴∠MOC==38°故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了領(lǐng)補(bǔ)角及角平分線的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵變式5.（2021·浙江嘉興市·七年級(jí)期末）將一把直尺和一塊三角板如圖疊放，直尺的一邊剛好經(jīng)過直角三角板的直角頂點(diǎn)且與斜邊相交，則與一定滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直角和鄰補(bǔ)角的定義列出關(guān)系式，從而利用等式的性質(zhì)計(jì)算求解．【詳解】解：由題意可得：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°∴∠3=90°-∠1，∠3=180°-∠2∴90°-∠1=180°-∠2∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直角和鄰補(bǔ)角的概念及等式的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)正確列關(guān)系式求解是關(guān)鍵．例4．（2021·江蘇揚(yáng)州市·七年級(jí)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作射線OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度數(shù)．【答案】（1）52°；（2）圖見解析，26°或102°【分析】（1）依據(jù)OF⊥CD，∠BOF＝38°，可得∠BOD＝90°?38°＝52°，依據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AOC＝52°；（2）分兩種情況求解即可.【詳解】（1）∵OF⊥CD，∠BOF＝38°，∴∠BOD＝90°?38°＝52°，∴∠AOC＝52°；（2）由（1）知：∠BOD＝52°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=26°，此時(shí)∠GOE=∠BOF=38°，分兩種情況：如圖：如圖：此時(shí)∠FOG=∠BOF+∠BOE-∠GOE=38°+26°-38°=26°；此時(shí)∠FOG=∠BOF+∠BOE+∠GOE=38°+26°+38°=102°；綜上：∠FOG的度數(shù)為26°或102°.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角，角平分線定義，角的有關(guān)定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，并注意數(shù)形結(jié)合．變式6．（2021·浙江溫州市·七年級(jí)期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，射線OE在內(nèi)部，OA平分．（1）當(dāng)時(shí)，寫出圖中所有與互補(bǔ)的角．（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】（1）、、；（2）36°．【分析】（1）根據(jù)題意，由角平分線的定義，先求出，然后求出，即可得到答案；（2）根據(jù)角的比例，先求出，由角平分線的定義和對(duì)頂角定理，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∵OA平分，∴，∴，∴，∴與互補(bǔ)的角有、、；（2）根據(jù)題意，∵，又∵，∴，∵OA平分，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，余角和補(bǔ)角的定義，對(duì)頂角相等，以及平角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的理解題意，得到角的關(guān)系進(jìn)行解題．知識(shí)點(diǎn)1-2垂線的概念和性質(zhì)1）垂線的概念：當(dāng)兩條直線相交所形成的四個(gè)角中，有一個(gè)角為直角時(shí)，就稱這兩條直線相互垂直。（實(shí)際上，四個(gè)角都為直角）2）如下圖，兩條垂線的交點(diǎn)M叫作“垂足”，兩條直線用“⊥”符號(hào)表示，讀作“垂直”，表示為：AB⊥CD，讀作：AB垂直于CD3）垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)（直線內(nèi)或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直注：（1）垂線的性質(zhì)中，有2點(diǎn)需要格外：=1\*GB3①必須強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi)；=2\*GB3②點(diǎn)可在直線外，也可在直線上。（2）同一平面內(nèi)，兩條直線只有相交和平行兩種關(guān)系，其中垂直是特殊的相交。4）垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短（簡(jiǎn)稱為：垂線段最短）5）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度例1．（2021·河南鄭州·七年級(jí)期末）小紅在學(xué)習(xí)垂線時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題，請(qǐng)你幫她解決：如圖，線段AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列條件中能說明AB⊥CD的是（）A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC【答案】D【分析】根據(jù)題意證明∠AOC=90°即可．【詳解】解：A.由OA＝OB只能得出O是AB的中點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.由OC＝OD只能得出O是CD的中點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.∠AOC和∠BOD是對(duì)頂角，對(duì)頂角始終是相等的，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.∠AOC和∠BOC互補(bǔ)，當(dāng)∠AOC＝∠BOC時(shí)，∠AOC＝180°÷2＝90°，∴CD⊥AB，故選項(xiàng)D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直的定義，當(dāng)兩條線的夾角是90°時(shí)，兩直線互相垂直，基本定義要牢記．也考查了對(duì)頂角和線段的中點(diǎn)．變式1．（2021·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下面四種判斷兩條直線垂直的方法正確的有（）個(gè)．（1）兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直．（2）兩條直線相交，有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線互相垂直．（3）兩條直線相交，所成的四個(gè)角相等，這兩條直線互相垂直．（4）兩條直線相交，有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，則這兩條直線互相垂直．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)兩直線互相垂直定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷與計(jì)算即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直正確，符合題意；（2）兩條直線相交，有一組鄰補(bǔ)角相等，設(shè)這兩個(gè)角分別為α，β，根據(jù)題意α+β=180°，α=β，解得α=β=90°，則這兩條直線互相垂直正確，符合題意；（3）兩條直線相交，所成的四個(gè)角相等，設(shè)這四個(gè)角分別為α，β，γ，δ，根據(jù)題意α+β+γ+δ=360°，α=β=γ=δ，解得α=β=γ=δ=90°，這兩條直線互相垂直正確符合題意；（4）兩條直線相交，有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，設(shè)這組對(duì)角分別為α，β，根據(jù)題意α+β=180°，根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)α=β，解得α=β=90°，則這兩條直線互相垂直，判斷兩條直線垂直的方法正確的有四個(gè)．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線互相垂直的識(shí)別，掌握兩直線互相垂直的定義是解題關(guān)鍵．變式2．（2021·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，下列條件中能判定兩條直線垂直的是（）．A．有兩個(gè)角相等 B．有兩對(duì)角相等 C．有三個(gè)角相等 D．有四對(duì)鄰補(bǔ)角【答案】C【分析】?jī)芍本€相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角為90°，則這兩條直線互相垂直，根據(jù)的定義判斷即可．【詳解】解：A、兩條直線相交成四個(gè)角，如果有兩個(gè)角相等，是兩個(gè)對(duì)頂角相等，那么這兩條直線不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩條直線相交成四個(gè)角，如果有兩對(duì)角相等，是兩對(duì)對(duì)頂角相等，那么這兩條直線不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩條直線相交成四個(gè)角，則這四個(gè)角中有2對(duì)對(duì)頂角．如果三個(gè)角相等，則這四個(gè)角相等，都是直角，所以這兩條直線垂直．故正確；

D、兩條直線相交成四個(gè)角，如果有四對(duì)鄰補(bǔ)角，是四對(duì)普通的鄰補(bǔ)角，那么這兩條直線不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的定義，對(duì)頂角的定義，鄰補(bǔ)角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且A、B和C、D分別位于點(diǎn)O兩側(cè)，OE⊥AB，，則____________．【答案】130°或50°【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)垂直的定義，互余與互補(bǔ)的定義，分類討論即可【詳解】①如圖，，，②如圖，，，綜上所述，或故答案為：130°或50°【點(diǎn)睛】本題考查了相交線所成角，對(duì)頂角相等，垂直的定義，求一個(gè)角的余角，補(bǔ)角，分類討論是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·安徽·銅陵市第十五中學(xué)七年級(jí)期中）如果兩個(gè)角的兩邊分別垂直，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，那么這兩個(gè)角的和是__________．【答案】或【分析】設(shè)一個(gè)角為，另一個(gè)角為，根據(jù)兩個(gè)角的兩邊分別垂直得到或，求得或，即可得解；【詳解】設(shè)一個(gè)角為，另一個(gè)角為，∵兩個(gè)角的兩邊分別垂直，∴或，解得：或，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即：，，∴這兩個(gè)角的和為或；故答案是：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計(jì)算和垂線的定義，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·遼寧·營(yíng)口市老邊區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期中）平面內(nèi)兩條直線、相交于點(diǎn)，，恰好平分．（1）如圖1，若，求數(shù)；（2）在圖1中，若，請(qǐng)求出的度數(shù)（用含有的式子表示），并寫出和的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，當(dāng)，在直線的同側(cè)時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2），；（3）不變，【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義解答即可；（2）根據(jù)垂線的定義、鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)（1）（2）解答即可．【詳解】（1），，平分，，，，；（2），，平分，，，，；；（3）不變，．【點(diǎn)睛】考查了垂線，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．變式4．（2021·江蘇盱眙·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC．OD是兩條射線，OC⊥OD，射線OE平分∠BOC．（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度數(shù)．（2）若∠DOE＝α，則∠AOC＝.（請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示）；【答案】（1）80°；（2）360°-2α【分析】（1）根據(jù)OC⊥OD，∠DOE=140°可求出∠COE，再根據(jù)射線OE平分∠BOC．求出BOE，最后根據(jù)平角的意義求出答案；（2）利用（1）的方法，用代數(shù)式表示角度即可．【詳解】解：（1）∵OC⊥OD，∠DOE=140°，∴∠COE=∠DOE-∠COD=140°-90°=50°，∵射線OE平分∠BOC．∴∠COE=∠BOE=50°，∴∠AOC=180°-∠COE-∠BOE=180°-50°-50°=80°；（2）∵OC⊥OD，∠DOE=α，∴∠COE=∠DOE-∠COD=α-90°，∵射線OE平分∠BOC．∴∠COE=∠BOE=α-90°，∴∠AOC=180°-∠COE-∠BOE=180°-（α-90°）-（α-90°）=360°-2α，故答案為：360°-2α．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直、平角、直角的意義，根據(jù)圖形得出各個(gè)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．變式5．（2021·浙江湖州市·七年級(jí)期末）如圖，已知直線與相交于點(diǎn)為的角平分線．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由對(duì)頂角相等的性質(zhì)得，再由，即可求出的度數(shù)；（2）先求出的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)得到的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1），∴，∵，；（2）∵直線與相交于點(diǎn)O，，∴，為的角平分線，，．【點(diǎn)睛】本題考查角度求解，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)．例4．（2021·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）幾何知識(shí)可以解決生活中許多距離最短的問題.讓我們從書本一道習(xí)題入手進(jìn)行探索（回顧）（1）如圖①，、是公路兩側(cè)的兩個(gè)村莊.現(xiàn)要在公路上修建一個(gè)垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)的位置，并說明理由（探索）（2）如圖②，在村莊附件有一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，現(xiàn)要在公路上修建一個(gè)垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，從村莊到公路不能穿過生態(tài)保護(hù)區(qū)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)的位置（3）如圖③，、是河兩側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河上修建一座橋，使得橋與河岸垂直，且村到村的總路程最短，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出橋的位置（保留畫圖痕跡）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）連接AB交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求作．（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問題．（3）作AA′CD，且AA′＝1，連接BA′得到點(diǎn)C，作線段CD⊥河岸即可．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)C即為所求作．理由：兩點(diǎn)之間，線段最短.（2）如圖，點(diǎn)C即為所求作．（3）如圖，線段CD可即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，垂線段最短，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．變式6．（2021·浙江湖州市·七年級(jí)期末）如圖，汽車站、碼頭分別位于兩點(diǎn)，直線b和波浪線分別表示公路與河流．（1）從汽車站A到碼頭B怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由；（2）從碼頭B到公路b怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由．（溫馨提示：請(qǐng)畫在答題卷相對(duì)應(yīng)的圖上）【答案】（1）汽車站到碼頭走最近，見解析；（2）碼頭到公路走垂線段最近，見解析【分析】（1）連接AB，即得到最近路線；（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，即得到最近路線．【詳解】解：（1）如圖，汽車站到碼頭走最近，理由：兩點(diǎn)之間線段最短；（2）如圖，碼頭到公路走垂線段最近，理由：垂線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查線段的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的性質(zhì)和作圖方法．變式7．（2021·浙江寧波市·七年級(jí)期末）（1）如圖，過點(diǎn)A畫直線BC的垂線，并注明垂足為G；過點(diǎn)A畫直線AB的垂線，交BC于點(diǎn)H．（2）線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到直線BC的距離．（3）線段AG、AH的大小關(guān)系為AGAH．（用符號(hào)>，<，=，表示）．理由是．【答案】（1）見解析；（2）AG；（3）<，垂線段最短【分析】（1）利用三角板的兩條直角邊畫圖即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義解答即可；（3）根據(jù)垂線段最短解答即可．【詳解】解：（1）如圖，（2）∵AG是BC的垂線，∴線段AG的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到直線BC的距離，故答案為：AG；（3）線段AG、AH的大小關(guān)系為AG<AH，理由是：垂線段最短，故答案為：<，垂線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，點(diǎn)到直線的距離，以及垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)1-3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念1）同位角概念：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對(duì)角。注：如下圖，位置相同指：=1\*GB3①兩個(gè)角都在第三條直線c的同一側(cè)；=2\*GB3②且兩個(gè)角都在兩條直線a、b的上方（或下方）。例：∠1與∠5都在c的右側(cè)，且都在a、b的上方，則∠1與∠5為同位角2）內(nèi)錯(cuò)角的概念：兩直線被第三條直線所截，在兩條直線之內(nèi)，并且分別在第三條直線兩側(cè)的一對(duì)角（位置完全錯(cuò)開的角）注：如下圖，位置完全錯(cuò)開指：=1\*GB3①兩個(gè)角在第三條直線c的不同側(cè)；=2\*GB3②且兩個(gè)角在兩條直線a、b的上下不同位置（即都在兩條直線的內(nèi)側(cè)）。例：∠2與∠8分別在c的左右兩側(cè)，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b內(nèi)側(cè)），則∠2與∠8為內(nèi)錯(cuò)角3）同旁內(nèi)角：兩直線被第三條直線所截，在第三條直線同側(cè)，并且在兩條直線之內(nèi)的一對(duì)角。注：如下圖，同旁內(nèi)角指：=1\*GB3①兩個(gè)角在第三條直線c的同一側(cè)；=2\*GB3②且兩個(gè)角在a、b兩條直線的內(nèi)側(cè)例：∠2與∠5，兩個(gè)角都在直線c的右側(cè)，且都在a、b兩條直線的內(nèi)側(cè)，則∠2與∠5為同旁內(nèi)角。注：同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角是3條直線直角的位置關(guān)系，且無角度間大小關(guān)系。例1．（2021·廣西欽州·七年級(jí)期末）如圖，下列各組角中是同位角的是（）A．∠1和∠2 B．∠3和∠4 C．∠2和∠4 D．∠1和∠4【答案】D【分析】根據(jù)同位角的定義分析即可，兩條直線被第三條直線所截,如果兩個(gè)角分別在兩條直線的同側(cè),且在第三條直線的同旁,那么這兩個(gè)角叫做同位角．【詳解】A.∠1和∠2是鄰補(bǔ)角，不符合題意；B.∠3和∠4是同旁內(nèi)角，不符合題意；C.∠2和∠4沒有關(guān)系，不符合題意；D.∠1和∠4是同位角，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角的定義，理解同位角的定義是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）下列四幅圖中，∠1和∠2是同位角的是（）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）【答案】A【分析】互為同位角的兩個(gè)角，都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)同位角的定義，圖（1）、（2）中，和是同位角；圖（3）中、的兩邊都不在同一條直線上，不是同位角；圖（4）中、不在被截線同側(cè)，不是同位角．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查同位角的概念，是需要熟記的內(nèi)容．即兩個(gè)都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角．例2．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，直線AB與CD被直線AC所截得的內(nèi)錯(cuò)角是___．【答案】∠2與∠4【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的特點(diǎn)即可求解．【詳解】由圖可得直線AB與CD被直線AC所截得的內(nèi)錯(cuò)角是∠2與∠4故答案為：∠2與∠4．【點(diǎn)睛】此題主要考查內(nèi)錯(cuò)角的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是熟知內(nèi)錯(cuò)角的特點(diǎn)．變式2．（2021·遼寧沈河·七年級(jí)期末）下列四個(gè)圖形中，和是內(nèi)錯(cuò)角的是（）A． B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的概念：處于兩條被截直線之間，截線的兩側(cè)，再逐一判斷即可．【詳解】解：A、∠1與∠2不是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、∠1與∠2不是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)正確，符合題意；D、∠1和∠2不是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角，關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的概念解答．注意：內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形．例3．（2021·浙江嘉興·七年級(jí)期末）如圖，直線a，b被直線c所截，∠1的同旁內(nèi)角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角進(jìn)行求解．【詳解】解：直線a，b被直線c所截，∠1的同旁內(nèi)角是∠2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同旁內(nèi)角的定義，能熟記同旁內(nèi)角的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合．變式3．（2021·江蘇·七年級(jí)期中）如圖所示，直線a,b被直線c所截，則與是（）A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁內(nèi)角 D．對(duì)頂角【答案】C【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義可判斷．【詳解】∵∠1和∠2都在直線c的下側(cè)，且∠1和∠2在直線a、b之內(nèi)∴∠1和∠2是同旁內(nèi)角的關(guān)系故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查同旁內(nèi)角的理解，緊抓定義來判斷．例4.（2021·鹽城市·七年級(jí)月考）如圖，下列說法正確的是（）A．∠2和∠4是同位角B．∠2和∠4是內(nèi)錯(cuò)角C．∠1和∠A是內(nèi)錯(cuò)角D．∠3和∠4是同旁內(nèi)角【答案】D【分析】由題意根據(jù)同位角和內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角的定義，結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、∠2和∠4不是同位角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∠2和∠4不是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∠1和∠A不是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠3和∠4是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)平面幾何中概念的理解，熟練掌握同位角和內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角的定義是解題的關(guān)鍵.變式4．（2021·四川渠縣·七年級(jí)期末）如圖，下列結(jié)論：①∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角；②∠1與∠A是同位角；③∠A與∠B是同旁內(nèi)角；④∠B與∠ACB不是同旁內(nèi)角，其中正確的是______．（只填序號(hào)）【答案】①②③【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角、同位角及同旁內(nèi)角的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：如圖：∠2與∠3是直線AB、直線BC，被直線CD所截的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，因此①正確；∠1與∠A是直線CD、直線AC，被直線AB所截的一對(duì)同位角，因此②正確；∠A與∠B是直線AC、直線BC，被直線AB所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此③正確；∠B與∠ACB是直線AB、直線AC，被直線BC所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此④不正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了內(nèi)錯(cuò)角、同位角及同旁內(nèi)角的判斷，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.例5.（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)七年級(jí)期中）如圖所示，用數(shù)字表示的8個(gè)角中，若同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁內(nèi)角有c對(duì)，則ab﹣c＝___．【答案】9【分析】位于兩條被截直線的同側(cè)，截線的同旁的角是同位角，位于兩條被截直線的內(nèi)部，截線的兩旁的角是內(nèi)錯(cuò)角，位于兩條被截直線的內(nèi)部，截線的同旁的角是同旁內(nèi)角，根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角概念結(jié)合圖形找出各對(duì)角類型的角得出a，b，c的值，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：同位角有∠1與∠6，2與∠5，∠3與∠7，∠4與∠8，同位角有4對(duì)，∴a=4，內(nèi)錯(cuò)角有∠1與∠4，2與∠7，3與∠5，∠8與∠6，內(nèi)錯(cuò)角4對(duì)，∴b=4，同旁內(nèi)角有∠1與∠8，∠1與∠7，∠7與∠8，∠2與∠4，∠2與∠3，∠3與∠4，∠3與∠8，同旁內(nèi)角有7對(duì)，∴c=7,∴ab﹣c＝4×4-7=16-7=9，故答案為9．【點(diǎn)睛】本題考查同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，以及代數(shù)式求值，掌握同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角概念，得出a=4，b=4，c=7是解題關(guān)鍵．變式5．（2020·南通市啟秀中學(xué)七年級(jí)期末）復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題我們常會(huì)把它分解為基本問題來研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零這是一種常見的數(shù)學(xué)解題思想．（1）如圖1，直線，被直線所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了______對(duì)同旁內(nèi)角．（2）如圖2，平面內(nèi)三條直線，，兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，圖中一共有______對(duì)同旁內(nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多可以形成______對(duì)同旁內(nèi)角．（4）平面內(nèi)條直線兩兩相交，最多可以形成______對(duì)同旁內(nèi)角．【答案】（1）2；（2）6；（3）24；（4）【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角的概念找出所有的同旁內(nèi)角，即可得出答案；（2）根據(jù)同旁內(nèi)角的概念找出所有的同旁內(nèi)角，即可得出答案；（3）畫出四條直線兩兩相交的圖形，然后根據(jù)同旁內(nèi)角的概念找出所有的同旁內(nèi)角，即可得出答案；（4）根據(jù)同旁內(nèi)角的概念結(jié)合前3問的答案找出規(guī)律即可得出答案．【解析】（1）如圖其中同旁內(nèi)角有與，與，共2對(duì)（2）如圖其中同旁內(nèi)角有與，與，與，與，與，與，共6對(duì)，（3）如圖其中的同位角有與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與共24對(duì)，（4）根據(jù)以上規(guī)律，平面內(nèi)條直線兩兩相交，最多可以形成對(duì)同旁內(nèi)角【點(diǎn)睛】本題主要結(jié)合同旁內(nèi)角探索規(guī)律，掌握同旁內(nèi)角的概念并找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)1-4平行線的概念1）同一平面兩條直線間的關(guān)系：=1\*GB3①平行；=2\*GB3②相交2）平行線概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線注：=1\*GB3①平行的概念，必須加前提條件“在同一平面內(nèi)”；=2\*GB3②必須是兩條直線間的關(guān)系（非“射線”、“線段”）3）平行公理：經(jīng)過線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與這條直線平行注：與垂線性質(zhì)比較相似，但也存在不同的地方。相同點(diǎn)：過一點(diǎn)都有且僅能作一條線與已知直線平行（垂直）；不同點(diǎn)：垂直性質(zhì)中，這個(gè)點(diǎn)可以在直線外，也可以在直線上，但在平行公理中，這個(gè)點(diǎn)必須在直線外。例1．（2021·河北滄縣·七年級(jí)期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行【答案】C【分析】根據(jù)兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)的直線是相交線，沒有交點(diǎn)的直線是平行線，可得答案．【詳解】在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點(diǎn)，兩條直線平行，故C正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系，注意垂直是相交的一種特殊情況，不能單獨(dú)作為一類．變式1．（2021·陜西寶雞期末）下列說法中正確的個(gè)數(shù)為（）①不相交的兩條直線叫做平行線；②平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③平行于同一條直線的兩條直線互相平行；④在同一平面內(nèi)，兩條直線不是平行就是相交．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C.【解析】解：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，故錯(cuò)誤．②平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故正確．③平行于同一條直線的兩條直線互相平行，故正確．④在同一平面內(nèi)，兩條直線不是平行就是相交，故正確．正確的說法共3個(gè)，故答案為：C．例2．（2021·河北平泉·一模）如圖，在平面內(nèi)作已知直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【答案】D【分析】根據(jù)平行線的定義，可直接得結(jié)論．【詳解】解：在同一平面內(nèi)，與已知直線平行的直線有無數(shù)條，

所以作已知直線m的平行線，可作無數(shù)條．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的定義．掌握平行線的定義是解決本題的關(guān)鍵．變式2．（2021·河北興隆·九年級(jí)期中）已知直線，在同一平面內(nèi)，給定一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．0條或1條 D．無數(shù)條【答案】C【分析】分情況討論，分為點(diǎn)在直線上和直線外．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，這樣的直線為0條；②當(dāng)點(diǎn)在直線外時(shí)，這樣的直線有一條．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，解題關(guān)鍵是熟記過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．例3．（2021·牡丹江市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一期中）給出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個(gè)【答案】1【分析】根據(jù)各小題的描述情況，判斷各小題的正誤，即可得到答案．【解析】解：（1）∵兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故（1）不正確；（2）∵平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交，故（2）正確；（3）∵對(duì)頂角相等，但相等的角不一定是對(duì)頂角，故（3）不正確；（4）∵三條直線兩兩相交，也可能是交于同一個(gè)點(diǎn)，故（4）不正確；（5）∵若ab，bc，則ac，故（5）不正確，正確的只有（2）一個(gè)選項(xiàng)，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考察了平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，平行公理的應(yīng)用、直線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，解題的關(guān)鍵在于畫出題意所示的直線位置圖，以此判斷說法的正誤．變式3．（2021·遼寧·初一期中）若直線，，則直線與的位置關(guān)系是__________．【答案】平行【分析】根據(jù)平行公理的推論解答.【解析】∵直線，，∴直線與的位置關(guān)系是平行，故答案為：平行.【點(diǎn)睛】此題考查平行公理的推論：如果兩條直線都平行于同一條直線，那么這兩條直線也互相平行.變式4．（2021·云南鎮(zhèn)康·初一期中）已知：如圖，梯形ABCD．（1）過點(diǎn)A畫直線AE∥CD交BC于E；（2）過點(diǎn)A畫線段AF⊥BC于F；比較線段AE與AF的大?。篈EAF（直接用“＞”“＝”或“＜”填空）．【答案】（1）見解析；（2）>．【分析】（1）根據(jù)平行線的定義作圖即可；（2）根據(jù)垂線段的定義作圖，再利用垂線段的性質(zhì)即可得.【解析】（1）如圖，AE即為所求；（2）如圖所示，AF即為所求，根據(jù)垂線段的性質(zhì)知AE＞AF，故答案為：＞；【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的定義和垂線的定義及垂線段性質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)1-5平行線的判定1）判定方法一：同位角相等，兩直線平行2）判定方法二：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行3）判定方法三：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行4）在同一平面內(nèi)，若兩條直線都垂直于同一條直線，則這兩條直線平行。即：若a⊥c，且b⊥c，則a∥b5）平行線的傳遞性：若l1∥l3，l2∥l3，則l1∥l2（用共面知識(shí)可證明，此處不證）。例1．（2021·漢中市南鄭區(qū)初一期中）已知平面上五條直線，，，和相交的情形如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的角度，下列敘述正確的是()A．和不平行，和平行，和平行B．和不平行，和不平行，和不平行C．和平行，和平行，和平行D．和平行，和不平行，和不平行【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可．【解析】解：如下圖：∠1=88°，∴∥（同位角相等，兩直線平行）∵88°+92°=180°，∴∥（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）又∵92°+92°≠180°，∴和不平行，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．變式1．（2021·山西期末）如圖，點(diǎn)，，分別在的邊，，上，連接，，在下列給出的條件中，不能判定的是（）A．°B．C．D．【答案】B【分析】據(jù)平行線的判定方法結(jié)合圖形逐選項(xiàng)分析，找出正確選項(xiàng)．【解析】由，得∠A,∠2互補(bǔ)；由圖得∠A,∠2是與AB、DF有關(guān)的同旁內(nèi)角，據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得A選項(xiàng)能判定AB∥DF；由，得∠A,∠1相等；由圖得∠A、∠1是與AC、DE有關(guān)的同位角，據(jù)同位角相等補(bǔ)，兩直線平行得B選項(xiàng)能判定AC∥DE，不能判斷AB∥DF；由，得∠1,∠4相等；由圖得∠1、∠4是與AB、DF有關(guān)的內(nèi)錯(cuò)角，據(jù)內(nèi)角角相等，兩直線平行得C選項(xiàng)能判定AB∥DF；由，得∠A,∠3相等；由圖得∠A,∠3是與AB、DF有關(guān)同位角，據(jù)同位角相等，兩直線平行得C選項(xiàng)能判定AB∥DF．綜上分析，只有B選項(xiàng)不能判定AB∥DF．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定．其關(guān)鍵是找準(zhǔn)與要判定平行的直線有關(guān)的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，再判斷它們相等或互補(bǔ)與否才能應(yīng)用相關(guān)判定方法進(jìn)行判定．例2．（2021·上海市市西初級(jí)中學(xué)初一期中）如圖，是我們學(xué)過的用直尺和三角板畫平行線的方法示意圖，畫圖的原理是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．同位角相等，兩直線平行C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【答案】B【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，從而得出同位角相等，兩直線平行．【解析】解：如圖：∵∠DPF=∠BAF，∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定方法,熟練掌握平行線的判定方法，根據(jù)題意得出同位角相等是解決問題的關(guān)鍵．變式2．（2021·山西初一月考）工人師傅在工程施工時(shí)，在圖紙上畫了一條管道的示意圖（如圖所示），經(jīng)測(cè)量得到，，那么（）A． B． C． D．與相交【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定條件判定即可；【解析】∵，，∴，∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·山西模擬）下列圖形中，根據(jù)，能得到的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理判定答案即可．【解析】解：A、∠1和∠2是同旁內(nèi)角，∠1=∠2不能判定AB//CD，故錯(cuò)誤；B、∠1的對(duì)頂角和∠2是同位角關(guān)系，∠1=∠2能夠判定AB//CD，故正確；C、∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，∠1=∠2能夠判定AC//CD，故錯(cuò)誤；D、∠1與∠2是同旁內(nèi)角關(guān)系，∠1=∠2不能判定AB//CD，故錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·洛陽市第四職業(yè)高中期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)判斷即可．【解析】A、當(dāng)∠1＝∠3時(shí)，a∥b，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，故正確；B、∠2與∠3不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角，無法判斷，故錯(cuò)誤；C、當(dāng)∠4＝∠5時(shí)，a∥b，同位角相等，兩直線平行，故正確；D、當(dāng)∠2+∠4＝180°時(shí)，a∥b，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟記判定定理是解題的關(guān)鍵．變式4．（2021·沈陽市第一二七中學(xué)初一期中）如圖，下列條件：①；②；③；;⑤；其中能判斷直線的有（）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定方法，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可解決.【解析】根據(jù)同為角相等兩直線平行可以判斷②，④正確；①非同位角非內(nèi)錯(cuò)角無法判斷直線平行，錯(cuò)誤③，⑤非同旁內(nèi)角，無法判斷兩直線平行.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵：正確理解題意能夠從圖形中找到同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角，熟練掌握平行線的判定方法.變式5．（2020·江蘇徐州市·七年級(jí)期末）如圖，給出下列條件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B；④AD∥BE，且∠D=∠B．其中能說明AB∥DC的條件有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【詳解】解：,①正確；,②不正確；,③正確；,④正確；綜上所述，①、③、④正確，故選B．知識(shí)點(diǎn)1-6平行線的性質(zhì)1）兩直線平行，同位角相等;2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)注：=1\*GB3①僅當(dāng)兩直線平行式，3類角才有數(shù)量關(guān)系；當(dāng)兩直線不平行是，3類角只有位置關(guān)系，沒有大小關(guān)系。=2\*GB3②3類角若有大小關(guān)系，也可用于證明兩條直線平行。4）同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段長(zhǎng)度，叫作這兩條平行線間的距離。注：a.只有平行線間才存在距離這一說法。（重疊，距離為0）；b.平行線間的距離，處處相等；c.垂直于一條直線，一定垂直于另一條平行線（易證）例1．（2021·山東濟(jì)南市·八年級(jí)期末）如圖，如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】A【分析】由∠3=∠1內(nèi)錯(cuò)角相等得到上下兩直線平行，進(jìn)而得到∠2=∠5，再用180°減去∠5得到∠4即可求解．【詳解】解：如下圖所示：∵∠1=∠3，∴直線a∥直線b，∴∠2=∠5=60°，∴∠4=180°-∠5=180°-60°=120°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握平行線的性質(zhì)定義和判定定理是解決本題的關(guān)鍵．變式1．（2021·山東濰坊市·八年級(jí)期末）一把直尺與30°的直角三角板如圖所示，，則（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】直接利用平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】如圖所示，∵三角板是含30°角的直角三角板，∴∠3=60°，∵AB∥CD，∴∠2+∠1+∠3=180°，∴∠2=180°-∠1-∠3=180°-50°-60°=70°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．例2．（2021·河北張家口·初三二模）如圖，直線，以直線上的點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直線、于點(diǎn)B、C，連接AC、若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意得：，，直線，，，．故選B.變式2．（2021·陜西初三其他）如圖，直尺一邊AB與量角器的零刻度線CD平行，若量角器的一條刻度線OF的讀數(shù)為70°，OF與AB交于點(diǎn)E，那么∠AEF＝（）A．70° B．110° C．20° D．120°【答案】A【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠COF＝70°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵．例3．（2021·河北初三其他）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時(shí)，會(huì)發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，則∠2＝（）A．61° B．58° C．48° D．41°【答案】B【分析】由水面和杯底互相平行，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可求出∠3的度數(shù)，由水中的兩條折射光線平行，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出∠2的度數(shù)．【解析】如圖，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的兩條折射光線平行，∴∠2＝∠3＝58°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”和“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·山西初一月考）小林乘車進(jìn)入車庫(kù)時(shí)仔細(xì)觀察了車庫(kù)門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當(dāng)車牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的段繞點(diǎn)緩慢向上旋轉(zhuǎn)，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即與始終平行），在該過程中始終等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)B作BG∥CD，由題意可知：CD∥AE，∠BAE=90°，從而證出BG∥CD∥AE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABG=90°，=180°，從而求出結(jié)論．【解析】解：過點(diǎn)B作BG∥CD由題意可知：CD∥AE，∠BAE=90°∴BG∥CD∥AE∴∠ABG=180°－∠BAE=90°，=180°∴=∠ABG＋=270°故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握平行線的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例4．（2021·深圳市高級(jí)中學(xué)初二月考）已知：如圖，，則，，之間的關(guān)系是A．B．C．D．【答案】C【分析】分別過C、D作AB的平行線CM和DN，由平行線的性質(zhì)可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【解析】解：如圖，分別過C、D作AB的平行線CM和DN，

，，，，，

，

又，，，即，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④a//b，b//c?a//c．變式4．（2021·海安市白甸鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝()A．∠1＋∠2B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2D．180°－∠2＋∠1【答案】D【分析】先根據(jù)AB∥CD得出∠BCD=∠1，再由CD∥EF得出∠DCE=180°-∠2，再把兩式相加即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠1，∵CD∥EF，∴∠DCE=180°-∠2，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．例5．（2020·四川郫都·期末）如圖，五邊形ABCDE中，AE∥BC，則∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）A．180° B．270° C．360° D．450°【答案】C【分析】首先過點(diǎn)D作DF∥AE，交AB于點(diǎn)F，由AE∥BC，可證得AE∥DF∥BC，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，證得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，繼而證得結(jié)論．【解析】過點(diǎn)D作DF∥AE，交AB于點(diǎn)F，∵AE∥BC，∴AE∥DF∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．變式5．（2021·